中考数学一轮复习核心考点精讲精练专题11 分式方程（2份打包，原卷版+解析版）

专题11 分式方程

一、解分式方程

【核心考点精讲】

1．解分式方程的步骤

（1）去分母。方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程。

（2）去括号。系数分别乘以括号里的数。

（3）移项。含有未知数的式子移到方程左边，常数移到方程右边。

（4）合并同类项。

（5）系数化为1。

（6）检验。把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；如果最简公分母不等于0，这个根就是原分式方程的根；如果解出的根是增根，那么原方程无解。

2．换元法解分式方程

（1）将原分式方程中含有字母的整体用另一个字母代替，从而使问题得到简化，这种方法叫做换元法。

（2）常见类型

①直接换元。例如，设。

②配方换元。例如，原方程配方，得，设。

③倒数换元。例如，设。

④变形换元。例如，可变形为，设。

【热点题型精练】

1．（2022•遂宁中考）若关于x的方程无解，则m的值为（　　）

A．0 B．4或6 C．6 D．0或4

解：，

2（2x+1）＝mx，

4x+2＝mx，

（4﹣m）x＝﹣2，

∵方程无解，

∴4﹣m＝0或2x+1＝0，

即4﹣m＝0或x，

∴m＝4或m＝0，

答案：D．

2．（2022•德阳中考）如果关于x的方程1的解是正数，那么m的取值范围是（　　）

A．m＞﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＜﹣1 D．m＜﹣1且m≠﹣2

解：两边同时乘（x﹣1）得，

2x+m＝x﹣1，

解得：x＝﹣1﹣m，

又∵方程的解是正数，且x≠1，

∴，即，

解得：，

∴m的取值范围为：m＜﹣1且m≠﹣2．

答案：D．

3．（2022•毕节中考）小明解分式方程1的过程如下．

解：去分母，得3＝2x﹣（3x+3）．①

去括号，得3＝2x﹣3x+3．②

移项、合并同类项，得﹣x＝6．③

化系数为1，得x＝﹣6．④

以上步骤中，开始出错的一步是（　　）

A．① B．② C．③ D．④

解：去分母得：3＝2x﹣（3x+3）①，

去括号得：3＝2x﹣3x﹣3②，

∴开始出错的一步是②，

答案：B．

4．（2022•杭州模拟）若实数x满足，则的值为（　　）

A．3 B．0 C．3或0 D．±3

解：由题意可得

，

故（其中0不符合题意，舍去）

答案：A．

5．（2022•无锡模拟）若关于x的方程0有增根，则m的值为（　　）

A．﹣5 B．0 C．1 D．2

解：0，

m+1+2x＝0，

解得：x，

∵方程有增根，

∴x＝2，

把x＝2代入x中，

2，

解得：m＝﹣5，

答案：A．

6．（2022•济南中考）代数式与代数式的值相等，则x＝　7　．

解：由题意得，

，

去分母得，3（x﹣1）＝2（x+2），

去括号得，3x﹣3＝2x+4，

移项得，3x﹣2x＝4+3，

解得x＝7，

经检验x＝7是原方程的解，

所以原方程的解为x＝7，

答案：7．

7．（2022•齐齐哈尔中考）若关于x的分式方程的解大于1，则m的取值范围是 　m＞0且m≠1　．

解：，

给分式方程两边同时乘以最简公分母（x+2）（x﹣2），

得（x+2）+2（x﹣2）＝x+2m，

去括号，得x+2+2x﹣4＝x+2m，

解方程，得x＝m+1，

检验：当

m+1≠2，m+1≠﹣2，

即m≠1且m≠﹣3时，x＝m+1是原分式方程的解，

根据题意可得，

m+1＞1，

∴m＞0且m≠1．

答案：m＞0且m≠1．

8．（2022•宁波中考）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b．若（x+1）⊗x，则x的值为 　　．

解：根据题意得：，

化为整式方程得：x+x+1＝（2x+1）（x+1），

解得：x，

检验：当x时，x（x+1）≠0，

∴原方程的解为：x．

答案：．

9．（2022•宿迁模拟）若x＜2，且|x﹣2|+x﹣1＝0，则x＝　1　．

解：|x﹣2|+x﹣1＝0，

∵x＜2，

∴方程为2﹣x+x﹣1＝0，

即1，

方程两边都乘x﹣2，得1＝﹣（x﹣2），

解得：x＝1，

经检验x＝1是原方程的解，

答案：1．

10．（2022•上海模拟）用换元法解方程时，如果设y，那么原方程可化为关于y的整式方程是 　2y2﹣3y+1＝0　．

解：设y，则．

则原方程可化为：2y2﹣3y+1＝0．

答案：2y2﹣3y+1＝0．

11．（2022•贺州中考）解方程：2．

解：方程两边同时乘以最简公分母（x﹣4），

得3﹣x＝﹣1﹣2（x﹣4），

去括号，得3﹣x＝﹣1﹣2x+8，

解方程，得x＝4，

检验：当x＝4时，x﹣4＝0，

∴x＝4不是原方程的解，原分式方程无解．

12．（2022•西宁中考）解方程：0．

解：方程两边同乘以x（x+1）（x﹣1）得：

4（x﹣1）﹣3（x+1）＝0．

去括号得：

4x﹣4﹣3x﹣3＝0，

移项，合并同类项得：

x＝7．

检验：当x＝7时，x（x+1）（x﹣1）≠0，

∴x＝7是原方程的根．

∴x＝7．

二、由实际问题抽象出分式方程

【核心考点精讲】

1．利用常见数量关系确定等量关系。例如行程问题中的相遇时间、追击时间相等。

2．利用关键词确定等量关系。例如“倍”“多”“少”等。

【热点题型精练】

13．（2022•丽水中考）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程30，则方程中x表示（　　）

