湖北省武汉市水果湖高级中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题

湖北省水果湖高级中学高一年级十月月考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1．满足的集合A的个数为（    ）

A．2 B．3 C．8 D．4

2．已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ）

A． B．或 C． D．

3．已知集合，，那么是的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

4．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）

A．  B．或

C．  D．或

5．集合，，若，则（    ）

A．-3 B．3或-3 C．3 D．3或-3或5

6．已知且，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

7．已知正实数a，b满足，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．2

8．设正实数x，y满足，则下列说法错误的是（    ）

A．的最小值为4 B．xy的最大值为

C．的最大值为2 D．的最小值为

二、多选题（本大题共4小题，共20．0分。在每小题有多项符合题目要求）

9．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

10．下列说法正确的为（    ）

A．命题“，使”的否定形式是“，使”

B．“”是“”的充分不必要条件

C．若p是q的充分条件，s是q的充要条件，则s是p的必要条件

D．若命题“，”是假命题，则

11．下列四个命题中，所有假命题为（    ）

A．对任意实数a，b，满足

B．设x，y都是正数，若，则的最小值是12

C．对任意实数x，满足

D．若，则

12．若，，则下列结论中一定正确的是（    ）

A．  B．

C．  D．若，则的最小值为4

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13．已知集合，，且，则______．

14．，不等式恒成立的充要条件是______．

15．已知，，则的范围是______

16．已知，，且，则最小值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题10.0分）

已知，．

（1）若，求实数a的值；

（2）若，求实数a的取值范围．

18．（本小题12.0分）

已知集合，集合．

（1）若，且，求实数a的取值范围．

（2），若是的必要不充分条件，判断实数m是否存在，若存在求m的范围．

19．（本小题12.0分）

党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计．而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．2018年张家口市成功入围国家清洁能源取暖试点城市，到2021年，全市全面建成清洁能源取暖试点城市，并通过示范城市的建设大力推动清洁能源规模化、普及化及科学化发展．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低？最低总造价是多少元？

20．（本小题12.0分）

已知关于x的不等式的解集为，或（）．

（1）求a，b的值；

（2）当，，且满足时，有恒成立，求k的取值范围．

21．（本小题12.0分）

已知．

（1）若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围；

（2）求解不等式：．

22．（本小题12.0分）

若正数a，b，c满足．

（Ⅰ）求的最大值；

（Ⅱ）求证：．

答案和解析

1．【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查子集，属于基础题．

利用子集的概念，列出满足条件的集合A即可，

【解答】

解：∵，

∴满足条件的集合A有，，，

故选B．

2．【答案】D

【解析】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于B当不属于A的元素构成，所以用集合表示为．

则，则，

故选：D．

根据Venn图和集合之间的关系进行判断．

本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．

3．【答案】A

【解析】【分析】

本题考查充分、必要、充要条件与集合的关系，属于基础题．

先求出集合M，N，可知M是N的真子集，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案．

【解答】

解：由可得，所以，

由可得，所以，

所以M是N的真子集，

所以是的充分不必要条件，

故选：A．

4．【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于中档题，若，则的解集是；

的解集是．

根据已知不等式的解集，利用韦达定理得到b，c与a的关系，代入所求不等式，利用一元二次不等式的解法

求出解集即可．

【解答】

解：由不等式的解集为，得到，

且方程的两个根分别为-3，2，由韦达定理：，，

化为，化简得：，即，解得：或，即不等式的解集为或，

故选B．

5．【答案】A

【解析】【分析】

本题考查交集及其运算与集合中元素的特性．

由已知得到或，求出a后分别验证得答案．

【解答】

解：∵，，且，∴或，

当时，，则，不符合题意：

当时，，若，集合B不满足互异性；

若，，满足条件．

综上，，

故选A．

6．【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了不等式的性质，属基础题，先判断出a，c的符号，再分别对各个选项进行特例否定或者演绎证明即可．

