2023年江苏省连云港市东海县西部五校联考中考数学三模试卷（含解析）

2023年江苏省连云港市东海县西部五校联考中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列四个数中最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.下列图形中不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.已知点在反比例函数的图象上，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4.某班位同学的身高分别是，，，，单位：厘米，这组数据中，下列说法错误的是(    )

A. 众数是 B. 中位数是 C. 平均数是 D. 方差是

5.如图，四个边长为的小正方形拼成一个大正方形，，，是小正方形顶点，的半径为，是上的点，且位于右上方的小正方形内，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

6.抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

7.如图，是的直径，是的切线，切点为，与的延长线交于点，，给出下面个结论：；；，其中正确结论的个数是(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数在第三象限图象上的一个动点，以为顶点，原点为对称中心作矩形，轴于点，过点的直线分别交、边于点、，以为一边作矩形，且直线恰好经过点，如果点在运动中横坐标逐渐变小，那么矩形的面积的大小变化情况是(    )

A. 先减小后增大 B. 先增大后减小 C. 一直不变 D. 一直减小

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．

10.因式分解：______．

11.在中，，当 ______ 时，是等腰三角形．

12.在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为______ ．

13.如果抛物线有最低点，那么的取值范围是______．

14.在一个不透明的盒子中装有许多球，它们除颜色不同外，其余均相同已知有个白球，若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，盒中共有球______ 个

15.某厂接到在规定时间内加工顶帐篷支援灾区人民的任务在加工了顶帐篷后，厂家把工作效率提高到原来的倍，于是提前天完成任务，则原来每天加工帐篷______ 顶

16.如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是______．

三、解答题（本大题共11小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
计算：．

18.本小题分
化简：．

19.本小题分
求不等式组的正整数解．

20.本小题分

光明中学全体学生人参加社会实践活动，从中随机抽取人的社会实践活动成绩制成如图所示的条形统计图，结合图中所给信息解答下列问题：






填写下表：

估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分．

21.本小题分
某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有个相同的小球，球上分别标有“元”、“元”、“元”和“元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满元，就可以在箱子里先后摸出两个球第一次摸出后不放回，商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费元．
该顾客至少可得到______元购物券，至多可得到______元购物券；
请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于元的概率．

22.本小题分

如图，，分别是矩形的边，上的点，若，且．
求证：；
已知，求的长．

23.本小题分
如图所示，一只渔船由西向东沿水平直线行驶，在航线的正南方有两个航标、渔船在处时，测得航标、在渔船的南偏东方向分别为和渔船航行了海里到处时，测得航标在渔船的南偏西方向，而航标恰好渔船的正南方求航标、之间的距离．

24.本小题分
某市区一条主要街道的改造工程有甲、乙两个工程队投标经测算：若由两个工程队合做，天恰好完成；若两个队合做天后，剩下的由甲队单独完成，还需天时间，现需从这两个工程队中选出一个队单独完成，从缩短工期角度考虑，你认为应该选择哪个队？为什么？

25.本小题分

如图，已知是的直径，点在的延长线上，切于点，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交于点．
求证：；
若，，求的半径．

26.本小题分

如图，二次函数的图象与轴交于、两点与轴交于点，点坐标，点坐标
求抛物线的函数关系式和点坐标；
在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由；
过抛物线上的点作垂直于轴的直线，交轴于点，交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为，连接，当线段的长度最短时，求出点的坐标．

27.本小题分
已知一个直角三角形纸片，其中，，如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于点．

若折叠后使点与点重合，则点的坐标为______ ；若折叠后使点与点重合，则点的坐标为______ ；
若折叠后点落在边上的点为，设，，试写出关于的函数关系式，并确定的取值范围；
若折痕经过点，请求出点落在轴上的点的坐标；
若折叠后点落在的轴上的点为，且使是直角三角形，直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
最大的数是．
故选D．
根据有理数大小比较方法，正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数解答．
本题考查了有理数的大小比较，是基础题，熟记比较方法是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：、是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项正确；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项错误；
故选B．
根据中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．

3.【答案】 

【解析】解：点在反比例函数的图象上，
，
解得．
故选：．
直接把点代入反比例函数，求出的值即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：因为众数是出现频数最高的数据即厘米，所以是对的；
对于中位数，因题中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数或最中间的两个数即可，本题是最中间的一个数即，所以是对的；
根据平均数的公式得平均数为厘米，故C是对的；
这组数据的方差为：，所以是错误的．
故选：．
利用众数是出现频数最高的数据即可判断是对的；利用中位数的求法，可知是对的；利用平均数的求法可知是对的；利用方差的公式可求出方差，从而对作出判断．
本题考查的是平均数、众数、中位数及标准差．关键是熟练掌握方差公式．

