中考数学一轮复习核心考点精讲精练专题15 反比例函数（2份打包，原卷版+解析版）

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专题15 反比例函数
一、反比例函数的图象及性质
【核心考点精讲】
1．反比例函数（k≠0，k为常数）的图象是双曲线，两个分支无限接近x轴、y轴，但是与坐标轴没有交点。

2．反比例函数的性质
（1）增减性
当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，y随x的增大而减小。
当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，y随x的增大而增大。
（2）轴对称性
当k＞0时，双曲线的两支关于直线对称。
当k＜0时，双曲线的两支关于直线对称。
（3）中心对称性
双曲线的两个分支关于原点成中心对称。
【热点题型精练】
1．（2022•贺州中考）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则y＝﹣kx+b与y的图象为（　　）

A． B． C． D．
解：根据一次函数y＝kx+b的图象位置，可判断k＞0、b＞0．
所以﹣k＜0．
再根据一次函数和反比例函数的图像和性质，
答案：A．
2．（2022•襄阳中考）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A． B． C． D．
解：∵二次函数图象开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x0，
∴b＞0，
∵与y轴的负半轴相交，
∴c＜0，
∴y＝bx+c的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数y图象在第二四象限，
只有D选项图象符合．
答案：D．
3．（2022•上海中考）已知反比例函数y（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，0） D．（﹣3，0）
解：因为反比例函数y（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，
所以k＜0，
A．2×3＝6＞0，故本选项不符合题意；
B．﹣2×3＝﹣6＜0，故本选项符合题意；
C．3×0＝0，故本选项不符合题意；
D．﹣3×0＝0，故本选项不符合题意；
答案：B．
4．（2022•荆门中考）如图，点A，C为函数y（x＜0）图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为时，k的值为（　　）

A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
解：∵点E为OC的中点，
∴△AEO的面积＝△AEC的面积，
∵点A，C为函数y（x＜0）图象上的两点，
∴S△ABO＝S△CDO，
∴S四边形CDBE＝S△AEO，
∵EB∥CD，
∴△OEB∽△OCD，
∴（）2，
∴S△OCD＝1，
则xy＝﹣1，
∴k＝xy＝﹣2．
答案：B．
5．（2022•成都中考）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 　k＜2　．
解：∵反比例函数y的图象位于第二、四象限，
∴k﹣2＜0，
解得k＜2，
答案：k＜2．
6．（2022•济宁中考）如图，A是双曲线y（x＞0）上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是 　4　．

解：∵点C是OA的中点，
∴S△ACD＝S△OCD，S△ACB＝S△OCB，
∴S△ACD+S△ACB＝S△OCD+S△OCB，
∴S△ABD＝S△OBD，
∵点B在双曲线y（x＞0）上，BD⊥y轴，
∴S△OBD4，
∴S△ABD＝4，
答案：4．
二、反比例函数图象上点的坐标特征及系数k的几何意义
【核心考点精讲】
1．图象上点的坐标特征
（1）图象上的点（x，y）的横、纵坐标之积是定值k，即。
（2）双曲线的两个分支关于原点对称，两个分支上的点也关于原点对称。
2．比例系数k的几何意义
（1）在反比例函数图象上任取一点，过此点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形面积是。
（2）在反比例函数图象上任取一点，过此点向坐标轴作垂线，此点和垂足以及坐标原点构成的三角形面积是。



【热点题型精练】
7．（2022•贵阳中考）如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在反比例函数y（k＞0）的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数y的图象上的点是（　　）

A．点P B．点Q C．点M D．点N
解：如图，反比例函数y的图象是双曲线，若点在反比例函数的图象上，则其纵横坐标的积为常数k，即xy＝k，

通过观察发现，点P、Q、N可能在图象上，点M不在图象上，
答案：C．
8．（2022•长春中考）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q，将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（　　）

A． B． C． D．4
解：作MN⊥x轴于N，

∵P在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q，
∴P（，2），
∴PQ＝2，
∵将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．
∴QM＝QP＝2，∠PQM＝60°，
∴∠MQN＝90°﹣60°＝30°，
∴MNQM＝1，
∴QN，
∴M（，1），
∵点M也在该反比例函数的图象上，
∴k，
解得k＝2，
答案：C．
9．（2022•日照中考）如图，矩形OABC与反比例函数y1（k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，与反比例函数y2（k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1﹣k2＝（　　）

A．3 B．﹣3 C． D．
解：∵y1、y2的图象均在第一象限，
∴k1＞0，k2＞0，
∵点M、N均在反比例函数y1（k1是非零常数，x＞0）的图象上，
∴S△OAM＝S△OCNk1，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y2（k2是非零常数，x＞0）的图象上，
∴S矩形OABC＝k2，
∴S四边形OMBN＝S矩形OABC﹣S△OAM﹣S△OCN＝3，
∴k2﹣k1＝3，
∴k1﹣k2＝﹣3，
答案：B．
10．（2022•宿迁中考）如图，点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，则线段OB长的最小值是（　　）

