2024年高考数学第一轮复习7.2 基本不等式(解析版)

这是一份2024年高考数学第一轮复习7.2 基本不等式(解析版)，共29页。试卷主要包含了基本不等式，两个重要的不等式，利用基本不等式求最值等内容，欢迎下载使用。

7.2 基本不等式
思维导图



知识点总结
1.基本不等式
(1)如果a，b是正数，那么≤(当且仅当a＝b时等号成立).
我们把不等式≤(a，b≥0)称为基本不等式.
(2)当a，b∈R时，ab≤(当且仅当a＝b时等号成立)，ab≤(当且仅当a＝b时等号成立).
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
对于正数a，b，在运用基本不等式时应注意：
(1)和a＋b为定值时，积ab有最大值；积ab为定值时，和a＋b有最小值.
(2)取等号的条件.
[常用结论]
1.ab≤≤.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式.
2.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.

典型例题分析
考向一 　利用基本不等式求最值
角度1　配凑法
例1 (1)若x＜，则f(x)＝3x＋1＋有(　　)
A.最大值0 B.最小值9
C.最大值－3 D.最小值－3
答案　C
解析　∵x＜，∴3x－2＜0，
f(x)＝3x－2＋＋3＝－＋3
≤－2＋3＝－3.
当且仅当2－3x＝，
即x＝－时取“＝”.
(2)已知0＜x＜，则x的最大值为________.
答案　
解析　∵0＜x＜，∴1－2x2＞0，
x＝·≤·＝.
当且仅当2x2＝1－2x2，
即x＝时等号成立.
(3)(2023·天津模拟)函数y＝(x＞－1)的最小值为________.
答案　9
解析　因为x＞－1，则x＋1＞0，
所以y＝
＝＝(x＋1)＋＋5
≥2＋5＝9，
当且仅当x＋1＝，
即x＝1时等号成立，
所以函数的最小值为9.
角度2　常数代换法
例2 (1)(2023·石家庄模拟)已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝2，则2x＋4y的最小值为________，＋的最小值为________.
答案　4　
解析　2x＋4y≥2＝4，当且仅当x＝2y＝1时取等号，所以2x＋4y的最小值是4；
因为x＞0，y＞0，
所以＋＝(x＋2y)＝≥，
当且仅当x＝y＝时取等号，
所以＋的最小值是.
(2)(2022·深圳二模)已知0＜x＜1，则＋的最小值是________.
答案　9
解析　由0＜x＜1，得1－x＞0.
＋＝[x＋(1－x)]＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝时取等号，
所以＋的最小值是9.
角度3　消元法
例3 (2023·湖南省级示范校检测)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为________.
答案　1
解析　由x2－3xy＋4y2－z＝0得
z＝x2－3xy＋4y2，
故＝＝≤＝1，
当且仅当＝，即x＝2y时，取得最大值，
此时z＝2y2，
则＋－＝－＝－＋1≤1，
当y＝1时，等号成立，
故当取得最大值时，＋－的最大值为1.
角度4　构建不等式法
例4 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.
答案　6
解析　由已知得xy＝9－(x＋3y)，
因为x>0，y>0，
所以x＋3y≥2，
所以3xy≤，
所以×≥9－(x＋3y)，
即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，
则x＋3y≤－18(舍去)或x＋3y≥6
(当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号)，
故x＋3y的最小值为6.
感悟提升　1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
2.常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求＋的最值”的问题，先将＋转化为·，再用基本不等式求最值.
3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.

考向二 利用基本不等式求参数或范围
例5 (1)(2022·威海期末)关于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R，则实数a的取值范围为________.
答案　
解析　不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R，
即对于∀x∈R，ax2－|x|＋2a≥0恒成立，
即a≥.
当x＝0时，a≥0；
当x≠0时，a≥＝，
因为≤＝，
当且仅当|x|＝时取“＝”，所以a≥.
综上所述a∈.
(2)已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________.
答案　4
解析　已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，只需求(x＋y)的最小值大于或等于9，
∵(x＋y)＝1＋a＋＋≥a＋2＋1＝(＋1)2，
当且仅当y＝x时，等号成立，
∴(＋1)2≥9，∴a≥4，
即正实数a的最小值为4.
感悟提升　1.对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值；
2.利用基本不等式确定等号成立的条件，也可得到参数的值或范围.

