2024年高考数学第一轮复习专题3.3 导数在函数最值及生活实际中的应用（解析版）

这是一份2024年高考数学第一轮复习专题3.3 导数在函数最值及生活实际中的应用（解析版），共50页。试卷主要包含了隐零点问题的解题技巧，已知函数，若，则的取值范围是等内容，欢迎下载使用。
3.3 导数在函数最值及生活实际中的应用
思维导图



知识点总结
导数与不等式



构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：
(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，ex≥x＋1，ln x＜x＜ex(x＞0)，≤ln (x＋1)≤x(x＞－1)；
(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；
(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．

零点与隐零点问题


1．已知函数有零点求参数范围常用的方法
(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的极值和最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．
2．隐零点问题的解题技巧(能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点”)
对于隐零点问题，常用代数变形、整体代换、构造函数、不等式应用等技巧．



典型例题分析
考向一 移项作差构造函数证明不等式
例1　(2021·南昌调研)已知函数f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直．
(1)求a，b的值；
(2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥.
解　(1)因为f(x)＝1－，所以f′(x)＝，f′(1)＝－1.
因为g(x)＝＋－bx，g′(x)＝－－－b.
因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直，
所以g(1)＝1，且f′(1)·g′(1)＝－1，
从而g(1)＝a＋1－b＝1，且g′(1)＝－a－b－1＝1，解得a＝b＝－1.
(2)证明：g(x)＝－＋＋x，则f(x)＋g(x)≥⇔1－－－＋x≥0.
令h(x)＝1－－－＋x(x≥1)，
则h(1)＝0，h′(x)＝－＋＋＋1＝＋＋1.
因为x≥1，所以h′(x)＝＋＋1＞0，h(x)在[1，＋∞)上单调递增，
所以h(x)≥h(1)＝0，即1－－－＋x≥0.
故当x≥1时，f(x)＋g(x)≥.

若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值证明不等式．
考向二 单变量不等式恒成立或存在性问题
例2　已知函数f(x)＝.
(1)若函数f(x)在区间上存在极值，求正实数a的取值范围；
(2)如果当x≥1时，不等式f(x)≥恒成立，求实数k的取值范围．
解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＝－，令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．所以1为函数f(x)的极大值点，且是唯一的极值点，
所以0＜a＜1＜a＋，故＜a＜1，即正实数a的取值范围为.
(2)当x≥1时，k≤恒成立，令g(x)＝(x≥1)，
则g′(x)＝
＝.令h(x)＝x－ln x(x≥1)，
则h′(x)＝1－≥0，所以h(x)≥h(1)＝1，所以g′(x)＞0，g(x)在[1，＋∞)上单调递增，
所以g(x)≥g(1)＝2，故k≤2，即实数k的取值范围是(－∞，2].

(1)“恒成立”“存在性”问题一定要正确理解其实质，
深刻挖掘内含条件，进行等价转化．
(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题．

考向三 　构造双函数
例3　已知两函数f(x)＝8x2＋16x－m(m∈R)，g(x)＝2x3＋5x2＋4x，若∀x1∈[－3，3]，∃x2∈[－3，3]，恒有f(x1)>g(x2)成立，求m的取值范围．
解　若∀x1∈[－3，3]，∃x2∈[－3，3]，恒有f(x1)>g(x2)成立，
只需在[－3，3]上，f(x)min>g(x)min即可．
f(x)＝8x2＋16x－m＝8(x＋1)2－m－8，
f(x)min＝f(－1)＝－m－8，g(x)＝2x3＋5x2＋4x，g′(x)＝6x2＋10x＋4＝2(x＋1)(3x＋2)，
当x∈[－3，－1)∪时，g′(x)>0，故[－3，－1)与是g(x)的单调递增区间；
当x∈时，g′(x)－21，解得mx；
(2)讨论函数f(x)在R上的零点个数，并求出相对应的a的取值范围．
解　(1)证明：当a＝0时，f(x)＝ex－x，
令g(x)＝f(x)－x＝ex－x－x＝ex－2x，
则g′(x)＝ex－2.
令g′(x)＝0，得x＝ln 2.当x0，g(x)单调递增．ln 2是g(x)的极小值点，也是最小值点，
即g(x)min＝g(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2ln >0，故当a＝0时，f(x)>x成立．
(2)f′(x)＝ex－1，由f′(x)＝0，得x＝0.
所以当x0，f(x)单调递增．
所以0是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，即f(x)min＝f(0)＝1－a.
当1－a>0，即a0，
所以f(x)在(－∞，0)内只有一个零点．
由(1)得ex>2x，令x＝a，得ea>2a，
所以f(a)＝ea－a－a＝ea－2a>0，
于是f(x)在(0，＋∞)内只有一个零点．
因此，当a>1时，f(x)在R上有两个零点．
综上，当a1时，函数f(x)在R上有两个零点．
利用导数确定含参函数零点或方程根的个数的常用方法
(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化成确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．
(2)利用零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
考向五 　　已知函数零点个数求参数问题
例5　函数f(x)＝ax＋x ln x在x＝1处取得极值．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个零点，求实数m的取值范围．
解　(1)函数f(x)＝ax＋x ln x的定义域为(0，＋∞).
f′(x)＝a＋ln x＋1.因为f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，则f(x)＝－x＋x ln x，f′(x)＝ln x.令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)