A．1 B． C．2 D．4
解：∵三角形OAB是等腰直角三角形，
∴当OB最小时，OA最小，
设A点坐标为（a，），
∴OA，
∵0，
即：4≥0，
∴4，
∵0，
两边同时开平方得：a0，
∴当a时，OA有最小值，
解得a1，a2（舍去），
∴A点坐标为（，），
∴OA＝2，
∵三角形OAB是等腰直角三角形，OB为斜边，
∴OBOA＝2．
答案：C．
11．（2022•郴州中考）如图，在函数y（x＞0）的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数y（x＜0）的图象于点B，连接OA，OB，则△AOB的面积是（　　）

A．3 B．5 C．6 D．10
解：∵点A在函数y（x＞0）的图象上，
∴S△AOC2＝1，
又∵点B在反比例函数y（x＜0）的图象上，
∴S△BOC8＝4，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC
＝1+4
＝5，
答案：B．

12．（2022•深圳中考）如图，已知直角三角形ABO中，AO＝1，将△ABO绕O点旋转至△A'B'O的位置，且A'在OB中点，B'在反比例函数y上，则k的值 　　．

解：连接AA′，作B′E⊥x轴于点E，

由题意知OA＝OA′，A'是OB中点，∠AOB＝∠A′OB′，OB′＝OB，
∴AA′OB＝OA′，
∴△AOA′是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴OB＝2OA＝2，∠B′OE＝60°，
∴OB′＝2，
∴OEOB′＝1，
∴B′EOE，
∴B′（1，），
∵B'在反比例函数y上，
∴k＝1．
答案：．
13．（2022•威海中考）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y（k≠0）的图象经过点C，则k的值为 　24　．

解：作CE⊥OB于E，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠OBA+∠CBE＝90°，
∵∠OBA+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵∠AOB＝∠CEB，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴OA＝BE，OB＝CE，
∵点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．
∴OA＝2，OB＝4，
∴BE＝2，CE＝4，
∴C（4，6），
∵反比例函数y（k≠0）的图象经过点C，
∴k＝4×6＝24，
答案：24．
14．（2022•株洲中考）如图所示，矩形ABCD顶点A、D在y轴上，顶点C在第一象限，x轴为该矩形的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6．若反比例函数y的图象经过点C，则k的值为 　3　．

解：设BC交x轴于E，如图：

∵x轴为矩形ABCD的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6，
∴四边形DOEC是矩形，且矩形DOEC面积是3，
设C（m，n），则OE＝m，CE＝n，
∵矩形DOEC面积是3，
∴mn＝3，
∵C在反比例函数y的图象上，
∴n，即k＝mn，
∴k＝3，
答案：3．
15．（2022•包头中考）如图，反比例函数y（k＞0）在第一象限的图象上有A（1，6），B（3，b）两点，直线AB与x轴相交于点C，D是线段OA上一点．若AD•BC＝AB•DO，连接CD，记△ADC，△DOC的面积分别为S1，S2，则S1﹣S2的值为 　4　．

解：∵反比例函数y（k＞0）在第一象限的图象上有A（1，6），B（3，b）两点，
∴1×6＝3b，
∴b＝2，
∴B（3，2），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
，
解得：，
∴y＝﹣2x+8，
令y＝0，
﹣2x+8＝0，
解得：x＝4，
∴C（4，0），
∵AB2，
BC，
AD•BC＝AB•DO，
∴AD•2•DO，
∴AD＝2DO，
∴S1＝2S2，
∴S1﹣S2＝S2，
∵S1+S2＝S△AOC，
∴S1﹣S2＝S2S△AOC4×6＝4．
答案：4．
16．（2022•烟台中考）如图，A，B是双曲线y（x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为 　6　．

解：因为D为AC的中点，△AOD的面积为3，
所以△AOC的面积为6，
所以k＝12＝2m．
解得：m＝6．
答案：6．
17．（2022•玉林中考）如图，点A在双曲线y（k＞0，x＞0）上，点B在直线l：y＝mx﹣2b（m＞0，b＞0）上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形AOCB是菱形时，有以下结论：
①A（b，b）；②当b＝2时，k＝4；③m；④S四边形AOCB＝2b2
则所有正确结论的序号是 　②③　．

解：如图，

①y＝mx﹣2b中，当x＝0时，y＝﹣2b，
∴C（0，﹣2b），
∴OC＝2b，
∵四边形AOCB是菱形，
∴AB＝OC＝OA＝2b，
∵A与B关于x轴对称，
∴AB⊥OD，AD＝BD＝b，
∴ODb，
∴A（b，b）；
故①不正确；
②当b＝2时，点A的坐标为（2，2），
∴k＝22＝4，
故②正确；
③∵A（b，b），A与B关于x轴对称，
∴B（b，﹣b），
∵点B在直线y＝mx﹣2b上，
∴bm﹣2b＝﹣b，
∴m，
故③正确；
④菱形AOCB的面积＝AB•OD＝2b•b＝2b2，
故④不正确；
所以本题结论正确的有：②③；
答案：②③．
18．（2022•金华中考）如图，点A在第一象限内，AB⊥x轴于点B，反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象分别交AO，AB于点C，D．已知点C的坐标为（2，2），BD＝1．
（1）求k的值及点D的坐标．
（2）已知点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围．

