2024湖北省重点高中智学联盟高一上学期10月联考数学试题含解析

湖北省重点高中智学联盟2023年秋季高一年级10月联考

数 学 试 题

命题学校：鄂州高中    命题人：高一数学组    审题人：浠水一中

一、单选题（本大题共8小题，共40分在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知，且，则集合的个数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，由条件分别列举出满足要求的集合，即可得到结果.

【详解】由题意可得，集合可能为，共4个.

故选：D

2. 若命题p：，，则命题是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】A

【解析】

【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.

【详解】，的否定是，.

故选：A

3. 下列四个结论，正确的是

①②

③④

A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①④

【答案】C

【解析】

【详解】对于①，因为 ，所以 ，所以 ，故正确；对于 ②，当 ，则 故错误；对于③ ，因为 ,所以 ，故正确；对于④，因为 ，所以 ，所以 ，故错误，故选C.

4. 已知，，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】通过不等式性质和举反例以及必要不充分条件的判定即可得到答案.

详解】举例，，满足，但，则正向无法推出；

若，且，所以，所以反向可以推出，

故“”是“”的必要不充分条件，

故选：B.

5. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ）

A. 或 B.

C. 或 D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据一元一次不等式的解可得，即可根据分式不等式转化为整式不等式进行求解.

【详解】由的不等式的解集为可得，

故可变形为，

不等式等价于，解得，

故选：D

6. 关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是（    ）

A. 或 B. 或

C. 或 D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】首先解一元二次不等式，，结合整数解的个数求得的取值范围.

【详解】，，

当时，不等式的解集为空集.

当时，不等式的解集为，区间内有三个整数，所以，

当时，不等式的解集为，区间内有三个整数，所以.

综上所述，实数的取值范围是或，

故选：C，

7. 若，且，则的最小值为（    ）

A. 3 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用乘“1”法即可求解.

【详解】可变形为，

所以

，

当且仅当即，时取等号，

故选：C

8. 已知方程在上有两个不同的解，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设，且进而得出，结合基本不等式即可求解.

【详解】设方程在上的两个根为，且，

则设，且，

所以

，

上式等号不成立，所以，

所以的取值范围为，

故选：C.

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分）

9. 下列命题中，正确的有（    ）

A. 若则

B. 若则

C. 若且则

D. 若且则

【答案】BC

【解析】

【分析】

当时，可判定A不正确；根据不等式的性质，可判定B正确；根据作差法比较大小，可判定C正确；根据，结合，可判定D不正确.

【详解】对于A中，若，当时，则，所以A不正确；

对于B中，若，根据不等式的性质，可得，所以B正确；

对于C中，取

由且，可得，所以，C正确；

对于D中，由，可得，所以，

又，所以，所以D不正确.

故选：BC

10. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，，则下列结论正确的为（    ）

A.

B.

C.

D. 整数属于同一“类”的充要条件是“”

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据题意，由“类”的定义代入计算，即可判断ABC，分别验证选项D的充分性以及必要性即可判断D.

【详解】由可得，，故A错误；

由可得，，故B正确；

所有整数被4除所得的余数只有0,1,2,3四种情况，刚好分成共4类，故，故C正确；

若整数，属于同一“类”，则，，

则，所以；

反之，不妨设，，

则，

若，则，即，所以整数属于同一“类”；

故整数属于同一“类”的充要条件是，即D正确；

故选：BCD

11. 已知关于的不等式的解集为，则（    ）

A. 的解集为

B. 的最小值为

C. 不等式的解集为

D. 的最大值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意，将不等式化简可得其解集为，代入计算即可判断ABC，由基本不等式即可判断D.

【详解】因为，则，解集为，

则，则可化为，解得，

所以不等式解集为，故A正确；

因为，且，所以当时，取得最小值为，故B正确；

因为，则，则不等式的解集为，故C错误；

因为，

当且仅当时，即时取得等号，故D正确；

故选：ABD

12. 设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（    ）

A. 若m=1，则 B. 若，则≤n≤1

C. 若，则 D. 若n=1，则

【答案】BC

【解析】

【分析】先由非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S，判断出或，，对照四个选项分别列不等式组，解出不等式进行一一验证即可

【详解】∵非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.

∴当m∈S时，有m2∈S，即，解得：或；

同理：当n∈S时，有n2∈S，即，解得： .

对于A: m=1,必有m2=1∈S，故必有解得：，所以，故A错误；

对于B: ,必有m2=∈S，故必有，解得：，故B正确；

对于C: 若，有，解得：，故C正确；

对于D: 若n=1，有，解得：或，故D不正确.

故选：BC

【点睛】方法点睛：新定义题（创新题）解答的关键：对新定义的正确理解.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝________.

【答案】0或3

【解析】

【分析】

由并集结果推出，则或，求解出m代入集合中验证是否满足条件即可.