【解答】

解：∵，，∴，．

A：，，，满足条件不满足A，故A错误：

B：时不成立，故错误；

C：，，时，，，，故C错误；

D；∵，，∴成立，故选D．

7．【答案】B

【解析】【分析】

本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题．

由已知可得：，又，所以，然后即可求出答案．

【解答】

解：因为，，并且，

所以，而，所以．

于是，当且仅当时，取得最大值．

故选B．

8．【答案】C

【解析】【分析】根据基本不等式以及“1”的妙用判断各选项．

解：对于A，，当且仅当时取等号，故A正确；

对于B，，当且仅当，即，时取等号，故B正确；

对于C，，

则，当且仅当，即，时，故C错误；

对于D，，当且仅当，时取等号，故D正确．

故选：C

9．【答案】AD

【解析】【分析】

本题考查集合包含关系的判断，交集运算，属于一般题．

由题意得集合，，再由集合的包含关系以及集合的交、并运算即可求解．

【解答】

解：由题意知，集合，

集合，

为偶数，为整数，

所以，，．

故选：AD．

10．【答案】BC

【解析】【分析】

本题考查命题真假的判断，是基础题．

对各个选项逐一判断即可．

【解答】

解：A，命题“，使”的否定形式

是“，使”，故A错误；

B，当时，成立；

当时，解得或，

所以“”是“”的充分不必要条件，B正确；

C，若p是q的充分条件，s是q的充要条件，则有，所以s是p的必要条件，C正确；

D，若命题“，”是假命题，

则，是真命题，

故或，解得：，

所以m的取值范围是，D错误．

故选BC．

11．【答案】AB

【解析】【分析】

本题考查利用基本不等式求最值，考查命题真假的判定，属于基础题．

利用基本不等式即可逐项判断命题的真假．

【解答】

解：当a，时，不月成立，故A是假命题；

，当且仅当即时取等号，所以的最小值是16，故B为假命题；

由题意可知，所以，当且仅当即时取等号，故C是真命题；

若，则，，所以，当且仅当即时取等号，故D是真命题．

故选AB．

12．【答案】ACD

【解析】【分析】

本题考查作差比较大小和基本不等式．

利用作差法即可判断A，取特殊值判断B．化简利用基本不等式即可判断C．对式子消去a得到，利用乘一法和基本不等式即可判断D．

【解答】

解：若，，则，，即，

由，可得，故A正确；

取，，此时，，，故B错误；

，

由于，故等号不成立，即，故C正确；

若，则，且，

则

，

当且仅当，，时等号成立．故D正确；

故选ACD．

13．【答案】0或

【解析】【分析】

本题考查学生等价转化的思想，集合相等的转化，集合中元素的互异性．考查学生列方程求解未知数的思想．

利用集合交并运算的定义寻求A，B的关系是解决本题的关键．再根据集合相等确定未知数的等式关系，通过解方程组求解出所求的实数a值．注意元素互异性的应用．

【解答】

解：由知，又根据集合元素的互异性，

所以有或解得或，

故或．

答案：0或

14．【答案】

【解析】【分析】

本题考查充要条件的判断以及不等式恒成立问题，属于中档题．

由题意，根据，分类讨论，根据一元二次不等式恒成立可得关于a的不等式组，求出a的范围，再根据充要条件概念即可得答案．

【解答】

解：当时，即，

当时，，不等式恒成立，满足条件；

时，不满足条件；

当时，可得：

解得：或，

综上：．

15．【答案】

【解析】【分析】

本题考查了不等式的基本性质，考查了计算能力，属于中档题．

由，，设，联立

，解得m，n即可得答案．

【解答】

解：由，，

设，

∴，解得．

∴，，

∴．

∴的取值范围是，

故答案为．

16．【答案】

【解析】【分析】首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值．

【详解】，

结合可知原式，

且当且仅当，时等号成立，

即最小值为．

【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值：三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