考向三 利用基本不等式解决实际问题
例6 为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为▱AMBN一组相对的顶点，当▱AMBN的周长恒为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为(　　)

A.6 B.12
C.18 D.24
答案　D
解析　设AM＝x，AN＝y，
则由已知可得x＋y＝10，
在△MAN中，MN＝6，
由余弦定理可得，
cos A＝＝－1＝－1≥－1＝－1＝，
当且仅当x＝y＝5时等号成立，此时(cos A)min＝，
所以(sin A)max＝＝，
所以四边形AMBN的最大面积为2××5×5×＝24(平方米)，
此时四边形AMBN是边长为5米的菱形.
感悟提升　利用基本不等式解决实际应用问题的思路
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
训练3 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨.
答案　20
解析　该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，·4＋4x≥160，当且仅当＝4x，即x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小.

考向四 重要不等式链
若a＞0，b＞0，则≤≤≤.
其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数.要根据题目需要选择合适的形式.
一、利用不等式链求最值
例1 (多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　)
A.有最大值 B.＋有最小值3
C.a2＋b2有最小值 D.＋有最大值
答案　ACD
解析　对于A，由基本不等式可得≤＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，A正确；
对于B，由≤＝＝，得＋≥，当且仅当a＋2b＝2a＋b，即a＝b＝时等号成立，B错误；
对于C，由≥＝，得a2＋b2≥，
当且仅当a＝b＝时等号成立，C正确；
对于D，由≤＝，得＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，D正确.
二、利用基本不等式链证明不等式
例2 已知a，b，c都是非负实数，求证：＋＋≥(a＋b＋c).
证明　∵≥.
即≥(a＋b)，
同理，≥(b＋c)，≥(c＋a)，
相加可得＋＋≥(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝(a＋b＋c)，
当且仅当a＝b＝c时等号成立.
训练 当－＜x＜时，函数y＝＋的最大值为________.
答案　2
解析　由≤，得a＋b≤2，
则y＝＋≤2＝2，
当且仅当＝，即x＝时等号成立.

基础题型训练

一、单选题
1．已知正数，满足，则的最大值为（    ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】利用基本不等式可得，然后解不等式即可.
【详解】，，均为正数，
，
当且仅当，即时取等号，
且，所以，
的最大值为.
故选：B
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，注意在利用基本不等式时，需验证等号成立的条件，属于基础题.
2．已知，，则的最小值是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：由可知，，当且仅当，即时等号成立，又，当且仅当，即，，所以时等号成立．
考点：均值定理

3．设，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据得0＞a＞b，取特殊值可判断ABC，根据基本不等式即可判断D.
【详解】∵，∴0＞a＞b，取a＝－1，b＝－2，
则，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
∵，∴，∵a≠b，所以等号取不到，故，故D正确.
故选：D.
4．若a＞1，则的最小值是（    ）
A．2 B．a
C． D．3
【答案】D
【分析】原式可化为形式且a＞1，即可用基本不等式求最小值，注意等号成立为a＝2
【详解】由a＞1，有a－1＞0
∴，
当且仅当， 即a＝2时取等号.
故选：D
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，使用时注意“一正二定三相等”的条件，属于简单题
5．已知，且，若有解，则实数m的取值范围为（    ）
A．（-∞，-1）∪（9，+∞） B．（-9，1） C．[-9，1] D．（-1，9）
【答案】A
【分析】由有解，可知只要大于的最小值即可，所以结合基本不等式求出的最小值，再解关于的不等式即可
【详解】因为，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时的最小值为9，
因为有解，所以，即，
解得或，
故选：A
6．已知，全集为R，集合，，，则有（　）
A．（） B．（）
C． D．
【答案】A
【分析】首先分析得出，根据集合的运算，即可求解.
【详解】由题意，因为，结合实数的性质以及基本不等式，可得，
可得或，所以，
即
故选A.
【点睛】本题主要考查了集合的运算，以及基本不等式的应用，其中解答中结合实数的性质和基本不等式求得是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

二、多选题
7．在下列函数中，最小值是2的函数有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】选项A先由基本不等式可得，再判断当x＝1或时，等号成立，最后判断选项A正确；选项B先由基本不等式可得，再判断当时，等号成立，但，最后判断选项B不正确；选项C先由基本不等式可得，再判断当时，等号成立，显然不可能取到，最后判断选项C不正确；选项D先由基本不等式可得，再判断当x＝log32时，等号成立，最后判断选项D正确．
【详解】对于选项A：∵x2＞0，∴由基本不等式可得，当且仅当，即x＝1或时，等号成立，故选项A正确；
对于选项B：∵，∴0＜＜1，由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，但是取不到1，所以等号不能成立，故选项B不正确；
对于选项C：由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，显然不可能取到，故选项C不正确；
对于选项D：∵3x＞0，∴由基本不等式可得，当且仅当，即x＝log32时，等号成立，故选项D正确．
故选：AD．
【点睛】本题考查基本不等式，是基础题.
8．，则下列结论正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据题干条件，得到，选项A中与1的大小不确定，不能判断；选项B是基本不等式；选项C是作差法比大小；选项D可以举反例证明不正确即可
【详解】解：因为，∴，；选项A中，与1无法知大小关系，所以不能判断，选项A错误；
选项B中，根据基本不等式得：（无法取等），选项B正确；
选项C中，，∴，选项C正确；
选项D中，取，，，选项D错，
故选：BC．

