山东省淄博第七中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题

2023年10月高一月考数学—淄博第七中学

（考试时间：120分钟    满分150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

1．下列元素与集合的关系中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

2．已知集合，，则＝（    ）

A． B． C． D．

3．已知命题p：“，”，则它的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

4．已知集合，则M的子集个数是（    ）

A．2 B．8 C．4 D．16

5．已知，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

7．下列说法中，错误的是（    ）

A．若，，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，，则

8．设，，若，且不等式恒成立，则m的取值范围是（    ）

A．或 B．或 C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。

9．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是（    ）

A．若，则x>y B．若，则

C．若，则 D．若，则

10．图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）

A． B． C． D．

11．已知关于x的不等式的解集为，则下列结论错误的是（    ）

A． B． C． D．

12．下列选项中正确的是（    ）

A．若正实数x，y满足，则

B．存在实数a，使得不等式成立

C．若a、b为正实数，则

D．不等式恒成立

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若实数a，b，c满足，，则______（用不等号填空）．

14．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是______．

15．若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是______．

16．已知关于x的不等式（其中）的解集为A，若满足（其中Z为整数集），则使得集合B中元素个数最少时m取值范围是______．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知，，，计算．

（1）；（2）．

18．（1）已知，求的最大值；

（2）已知，求的最大值；

（3）已知x，，且，求的最小值．

19．已知集合，，．

（1）命题p：“，都有”，若命题p为真命题，求a的值；

（2）若“”是“”的必要条件，求m的取值范围．

20．已知命题“关于x的方程有两个不相等的实数根”是假命题．

（1）求实数m的取值集合A；

（2）设集合，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

21．全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号．太原市某社区响应市委号召，在全面开展“创城”的基础上，对一块空闲地进行改造，计划建一面积为矩形休闲广场．要求既要占地最少，又要美观实用．初步决定在休闲广场的东西边缘都留有宽为2m的草坪，南北边缘都留有5m的空地栽植花木．

（1）设占用空地的面积为S（单位：），矩形休闲广场东西距离为x（单位：m，），试用x表示为S的函数；

（2）当x为多少时，用占用空地的面积最少？并求最小值．

22．已知二次函数．

（1）若的解集为，解关于x的不等式；

（2）若对任意，，且不等式恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值；

（3）若对任意，若且不等式恒成立，求的最小值．

2023年10月高一月考数学—淄博第七中学

参考答案

1．A解：选项B：因为集合N中没有负数，故B错误，

选项A：因为集合中的元素是所有正整数，故A正确，

选项C：因为集合Q表示所有有理数，故C错误，

选项D：R为实数集，是实数，故D错误，故选：A．

2．C解：∵，，

∴．故选：C．

3．D解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，

命题p：“，”，

则它的否定为：，．故选：D．

4．B解：当x、y、z都是正数时，；

当x、y、z都是负数时，；

当x、y、z中有一个是正数时，另外两个是负数或有两个是正数，另一个是负数时，；故该集合中有3个元素，则其子集个数为．故选：B．

5．D解：∵，，

∴，，

∴，故选：D．

6．D解：∵集合，

，，∴，

∴实数a的取值范围是．故选：D．

7．A解：对于A，若，，取，，则，故A错误；

对于B，若，则，所以，故B正确；

对于C，若，，则，

则，所以，故C正确；

对于D，若，，则，所以，故D正确．故选：A．

8．C解：∵，

∴，

∴

（当且仅当时取“＝”），

∴的最小值为9，

则由不等式恒成立，

得：，即，

解得：．故选：C．

9．BC解：对于A：若，则，所以p为q既不充分也不必要条件，故A错误；

对于B：若，则，所以p为q的必要条件，故B正确；

对于C：若，则，所以p为q的必要条件，故C正确；

对于D：若，则，所以p为q的充要条件，故D错误．故选：BC．

10．AD解：图中阴影部分用集合符号可以表示为：或．

故选：AD．

11．BCD解：不等式的解集为，

所以和2是方程的实数解，且；

由根与系数的关系知，

所以，且；

又，所以；

综上知，正确的结论是BCD．故选：BCD．

12．ABC解：对于A：若正实数x，y满足，

当且仅当时等号成立恒成立，故A错误；

对于B：存在实数，使得不等式成立，故B正确；

对于C：若a、b为正实数，则，

当且仅当时，等号成立，故C正确；

对于D：当和时，不等式，

则，

当且仅当，即，时等号成立，故A正确．故选：ABC．

13．>

解：∵，，∴，

∴，

∴，故答案为：>．

14．30

解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和（万元）．

当且仅当时取等号．故答案为：30．

15．

解：若“”是“”的必要不充分条件，

则，

则，

即实数a的取值范围是，故答案为：

16．

解：对m分类讨论：若，不等式化为：，解得．∴．此时满足的B有无数个元素．

若，不等式化为：，无论与－4的大小关系如何，此时满足的B有无数个元素．

若，不等式化为：，解得，此时满足的B有有限个元素．由，，

可得时，取得极小值即最小值，此时B中只含有8个元素，令，解得，3．∴．

综上可得：使得集合B中元素个数最少时m取值范围是．故答案为：．

17．解：（1）∵，，

∴；

（2）∵，

∴，，

∴．

18．解：（1）因为，所以，所以，当且仅当时取“＝”，则函数的最大值为．

（2）因为，，，当且仅当时取“＝”，则函数的最大值为－1．

（3）因为x，，且，所以，

当且仅当时取“＝”，则函数的最小值为．

19．解：（1）由，解得，2，∴集合，，

命题p：“，都有”，若命题p为真命题，则．

①若，则，解得．

②若，则，解得．

∴a的值为2或3．

（2）若“是“”的必要条件，∴．

①时，此时，，解得．

②时，此时，，此时方程组无解，m的值不存在．

③时，此时，，此时方程组无解，m的值不存在．

④，此时，解得．

综上可知：m的取值范围是．

20．解：（1）若命题“关于x的方程有两个不相等的实数根”是真命题，

所以，解得或，故．

（2）因为，是的充分不必要条件，所以．

即，解得，所以实数a的取值范围为．

21．解：（1）因为广场面积须为，所以矩形广场的南北距离为，

所以；

（2）由（1）知，

当且仅当时，等号成立．

所以当休闲广场东西距离为40m时，用地最小值为．

22．解：（1）的解集为，

可得，－3，4是方程的两根，

则，，即有，，

关于x的不等式即为，

化为，解得，

则所求不等式的解集为；

（2）若对任意，，且不等式恒成立，

可得，，即，即．

并且存在，使得成立，

则，即，

所以，，

则，

当且仅当，即，又，即有，时，取得等号．

所以的最小值是；

（3）若对任意，若且不等式恒成立，

可得，且，即有，

所以，

令，则，

当且仅当，即，，时，等号成立．

所以的最小值为8．