17．【答案】解：（1）由方程，解得或，所以，

由，而，故，

即方程的两根为或，

利用韦达定理得：，即；

（2）由已知得，又，

时，则，即，解得或；

时，若B中仅有一个元素，则，即，解得，

当时，，满足条件；当时，，不满足条件；

若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到解得，满足条件．

综上，实数a的取值范围是或或；

【解析】本题主要查了交集、并集以及一元二次方程的解法，考查了学生分类讨论的思想，培养了学生的综合能力．

（1）由，由韦达定理得出结论．

（2）由，知，再根据一元二次方程根的情况讨论B的情况，得出a的取值范围．

18．【答案】解：（1）依题意，或，，∴

当时，有，即；

当时，有解得，

综上所述，．

（2）依题意，若是的必要不充分条件，则且，

∵，

∴且两个不等式的等号不能同时成立，解得，

∴．

【解析】本题考查不等式的解法，集合的交运算、子集关系的应用和充分条件、必要条件的判断应用，考查计算能力和转化能力，属中档题．

（1）解不等式化简集合A和B，求出，再分C是否为空集即可解答；

（2）依题意，且，解不等式化简集合D，再利用集合的关系即可解答．

19．【答案】解：设沼气池的底面长为x米，沼气池的总造价为y元，

因为沼气池的深为2米，容积为32立方米，所以底面积为16平方米，

因为底面长为x米，所以底面的宽为，

依题意有，

因为，由平均值不等式可得，

即，

所以，

当且仅当，即时、等号成立，

所以当沼气池的底面是边长为４米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元．

【解析】本题考查了利用平均值不等式求解最值在实际问题中的应用，解题的关键是由实际问题抽象出具体函数解析式，属于中档题．

设沼气池的底面长为x米，沼气池的总造价为y元，依题意有，利用平均值不等式即可求解．

20．【答案】解：（1）方法一：因为不等式的解集为或，

所以1和b是方程的两个实数根且，

所以，解得

方法二：因为不等式的解集为或，

所以1和b是方程的两个实数根且，

由1是的根，有，

将代入，

得或，

∴；

（2）由（1）知，于是有，

故，

当且仅当时，等号成立，

依题意有，即，得，

所以k的取值范围为．

【解析】本题考查了二次函数和二次不等式的关系，考查基本不等式的性质以及转化思想，属于较难题．

（1）方法一：根据一元二次不等式和相应方程的关系结合根与系数的关系得到关于a，b的方程组，求出a，b的值即可；

方法二：根据一元二次不等式和相应方程的关系解出a，代入不等式，解出不等式，从而得到b；

（2）根据乘“1”法，结合基本不等式的性质求出的最小值，得到关于k的不等式，解出即可．

21．【答案】解：（1）当时，原不等式即为恒成立；

当时，不等式对恒成立，可得，即，

解得；

当时，的图象开口向上，原不等式不恒成立，

综上可得m的取值范围是；

（2）当时，，原不等式的解集为R；

当时，，

设方程的两根为，，（），

的解集为；

当时，①若，即，解集为；

②即，原不等式的解集为R；

③即时，，原不等式的解集为，

综上可得，时，原不等式的解集为R；

时，原不等式的解集为其中，，（）；

，解集为；

时，原不等式的解集为，其中，，．

【解析】本题考查不等式的解法和不等式恒成立问题解法，拔高题．

（1）对m的范围进行分类讨论，结合二次函数的性质，解不等式可得所求范围；

（2）对m得范围进行讨论，结合二次不等式的解法，可得所求解集．

22．【答案】（Ⅰ）解：∵a，b，，

∴

∴

当且仅当时，取“=”

综上所述，的最大值是：；

（Ⅱ）证明：∵a，b，，

∴，

，

，

∴三个式子相加得，

当且仅当时，取“=”．

【解析】本题考查利用基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．

（Ⅰ）将等式两边平方，结合基本不等式，即可得到所求最大值；

（Ⅱ）根据题意可得，，，三个式子相加即可证得结论．