【详解】，，则或，

若，A＝{1，3，}，B＝{1，3}，满足；

若，解得或，

时，A＝{1，3，0}，B＝{1，0}，满足；

时，A、B不满足集合中元素的互异性，舍去.

综上所述，或3.

故答案为：0或3

【点睛】本题考查根据集合并集运算结果求参数、集合中元素的互异性，属于基础题.

14. 若集合中仅含有一个元素，则实数a的值是________.

【答案】0或

【解析】

【分析】

分类讨论和两种情况，再根据集合中只含有一个元素进行求解a值.

【详解】依题意得方程有一个解或有两个相等的解，当时，方程即为，有一个解，符合题意；当时，由时一元二次方程有两个相等的实数根，解得.综上所述，a的值是0或.

故答案为：0或.

【点睛】本题考查了分类讨论思想，由集合中元素的个数求解参数的问题，属于一般难度的题.

15. 关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_________．

【答案】

【解析】

【分析】根据基本不等式即可求解，进而根据绝对值的性质求解，即可根据最值求解.

【详解】即恒成立，

由于，所以，当且仅当时等号成立，

而，当且仅当时等号成立，

故当时，取最小值10，所以，

故答案为：

16. 已知关于的不等式其中的解集为，若满足其中为整数集，则使得集合中元素个数最少时的取值集合是_______．

【答案】

【解析】

【分析】先对分类讨论，利用一元二次不等式的解法求出解集确定出，再根据（其中为整数集），写出当集合中元素个数最少时的取值.

【详解】分情况讨论：

当时，，解得；

当时，，，解得或；

当时，，解得.

因为，集合中元素个数最少，所以不符合题意；

当时，，当且仅当时等号成立，

所以要使集合中元素个数最少，需要，

故答案为：.

四、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知集合,

（1）当时，求， ；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）代入解出一元二次不等式，根据集合交并补即可得到答案；

（2）转化为判别式小于0即可.

【小问1详解】

，

当时，，

则，或，

则，

【小问2详解】

因为，则，解得.

18. （1）已知,且求的最小值;

（2）若对,都有成立，求实数取值范围.

【答案】（1）18；（2）

【解析】

【分析】（1）利用乘“1”法即可；

（2）分离参数，再利用基本不等式即可.

【详解】（1）因为，所以，

当且仅当，结合，即时等号成立.

（2）因为对,都有成立，

即，即对恒成立，

所以，因为，当且仅当时等号成立，

所以，所以，

则实数的取值范围.

19. 已知集合，

（1）若，求实数的取值范围;

（2）若, 求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由条件可得，即可求得的值，然后代入检验，即可得到结果；

（2）根据题意，由条件可得，分集合为，单元素集合以及双元素集合讨论，即可得到结果.

【小问1详解】

因为，由可得，

则，化简可得，解得或，

当时，，则，

此时，不满足题意；

当时，，则，

此时，满足题意；

所以.

【小问2详解】

由可得，，

当时，，化简可得，解得；

当为单元素集合时，，解得或，

当时，，解得，

即，不满足；

当时，，解得，

即，满足；

当为双元素集合时，则其两个元素分别是，解得，此时，即，满足；

综上所述，.

20. 某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用．已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为4；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为

（1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式；

（2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意得，当时，，代入上式，得，可得表达式．

（2）化简函数y，利用基本不等式求解最小值即可.

【小问1详解】

由题意得，

当时，，代入上式，得

所以

【小问2详解】

，

当且仅当，即时取“=”．

所以臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值为

21. 已知命题：对,都有成立；命题：关于的方程有实数根.

（1）若命题为真，求实数的取值范围；

（2）若与有且仅有一个真命题，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）或或.

【解析】

【分析】（1）分讨论求出命题为真命题参数的范围；

（2）命题， 一真一假，再分真且假，和真且假两种情况分别求出参数的范围，再综合得到答案.

【小问1详解】

命题为真命题：对任意实数都有恒成立，

当时，恒成立，当时，则，即，解得，

综上的取值范围为.

【小问2详解】

若为真命题，则，解得或，

若真假，则，则，

若假真，则，则或，

综上，或或.

22. 已知函数，.

（1）恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，求不等式的解集；

（3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.

【解析】

【分析】

（1）将，恒成立，转化为，恒成立求解.

（2）由，分，， 讨论求解.

（3）由时，得到，令，将问题转化为存在，有两个不等正根求解.

【详解】（1）因为，恒成立，

所以，恒成立；

时，恒成立，满足题意；

时，只需，，即；

综上，实数的取值范围是；

（2）即，

当时，，不等式解集为；

当时，，不等式解集为；

当时，，不等式解集为；

（3）时，令，

则存在，有四个不等实根，

即有四个不等实根，

令，时一个对应两个；时一个对应一个；时无与之对应；

则存在，有两个不等正根，

则，存在，，

即存在，，

即，且存在，，

时，时最大值为，

则，

由可得，

所以实数的取值范围是.

【点睛】方法点睛：含有参数不等式的解法：，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．