A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量

解：设篮球的数量为x个，足球的数量是2x个．

根据题意可得：30，

答案：D．

14．（2022•淄博中考）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是（　　）

A． 

B． 

C． 

D．

解：由题意可得，

，

答案：D．

15．（2022•襄阳中考）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（　　）

A．2 B．2 

C．2 D．2

解：∵规定时间为x天，

∴慢马送到所需时间为（x+1）天，快马送到所需时间为（x﹣3）天，

又∵快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，

∴2．

答案：B．

16．（2022•广西中考）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（　　）

A． B． 

C． D．

解：由题意可得，

，

答案：D．

17．（2022•鞍山中考）某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．设甲车间每天加工x件产品，根据题意可列方程为 　3　．

解：∵甲车间每天加工x件产品，乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，

∴乙车间每天加工1.5x件产品，

又∵甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天，

∴3．

答案：3．

18．（2022•青岛中考）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为 　3　．

解：依题意有：3．

答案：3．

19．（2022•潍坊模拟）为提升晚高峰车辆的通行速度，某市设置潮汐车道，首条潮汐车道从市政府广场到人民公园，全程约3千米．该路段实行潮汐车道设置后，在晚高峰期间，通过该路段的车辆的行驶速度平均提升25%，行驶时间平均减少2分钟，设实施潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶x千米，则可列方程为 　　．

解：由题意可得，

，

答案：，

20．（2022•大连模拟）一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等．设江水流速为vkm/h，则可列方程为　　．

解：设江水的流速为vkm/h，

根据题意得：．

答案：．

三、分式方程的应用

【核心考点精讲】

1．工程问题。工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间。

2．行程问题。路程 = 速度 × 时间。
3．销售问题。总价 = 单价 × 数量。

【热点题型精练】

21．（2022•昆明模拟）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（　　）

A．1.8升 B．16升 C．18升 D．50升

解：根据题意得：3斗＝30升，

设可以换得的粝米为x升，

则，

解得：x18（升），

经检验：x＝18是原分式方程的解，

答：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为18升．

答案：C．

22．（2022•合肥模拟）某公司为增加员工收入，提高效益．今年提出如下目标，和去年相比，在产品的出厂价增加10%的前提下，将产品成本降低20%，使产品的利润率（利润率100%）较去年翻一番，则今年该公司产品的利润率为（　　）

A．40% B．80% C．120% D．160%

解：设去年产品出厂价为a，去年产品成本为b，根据题意，

•100%2×100%，

即整理得：2a﹣2b，

解得：ab，

所以把ab，代入2中得22＝120%．

答案：C．

23．（2022•青岛模拟）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．已知去年这种水果批发销售总额为10000元，则这种水果今年每千克的平均批发价是 　4　元．

解：设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年每千克的批发价为（x+1）元，

今年的批发销售总额为10000（1+20%）＝12000元，

由题意得：1000，

解得：x＝4或x＝﹣3（不符合题意，舍去），

即这种水果今年每千克的平均批发价是4元，

答案：4．

24．（2022•南昌模拟）北京2022年冬奥会开启“坐着高铁看冬奥”新模式．北京赛区到延庆赛区乘高铁与乘班车通行路程均约60公里，已知高铁的平均速度是班车平均速度的3倍，乘高铁用时比乘班车少40分钟，则从北京赛区到延庆赛区乘高铁所需时间约为 　20　分钟．

解：设从北京赛区到延庆赛区乘高铁所需时间约为x分钟，

由题意得：3，

解得：x＝20，

经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意；

即从北京赛区到延庆赛区乘高铁所需时间约为20分钟，

答案：20．

25．（2022•锦州中考）2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9900元购买的A款套装数量比用7500元购买的B款套装数量多5套．求A、B两款套装的单价分别是多少元．

解：设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，

依题意得：5，

解得：x＝150，

经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意，

∴1.2x＝1.2×150＝180．

答：A款套装的单价是180元，B款套装的单价是150元．

26．（2022•衢州中考）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．

（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．

（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．

①分别求出这两款车的每千米行驶费用．

②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）

解：（1）由表格可得，

新能源车的每千米行驶费用为：（元），

即新能源车的每千米行驶费用为元；

（2）①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，

∴0.54，

解得a＝600，

经检验，a＝600是原分式方程的解，

∴0.6，0.06，

答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；

②设每年行驶里程为xkm，

由题意得：0.6x+4800＞0.06x+7500，

解得x＞5000，

答：当每年行驶里程大于5000km时，买新能源车的年费用更低．