江苏省无锡市宜兴市实验中学教育集团2023-2024学年九年级上学期第一次独立作业数学试卷（月考）

宜兴市实验中学2023～2024学年第一学期

第一次独立作业初三年级数学试卷

命题人：    审核人：

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列方程为一元二次方程的是 (    )

A．x+2＝0  B．x2－2x－3  C．x2-1＝0  D．xy＋1＝0

2.如果两个相似三角形对应边之比是1:4，那么它们的周长之比是 （  　）

A．1:4         B．1:6       C．1:8        D．1:16

3.若关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0没有实数根，则k的取值范围是（   ）A．k＞－1                              B．k≥－1                                          C．k＜－1                                          D．k≤－1

4.下列说法正确的是（　　）

  A．矩形都是相似图形                      B．等边三角形都是相似三角形

  C．各边对应成比例的多边形是相似多边形    D．边长相等的菱形都相似

5.若一元二次方程x2+x－2=0的解为x1、x2，则x1•x2的值是 （     ）

   A．1           B．—2            C．2            D．—1

6.某品牌店今年4月份的销售额是8万元，6月份的销售额是18万元，从4月份到6月份，该店销售额平均每月的增长率是 （     ）A．20%     B．25%     C. 50%     D．62.5%

7.在图中，连接格点构成三角形，其中与阴影三角形成位似图形（全等图形除外）的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8.如图，AD为△ABC中BC边上中线，点E、F分别在AB和AC边上，EF∥BC交AD于点

G．则下列结论中不一定成立的是（　　）

A．    B．    C．     D．

9.如图，已知矩形纸片ABCD，其中AB＝3，BC＝4，现将纸片进行如下操作：

第一步，如图①将纸片对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展开后如图②；

第二步，再将图②中的纸片沿对角线BD折叠，展开后如图③；

第三步，将图③中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线BD上的点H处，如图④．则DH的长为（　　）A．       B．     C．      D．

  第9题

第7题       第8题

10. 如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，BD，CE为高，F是BC的中点，连接DE，DF，

EF．有下列结论：①AD：AB＝AE：AC；②△DEF是等边三角形；③BE+CD＝BC；④△ADE与四边形BCDE的面积比是1：3．其中正确的结论是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.如果 = 2，那么 的值是             

12.小明在解一元二次方程x2＝x时，只得出一个根是x＝1，则被他漏掉的一个是 　    　．

13.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝2，则BC＝　      

14.若关于的一元二次方程有实数根，则整数的最大值为        

15.已知m，n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则m2+4m+n的值为             

16.如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F．若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为         

第10题                  第16题              第17题              第18题

17.如图，邻边不等的长方形花圃ABCD，它的一边AD利用已有围墙，另外三边所围的栅栏

的总长度是5m．EF处开一门，宽度为1m，若长方形ABCD的面积为4m2，则AB的长度是　   　m（可利用的围墙长度超过4m）．

18. 如图，点D在线段BC上移动（不含B点），Rt△ABC∽Rt△ADE，∠ACB＝90°，

AB＝10，BC＝8，若S△CDE＝3.6时，则BD＝　　     ．​

三、简答题（共96分）

19.（本题满分16分）解方程（1）（x﹣1）2＝9；           （2）x2﹣4x﹣2＝0；

（3）；      （4）3x2+2x﹣1＝0（公式法）

20.（本题满分8分）已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26．

（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．

21．（本题满分8分）如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的角平分线，且交AB于点E，DB与CE相交于点O，（1）求证: △EBC是等腰三角形（2）已知：AB=7，BC=5，求的值。

22.（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）.（1）面积是  　  ；（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的得到,请在y轴左侧画出；（3）请用无刻度直尺在边AC上画一点P，使得∠PBC=∠BAC，并保留作图痕迹。

23.（本题满分8分）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x（x+4）＝6．解：原方程可变形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6．（x+2）2﹣22＝6，（x+2）2＝6+22，（x+2）2＝10．直接开平方并整理，得．x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．

我们称小明这种解法为“平均数法”．（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）＝5时写的解题过程．解：原方程可变形，得：[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5．

（x+a）2﹣b2＝5，（x+a）2＝5+b2．直接开平方并整理，得．x1＝c，x2＝d．

上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为　   　，　     　，　     　，　     　．

（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝6．

24.（本题满分8分）社区利用一块矩形空地建了一个小型的居民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为640平方米．（1）求通道的宽是多少米？

（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元？（涨价后月租金不能超过300元）

25.（本题满分10分）如图，锐角△ABC中，BC＝12，BC边上的高AD＝8，矩形EFGH的边GH在BC上，其余两点E、F分别在AB、AC上，且EF交AD于点K．（1）求的值；

（2）设EH＝x，矩形EFGH的面积为S．

①求S与x的函数关系式；②请直接写出S的最大值为　     　．

26.（本题满分10分）如图，点A（1，4）、B（2，a）在函数y＝（x＞0）的图象上，直线AB与x轴相交于点C，AD⊥x轴于点D．（1）m＝　   　；（2）求点C的坐标；（3）在x轴上是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．

27.（本题满分10分）如图，矩形ABCD中，AD＝8，AC＝10，动点E在对角线AC上．连接DE，作EF⊥ED交射线BC于点F．（1）当AC平分∠DEF时，求AE的长；

（2）当△EFC为等腰三角形时，求AE的长．

（3）在运动过程中，DE与EF的比值是否发生变化，如果改变，请说明理由；如果不改变，请直接写出它的比值．

28. （本题满分10分）如图，△ABC和△DBE顶点B重合，∠ABC＝∠DBE＝90°，

∠BAC＝∠BDE＝30°，BC＝3，BE＝2．

（1）如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论：

＝　             　；直线AD与直线EC的位置关系是 　     　；

（2）如图2，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转一周的过程中，连接AD、EC，其所在直线相交于点F，

①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

②当DF的长度最大时，直接求线段EC的长度．