中考数学一轮复习常考题型突破练习专题14 二次函数（2份打包，原卷版+解析版）

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专题14 二次函数
【热考题型】

【知识要点】
知识点一 二次函数的概念
二次函数的概念：一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数。
二次函数的结构特征：
1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2。
2）是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项。
3）二次项系数，而b，c可以为零。
知识点二 二次函数的图象和性质（重点）
二次函数的图象：它是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
【特征】：对称轴是直线；顶点坐标是(，)；c表示抛物线与y轴的交点坐标：(0，c)；

基本形式
y=ax2
y=ax2+k
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+bx+c
对称轴
y轴
y轴
x=h
x=h

顶点
(0，0)
(0，k)
(h，0)
(h，k)

a>0 时，开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值；
a<0 时，开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值。
说明：最小值(或最大值)为0（k或）。
增
减
性
a>0
x<0(h或)时，y随x的增大而减小，即在对称轴的左边y随x的增大而减小；
x>0(h或)时，y随x的增大而增大，即在对称轴的右边y随x的增大而增大。
a<0
x<0(h或)时，y随x的增大而增大，即在对称轴的左边y随x的增大而增大。
x>0(h或)时，y随x的增大而减小，即在对称轴的右边y随x的增大而减小。

二次函数图象的平移：

【平移规律口诀】h值正右移，负左移；k值正上移，负下移，简称“左加右减，上加下减”。

知识点三 二次函数的最值问题
1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)；
即：当时，（a>0，取得最小值；a<0,取得最大值）；
2）如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，首先看x=是否在自变量取值范围x1≤x≤x2内：
①若对称轴在在此范围内，则当时，；
②若对称轴不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性：
1））如果在此范围内，y随x的增大而增大：则：当x=x2时，取最大值；当x=x1时，取最小值；
2））如果在此范围内，y随x的增大而减小：则：当x=x1时，取最大值，当x=x2时，取最小值。

知识点四 二次函数图象与系数之间的关系
抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
1）公式法：，顶点是，对称轴是直线。
2）配方法：通过配方将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线。
【扩展】由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。
二次函数图象与系数之间的关系：
1）二次项系数a：决定抛物线的开口大小
①当时，抛物线开口向上，越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
②当时，抛物线开口向下，越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
【总结】a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，|a|的大小决定开口的大小，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．

2)一次项系数:决定了抛物线的对称轴
①在的前提下，当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧（a、b同号）；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧（a、b异号）。
②在的前提下，当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧（a、b异号）；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧（a、b同号）。
【总结】在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置。
3）常数项c
①当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
②当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
③当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
【总结】c决定了抛物线与y轴交点的位置。
考查题型一 二次函数的图象和性质
题型1．（2022·浙江衢州·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
题型1-1．（2022·湖南郴州·中考真题）关于二次函数，下列说法正确的是（    ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数有最大值，是大值是5 D．当时，y随x的增大而增大
题型1-2．（2022·新疆·中考真题）已知抛物线，下列结论错误的是（    ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大
题型1-3．（2022·浙江宁波·中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
题型1-4．（2021·辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于A，两点，则下列说法正确的是（    ）

A． B．点A的坐标为
C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线
题型1-5．（2021·江苏常州·中考真题）已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
题型1-6．（2022·广东深圳·中考真题）二次函数先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．













(1)的值为                      ；
(2)在坐标系中画出平移后的图象并求出与的交点坐标；
(3)点在新的函数图象上，且两点均在对称轴的同一侧，若则                    （填“”或“”或“”）
易错点总结：

考查题型二 y=ax2+bx+c的图象和性质
题型2．（2022·辽宁阜新·中考真题）下列关于二次函数的图像和性质的叙述中，正确的是（    ）
A．点在函数图像上 B．开口方向向上
C．对称轴是直线 D．与直线有两个交点
题型2-1．（2022·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
题型2-2．（2022·广东广州·中考真题）如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（   ）

A． B．
C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小
题型2-3．（2022·山东青岛·中考真题）已知二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，且经过点，则下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．
题型2-4．（2022·广西贺州·中考真题）已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型2-5．（2022·湖南岳阳·中考真题）已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是（    ）
A．或 B．
C．或 D．
题型2-6．（2022·江苏徐州·中考真题）若二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为________．
题型2-7．（2022·江苏盐城·中考真题）若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是____________．
题型2-8．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是______．
题型2-9．（2022·山东青岛·中考真题）已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．
(1)求m的值；
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．


易错点总结：


考查题型三 二次函数图象与系数符号之间的关系
题型3．（2022·湖南株洲·中考真题）已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（    ）
A．B．C．D．
题型3-1．（2022·四川成都·中考真题）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（    ）