三、填空题
9．已知正数a、b满足a+b= 1，则a·b的最大值为_____．
【答案】
【详解】
故答案为：
10．已知x＜0，则的最大值等于________．
【答案】
【详解】试题分析：，当且仅当时等号成立，取得最小值
考点：均值不等式求最值
11．已知a>0，b>0，且a+2b=2，则的最小值为______
【答案】
【分析】根据基本不等式，结合代数式的恒等变形进行求解即可.
【详解】因为a>0，b>0，且a+2b=2，所以有：
，
当且仅当时取等号，即时取等号，
故答案为：
12．设、是不等于的正数，则的取值范围是____________.
【答案】
【分析】由题意得出，利用换底公式得到，可得出，再分
和，利用基本不等式可求出实数的取值范围.
【详解】、是不等于的正数，或.
由换底公式得，.
①当时，由基本不等式得，当且仅当时，即当时，等号成立；
②当时，由基本不等式得，当且仅当时，即当时，等号成立.
因此，的取值范围是，
故答案为.
【点睛】本题考查利用基本不等式求取值范围，同时也考查了对数换底公式的应用，在利用基本不等式求解最值时，要注意条件“一正、二定、三相等”条件的成立，当所考查的变量为负数时，可适当地添负号变为正数进行计算，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.

四、解答题
13．设，求函数的最大值.
【答案】4
【分析】根据题意,设,结合二次函数的性质分析可得当时,有最大值16,进而分析可得的最大值,即可得答案.
【详解】解: 根据题意,设
则,
分析可得当时,有最大值16,
则此时有最大值;
故函数的最大值为4.
【点睛】本题考查函数最值的计算,关键是转化思路,利用二次函数的性质求出函数的最大值.
14．（1）当且时，求函数的最小值.
（2）当时，求函数的最大值.
【答案】(1);(2)
【分析】(1)利用“1”的妙用和基本不等式求解；(2)利用基本不等式求解.
【详解】(1) ,
当且仅当即即时取得等号.
所以的最小值为.
(2) ,
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
即，
当且仅当，解得时取得等号，
所以函数的最大值为.
15．（1）若，求的最小值；
（2）若，，，比较、的大小.
【答案】（1）最小值为12；（2）.
【解析】（1）设，，然后利用基本不等式可求出答案；
（2）利用作差法比较出的大小即可.
【详解】（1）设，则，
所以，
当，即时取等号，
所以的最小值为12.
（2）因为，
所以

所以，由题意可知，，所以
16．定义:记为这个实数中的最小值，记为这个实数中的最大值，例如:.
（1）求证:；
（2）已知，求的最小值；
（3）若，求的最小值.
【答案】（1）见解析（2）1（3）2
【分析】（1）作差比较的大小，再根据定义得结果；
（2）根据定义化简为一个分段函数，再分别求各段最小值，即得的最小值；
（3）先根据基本不等式得
【详解】（1）
因此；
（2）
当时，
当时，
所以，的最小值为1；
（3）（当且仅当时取等号）
因此当，即时（当且仅当时取等号）
当或，即或时，不妨设
综上，的最小值为2.
【点睛】本题考查函数定义、函数最值以及利用基本不等式求最值，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.