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，
，
．
故选B．
根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解．
本题考查了圆周角和圆心角的有关知识．

6.【答案】 

【解析】解：的顶点坐标为．
故选：．
根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
是的切线，
，
，
又，
，
是等边三角形，
，．
，
，成立；
，成立；
，
，成立；
综上所述，均成立，
故答案选：．
连接，是的切线，可得，由，可以得出，是等边三角形，，再结合在直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，继而得到结论成立．
本题考查了圆的有关性质的综合应用，在本题中借用切线的性质，求得相应角的度数是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：如图，设与轴交于点，与轴交于点，连接、，

四边形是以原点为对称中心的矩形，
，，，，，，
轴，
，
，，
轴，轴，
四边形是矩形，
同理可证：四边形，四边形，四边形都是矩形，
点在反比例函数图象上，
，
，
，
，
四边形是矩形，
矩形的面积，
矩形的面积大小不变．
故选：．
连接、，先证明四边形是矩形，再利用反比例函数的性质得到矩形的面积，的面积，从而推出四边形的面积即可解决问题．
本题主要考查反比例函数的性质，矩形的判定与性质，中心对称图形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解决问题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：要使式子在实数范围内有意义，必须，
解得：．
故答案为：．
根据分式有意义的条件得出，再求出答案即可．
本题考查了分式有意义的条件，能熟记中是解此题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

11.【答案】、、 

【解析】解：，
当时，是等腰三角形；
当时，是等腰三角形；
当时，是等腰三角形；
故答案为：、、．
此题要分三种情况进行讨论、为底角；为顶角，为底角；为顶角，为底角．
此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握等角对等边，注意考虑全面，不要漏解．

12.【答案】 

【解析】解：作的延长线于点．
在中，，则．
故．
故答案为：．
的值可以转化为直角三角形的边的比的问题，因而过点作垂直于的延长线于点．
在中根据三角函数的定义求解．
本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．

13.【答案】 

【解析】解：抛物线有最低点，
，
即．
故答案为．
由于抛物线有最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以确定的范围．
本题主要考查二次函数的最值的知识点，解答此题要掌握二次函数图象的特点，本题比较基础．

14.【答案】 

【解析】解：设盒中共有球个，根据题意得出：
，
解得：，
经检验是方程的解．
故答案为：．
根据白球个数除以小球总数进而得出得到白球的概率，进而得出答案．
此题主要考查了概率公式的应用，熟练利用概率公式是解题关键．

15.【答案】 

【解析】解：设原来每天加工帐篷顶，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，且符合题意，
故答案为：．
设原来每天加工帐篷顶，根据实际比原来提前天完成任务，列分式方程，求解即可，注意检验．
本题考查了分式方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：如图，延长交于，当时，点到的距离最小，
，，，
，
，，
∽，
，即，
解得，，
由折叠的性质可知，，
，
故答案为：．
延长交于，得到时，点到的距离最小，根据相似三角形的性质求出，根据折叠的性质，计算即可．
本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．垂线段最短等知识，解题的关键是正确找到点位置．

17.【答案】解：

． 

【解析】先计算乘方、绝对值、立方根，最后计算加减．
此题考查了实数混合运算的能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能进行正确的计算．

18.【答案】解：


． 

【解析】先算括号里的运算，把能分解的因式进行分解，除法转为乘法，再约分即可．
本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

19.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：，
不等式组的正整数解是，． 

【解析】先求出不等式组的解集，再求出正整数解即可．
本题考查了解不等式组及不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解决问题的关键．

20.【答案】解：

随机抽取的人的社会实践活动成绩的平均数是：分．
估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分是：分 

【解析】根据抽取的人数可以确定中位数的位置，从而确定中位数，小长方形最高的小组的分数为该组数据的众数；
算出抽取的名学生的平均分乘以全校的总人数即可得到光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分．
本题考查了条形统计图的知识，题目相对比较简单，解题的关键是正确的识图，并从图形中整理出有关的解题的信息．

21.【答案】   
解法一树状图：

从上图可以看出，共有种可能结果，其中大于或等于元共有种可能结果，
因此不低于元；
解法二列表法：

以下过程同“解法一” 