A． B．当时，的值随值的增大而增大
C．点的坐标为 D．
题型3-2．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④．

正确结论的个数为（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型3-3．（2022·贵州毕节·中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型3-4．（2022·四川凉山·中考真题）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（    ）
A．a＞0 B．a＋b＝3
C．抛物线经过点（－1，0） D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根
题型3-5．（2022·湖北荆门·中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x0，y0），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若＞﹣4，则＞c．其中正确结论的个数为(   )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型3-6．（2022·四川广安·中考真题）已知抛物线y=ax2 +bx +c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc >0；②2c﹣3b <0；③5a +b+2c=0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（，y3）是抛物线上的三点，则y1
A．1 B．2 C．3 D．4
易错点总结：


考查题型四 二次函数与一次函数、反比例函数综合判断
题型4．（2022·湖北武汉·中考真题）二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过【 】

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
题型4-1．（2022·广西·中考真题）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ）
A．B．C．D．
题型4-2．（2022·贵州黔东南·中考真题）若二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图像为（    ）
A．B．C．D．
23．（2022·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ）
A．B．C．D．
易错点总结：


考查题型五 y=ax2+bx+c的最值
题型5．（2022·内蒙古包头·中考真题）已知实数a，b满足，则代数式的最小值等于（    ）
A．5 B．4 C．3 D．2
题型5-1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知点，在直线（k为常数，）上，若的最大值为9，则c的值为（    ）
A． B．2 C． D．1
题型5-2．（2022·吉林长春·中考真题）已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为_______．
题型5-3．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图是二次函数的图像，该函数的最小值是__________．

题型5-4．（2022·广东·中考真题）如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作//交于点Q．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)求面积的最大值，并求此时P点坐标．


题型5-5．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知函数（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
(1)求b，c的值．(2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．


易错点总结：


考查题型六 待定系数法求二次函数解析式
题型6．（2022·山东泰安·中考真题）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x
-2
-1
0
1
y
0
4
6
6
下列结论不正确的是（    ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为 D．函数的最大值为
题型6-1．（2022·浙江杭州·中考真题）已知二次函数（a，b为常数）．命题①：该函数的图像经过点(1，0)；命题②：该函数的图像经过点(3，0)；命题③：该函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图像的对称轴为直线．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（    ）
A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④
题型6-2．（2022·山东淄博·中考真题）若二次函数的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式的最小值为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型6-3．（2022·湖北荆州·中考真题）规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______．
题型6-4．（2022·黑龙江·中考真题）如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．

(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
易错点总结：


考查题型七 二次函数图象的平移规律
题型7．（2022·四川泸州·中考真题）抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（    ）
A． B．
C． D．
题型7-1．（2022·内蒙古通辽·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（   ）
A． B．
C． D．
题型7-2．（2022·广西玉林·中考真题）小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法：
①向右平移2个单位长度     ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度     ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有(   )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型7-3．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ）
① ；②；    ③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．

A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
题型7-4．（2022·贵州黔东南·中考真题）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_______．
题型7-5．（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)．
(1)求抛物线L1的函数表达式．
(2)将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
(3)把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．





易错点总结：



知识点五 二次函数与方程、不等式之间的关系
二次函数与一元二次方程的关系：
1）一元二次方程的解是其对应的二次函数的图象与x轴的交点坐标；
2）抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①当△>0时，图象与x轴有两个交点；②当△=0时，图象与x轴有一个交点；
③当△<0时，图象与x轴没有交点。
二次函数与不等式的关系:
1）ax2+bx+c>0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围；
2）ax2+bx+c<0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围。
考查题型八 二次函数与一元二次方程
题型8．（2022·湖北荆门·中考真题）若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足(   )
A．a＝ B．a≤ C．a＝0或a＝﹣ D．a＝0或a＝
题型8-1．（2022·四川雅安·中考真题）抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（　　）
①当x＝2时，y取得最小值﹣9；②若点（3，y1），（4，y2）在其图象上，则y2＞y1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣5）2﹣5；④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6．
A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
题型8-2．（2022·黑龙江大庆·中考真题）已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为____________．
题型8-3．（2022·江苏无锡·中考真题）把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：________．
题型8-4．（2022·四川遂宁·中考真题）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m=a-b+c，则m的取值范围是______．

题型8-5．（2022·山西·中考真题）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况
下面根据抛物线的顶点坐标（，）和一元二次方程根的判别式，分别分和两种情况进行提示：
（1）时，抛物线开口向上．
①当时，有．∵，∴顶点纵坐标．
∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）．
②当时，有．∵，∴顶点纵坐标．
∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．
∴一元二次方程有两个相等的实数根．
③当时，
……
（2）时，抛物线开口向下．
……