提升题型训练
_

一、单选题
1．若命题“对任意的，恒成立”为假命题，则m的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据原命题为真可得，即可得出命题为假命题时m的取值范围．
【详解】当原命题为真时，恒成立，即，由命题为假命题，则．
故选：A.
2．若点在线段上运动，且，，设，则
A．有最大值2 B．有最小值1 C．有最大值1 D．没有最大值和最小值
【答案】C
【分析】由在线段上运动，可得满足，根据基本不等式计算最值即可得到
的最值.
【详解】由已知点在线段上运动，且，
即点满足，
∴，当且仅当时，即时，等号成立，所以有最大值.
故选：C．
3．若，则的最小值为
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【详解】分析：
利用对数运算法则，得，从而有，再利用基本不等式得，化简可得，从而得所求最小值．
详解：
∵，∴，∴，
∵，∴，，当且仅当时取等号．
故选C．
点睛：
在用基本不等式求最值时，要注意其三个条件缺一不可，一正，二定，三相等，在求最值时，如果几次用到不等式进行放缩，那么一定要探索每个不等号中等号成立的条件是否是同一个，否则最后的等号不能取到．
4．若，，则“”是“”的（    ）.
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意，结合基本不等式，讨论“”和“”的推出关系即可．
【详解】依题意，对于正数，，当时，，故充分性成立，
若无法推出，如当，时，而，
故必要性不成立．
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选．
【点睛】本题考查了充分性和必要性的判断，考查了基本不等式的应用，属于基础题．
5．已知，则的最小值是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】化简为，利用均值不等式求解即可.
【详解】因为，
所以，，
而，
由均值不等式，得：
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为3，
故选：C
【点睛】本题主要考查了均值不等式的应用，分式的变形化简，属于中档题.
6．已知，，，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由条件可得，则，由均值不等式可得答案.
【详解】由，，，可得

当且仅当,即时取等号.
故选：A
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

二、多选题
7．下列说法中正确的是（    ）
A．不等式恒成立 B．当时，的最小值是2
C．设，，且，则的最小值是 D．，使得不等式成立
【答案】CD
【分析】结合基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】当时，不等式不成立，所以A错误.
，
但无解，所以等号不成立.所以B错误.
，
当且仅当时等号成立.所以C正确.
当时，，所以D正确.
故选：CD
8．已知，且，则下列说法正确的是（    ）
A． B．
C．的最小值为 D．
【答案】ABCD
【分析】利用基本不等式逐一计算判断即可.
【详解】对于A：，，即
，则，
当且仅当时，等号成立，A正确；
对于B：，当且仅当，即时等号成立，
又，即，成立，B正确；
对于C：
，
当且仅当，即时等号成立，C正确；
对于D：，当且仅当时，等号成立，D正确；
故选：ABCD．

三、填空题
9．已知，比较两数的大小：______9．
【答案】
【分析】利用基本不等式进行求解判断即可.
【详解】因为，
所以，
当且仅当时取等号，即时取等号，
故答案为：
10．某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：
．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使达到最小值的隔热层的厚度h＝______厘米．
【答案】
【分析】根据题意可得函数，利用基本不等式求解.
【详解】由题意及，可得，即，
∴．
隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和（万元），
当且仅当，即（厘米）时达到最小值．
故答案为: .
11．已知,且,若 恒成立，则实数的取值范围是 ．当 取到最大值时 ．
【答案】，
【详解】试题分析：，当且仅当时取等号，因为恒成立，所以
考点：基本不等式求最值
【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
12．若实数x，y满足，则的最小值为______.
【答案】.
【分析】由，可得，即可得到.
【详解】由，可得，
即，解得，
所以的最小值为，
故答案为：.
【点睛】该题考查的是有关利用基本不等式的变形，求代数式的最值问题，属于简单题目.

四、解答题
13．已知，求的最小值，并说明x为何值时y取得最小值．
【答案】时，y取得最小值2
【解析】根据基本不等式，求得的最小值，根据基本不等式等号成立的条件，求得此时的值.
【详解】因为，所以根据均值不等式有，
其中等号成立当且仅当，即，解得或（舍）．
因此时，y取得最小值2．
【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，属于基础题.
14．若，，且，求与的最小值．
【答案】的最小值为9，的最小值为6.
【分析】把条件变形为，然后把所求的与分别变形为和，结合基本不等式求最值即可.
【详解】因为，所以＋1，
所以，
当且仅当时，即x＝3时等号成立；
x＋y＝x＋＋1＝，
当且仅当，即x＝3时等号成立．
15．已知满足，求的解析式.
【答案】
【分析】根据题意，用代替，得到新的方程，与条件的方程构成方程组，解出.
【详解】解：由，可知.
两式联立，消去可得，，
即.
【点睛】本题考查函数解析式的求法，考查分析能力，属于中档题.
16．选修4-5：不等式选讲
（1）已知函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若正实数满足，求的取值范围.
【答案】(1) 或.
（2）.
【详解】分析：(1)先根据偶次根式被开方数非负得恒成立，再根据绝对值三角不等式得 最小值，最后解不等式得实数的取值范围；(2)利用1得代换得，再根据基本不等式求最值得结果.
详解：（1）由题意知恒成立
因为
所以，
解得或
（2）因为
所以
即的取值范围是.
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．