【解析】如果摸到元和元的时候，得到的购物券是最少，一共元．如果摸到元和元的时候，得到的购物券最多，一共是元；
见答案．
【分析】
列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．
本题主要考查概率知识．解决本题的关键是弄清题意，满元可以摸两次，但摸出一个后不放回，概率在变化．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

22.【答案】证明：在矩形中，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：由得，
，
在矩形中，，
在中，，即，
． 

【解析】根据矩形的性质和已知条件可证明≌，可证得；
由可知，在中由勾股定理可求得的长．
本题主要考查矩形的性质和全等三角形的判定和性质，在中证得三角形全等是解题的关键，在中注意勾股定理的应用．

23.【答案】解：过作于，

，，，
，
，，
，
，
，
在中，，
，，
，
在中，，
航标、之间的距离是海里． 

【解析】在中，利用求出，证明为直角三角形，再求出，过作于，求出和，再求出，即可用勾股定理求出．
本题考查了解直角三角形的应用，勾服定理的计算是解题关键．

24.【答案】解：设甲队的工作效率，
由题意，得：，
解得：，
因为，
所以乙单独完成工程需天，
因为，
所以从缩短工期角度考虑，应该选择甲队． 

【解析】设甲队的工作效率为，等量关系：甲乙天的工作量甲天的工作量，可得方程，解出，用甲乙合作的工作效率减去甲的工作效率得到乙的工作效率，两者比较即可．
本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，得到等量关系：甲乙天的工作量甲天的工作量．

25.【答案】证明：连接，
于圆相切于，
半径，
，
，
，
，
，
，
；
解：，
，
，
，
，
的半径是． 

【解析】由切线的性质得到径，又，得到，由，得到，因此，故BA；
，得到，因此，即可求出的半径是．
本题考查切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，关键是由，得到，从而求出的长．

26.【答案】解：将，代入得，
解得：，
抛物线的函数关系式为，
令得，，
解得：，，
；
当时，如图，过点作轴于点，

，，
，
为等腰直角三角形，，
，
，
，
为等腰直角三角形，，
设，则，，
，
解得：舍去，，
则，
；
当时，如图，交轴于点，过点作轴于点，

则轴，
由可知，，
，即，
，
为等腰直角三角形，，
轴，
，
为等腰直角三角形，，
设，则，，
，
解得：，舍去，
则，
；
综上，点的坐标为或；
如图，连接，

则四边形为矩形，
，
当线段的长度最短时，线段最小，
当时，最小，
当时，如图，

为等腰直角三角形，，
点为的中点，
轴，
，
为三角形的中位线，
，
，即，
解得：，，
当点的坐标为或时，最短． 

【解析】将点、的坐标代入函数解析式中可得关于，的二元一次方程组，解出，的值得到抛物线的函数关系式，再令，求解即可得出点的坐标；
分两种情况讨论：当时，过点作轴于点，由，易得为等腰直角三角形，进而得出为等腰直角三角形，，设，则，，以此列出方程求解即可；当时，交轴于点，过点作轴于点，易得为等腰直角三角形，，为等腰直角三角形，，设，则，，以此列出方程求解即可；
根据题意画出图形，连接，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，因此当线段的长度最短时，线段最小，由垂线段最短可知当时，最小，此时由等腰三角形的性质可得点为的中点，于是可得为三角形的中位线，，即，以此即可求出点的坐标．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质，解题关键是：利用点、的坐标，正确求出函数解析式；熟知等腰三角的性质，并利用分类讨论思想解决问题；利用矩形的性质将线段转化为，利用垂线段最短来确定的最小值．

27.【答案】   

【解析】解：如图，，延折叠后使点与点重合，
，
的坐标是，
如图连接，
，延折叠后使点与点重合，
，
设，则，在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
即，
故答案为：，
如图连接，
延折叠后使点与点重合，
，
在中，由勾股定理得：，
，
即，的取值范围是．
如图
若折痕经过点和重合，点落在轴上的点，
，
即的坐标是．
如图连接，
设，，
延折叠和重合，
，，
，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
即，
，，，
在中，由勾股定理得：，
为边长，
，
解方程得：，，
的坐标是．

根据对折得出，根据求出即可；连接，推出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，求出方程的解即可；
连接，得出，在中，由勾股定理得出方程，由即可得出的范围，求出即可；
根据已知得出，即可得出答案；
连接，设，，求出，推出∽，得出，求出，在中，由勾股定理得出，求出即可．
本题考查了等腰三角形性质，平行线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定，折叠的性质，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，综合性比较强，有一定的难度，方程思想的运用．