任务：(1)上面小论文中的提示过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）；A．数形结合B．统计思想C．分类讨论．D．转化思想
(2)请参照小论文中当时①②的提示过程，写出③中当时，一元二次方程根的情况的提示过程，并画出相应的示意图；
(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为





易错点总结：



考查题型九 二次函数与不等式
题型9．（2022·山东滨州·中考真题）如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的个数为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1
题型9-1．（2021·广西贺州·中考真题）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ）

A．或 B．或 C． D．
题型9-2．（2022·四川自贡·中考真题）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（    ）

A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2
易错点总结：



知识点六 二次函数与实际问题
“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
“解”就是求出说列方程的解；
“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程
考查题型十 利用二次函数解决图形问题
题型10．（2022·新疆·中考真题）如图，用一段长为的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为_______．

题型10-1．（2022·江苏无锡·中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．

(1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
题型10-2．（2022·安徽·中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．

(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）．
考查题型十一 利用二次函数解决图形运动问题
题型11．（2022·辽宁鞍山·中考真题）如图，在中，，，，，垂足为点，动点从点出发沿方向以的速度匀速运动到点，同时动点从点出发沿射线方向以的速度匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（    ）

A． B．
C． D．
题型11-1．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（    ）
A．B．C．D．
题型11-2．（2022·山东烟台·中考真题）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DEAB，交AC于点E，EFBC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 _____．

题型12 （2022·四川广安·中考真题）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．

考查题型十二 利用二次函数解决拱桥问题
题型12-1．（2022·浙江温州·中考真题）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1
图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．

素材2
为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．

问题解决
任务1
确定桥拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
题型12-2．（2022·陕西·中考真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为．

(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标．
考查题型十三 利用二次函数解决销售问题
题型13 （2022·山东聊城·中考真题）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．

题型13-1．（2022·山东滨州·中考真题）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．
(1)求y关于x的一次函数解析式；
(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．
题型13-2．（2022·辽宁朝阳·中考真题）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
题型13-3．（2022·浙江金华·中考真题）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为，部分对应值如表：
售价x（元/千克）
…
2.5
3
3.5
4
…
需求量（吨）
…
7.75
7.2
6.55
5.8
…
②该蔬菜供给量（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为，函数图象见图1．
③1~7月份该蔬菜售价（元/千克），成本（元/千克）关于月份t的函数表达式分别为，，函数图象见图2．

请解答下列问题：
(1)求a，c的值．
(2)根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．
(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．
考查题型十四 利用二次函数解决投球问题
题型14 （2022·江苏南通·中考真题）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点．
题型14-1．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离OA的长是_____m．

题型14-2．（2022·甘肃兰州·中考真题）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．

(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
考查题型十五 利用二次函数解决喷水问题
题型15 （2022·四川南充·中考真题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______________m时，水柱落点距O点．

题型15-1．（2022·河南·中考真题）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．

(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
题型15-2．（2022·浙江台州·中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．

(1)若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
(2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
考查题型十六 利用二次函数解决其它问题
题型16 （2022·四川成都·中考真题）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是_________；当时，的取值范围是_________．

题型16-1．（2022·北京·中考真题）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．

某运动员进行了两次训练．
(1)第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）．
题型16-2．（2022·江西·中考真题）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．

(1)c的值为__________；
(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，求基准点K的高度h；
②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________；
(3)若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
题型16-3．（2022·湖北黄石·中考真题）某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单位：人）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：数据如下表．
时间x（分钟）
0
1
2
3
…
8

累计人数y（人）
0
150
280
390
…
640
640
(1)求a，b，c的值；
(2)如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值（排队人数-累计人数-已检测人数）；
(3)在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
题型16-4．（2022·山东潍坊·中考真题）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017-2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如下图．

小亮认为，可以从y=kx+b(k>0) ，y=(m>0) ，y=−0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．
(1)小莹认为不能选．你认同吗？请说明理由；
(2)请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；
(3)根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？
题型16-5．（2022·贵州六盘水·中考真题）“水城河畔，樱花绽放，凉都宫中，书画成风”的风景，引来市民和游客争相“打卡”留念．已知水城河与南环路之间的某路段平行宽度为200米，为避免交通拥堵，请在水城河与南环路之间设计一条停车带，使得每个停车位到水城河与到凉都宫点的距离相等．

(1)利用尺规作出凉都宫到水城河的距离（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在图中格点处标出三个符合条件的停车位，，；
(3)建立平面直角坐标系，设，，停车位，请写出与之间的关系式，在图中画出停车带，并判断点是否在停车带上．
题型16-6．（2022·四川攀枝花·中考真题）第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至2月20日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奧会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动．运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角的跳台A点以速度沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变．同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆，，且．忽略空气阻力，请回答下列问题：

(1)求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？
(2)以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；
(3)若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？