解：（1）∵点C（2，2）在反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象上，
∴2，
解得k＝4，
∵BD＝1．
∴点D的纵坐标为1，
∵点D在反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象上，
∴1，
解得x＝4，
即点D的坐标为（4，1）；
（2）∵点C（2，2），点D（4，1），点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），
∴点P的横坐标x的取值范围是2≤x≤4．
三、反比例函数与一次函数的交点问题
【核心考点精讲】
1．反比例函数与一次函数交点坐标的求解方法
把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解，则两者有交点；若方程组无解，则两者无交点。
2．反比例函数与一次函数在同一直角坐标系中交点个数的判断方法
（1）当k1与k2同号时，两个函数在同一直角坐标系中有2个交点。
（2）当k1与k2异号时，两个函数在同一直角坐标系中可能有0、1或2个交点。
【热点题型精练】
19．（2022•东营中考）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式k1x+b的解集是（　　）

A．﹣1＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．x＜﹣1或x＞2 D．﹣1＜x＜2
解：观察函数图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞2时，一次函数y1＝k1x+b的图象在反比例函数y2的图象的下方，
∴不等式k1x+b的解集为：﹣1＜x＜0或x＞2，
答案：A．
20．（2022•无锡中考）一次函数y＝mx+n的图象与反比例函数y的图象交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（，﹣2m）、B（m，1），则△OAB的面积是（　　）
A．3 B． C． D．
解：∵点A（，﹣2m）在反比例函数y上，
∴﹣2m，
解得：m＝2，
∴点A的坐标为：（，﹣4），点B的坐标为（2，1），
∴S△OAB542×11，
答案：D．
21．（2022•怀化中考）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y（a＞1）的图象于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11
解：设点B的坐标为（m，），
∵S△BCD＝5，且a＞1，
∴m5，
解得：a＝11，
答案：D．
22．（2022•随州中考）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y的图象在第一象限交于点C，若AB＝BC，则k的值为 　2　．

解：过点C作CH⊥x轴于点H．

∵直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴A（﹣1，0），B（0，1），
∴OA＝OB＝1，
∵OB∥CH，
∴1，
∴OA＝OH＝1，
∴CH＝2OB＝2，
∴C（1，2），
∵点C在y的图象上，
∴k＝2，
答案：2．
23．（2022•内江中考）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点P（2，3），与反比例函数y的图象在第一象限交于点Q（m，n）．若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是 　m＜2　．

解：过点P作PA∥x轴，交双曲线于点A，过点P作PB∥y轴，交双曲线于点B，如图，

∵P（2，3），反比例函数y，
∴A（，3），B（2，1）．
∵一次函数y的值随x值的增大而增大，
∴点Q（m，n）在A，B之间，
∴m＜2．
答案：m＜2．
24．（2022•巴中中考）将双曲线y向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新双曲线与直线y＝ki（x﹣2）﹣1（ki＞0，i＝1，2，3，…，1011）相交于2022个点，则这2022个点的横坐标之和为 　4044　．
解：直线y＝ki（x﹣2）﹣1（ki＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）可由直线y＝kix（ki＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到，
∴直线y＝kix（ki＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）到直线y＝ki（x﹣2）﹣1（ki＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）的平移方式与双曲线双曲线的相同，
∴新双曲线与直线y＝ki（x﹣2）﹣1（ki＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）的交点也可以由双曲线与直线y＝kix（ki＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）的交点以同样的方式平移得到，
设双曲线与直线y＝kix（ki＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）的交点的横坐标为xi，x'i，（i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011），
则新双曲线与直线y＝ki（x﹣2）﹣1（ki＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）的交点的横坐标为xi+2，x'i+2（i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011），
根据双曲线与直线y＝kix（ki＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）图像都关于原点对称，可知双曲线与直线y＝kix（ki＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）的交点也关于原点对称，
∴xi+x'i＝0，（i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011），
∴（xi+2）+（x'i+2）＝4（i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011），
即新双曲线与直线y＝ki（x﹣2）﹣1（ki＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）的交点的横坐标之和都是4，
∴这2022个点的横坐标之和为：4×1011＝4044．
答案：4044．
25．（2022•绵阳中考）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y在第一象限交于M（2，8）、N两点，NA垂直x轴于点A，O为坐标原点，四边形OANM的面积为38．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使△PMN的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和△PMN面积的最小值．

解：（1）∵反比例函数y过点M（2，8），
∴k2＝2×8＝16，
∴反比例函数的解析式为y，
设N（m，），
∵M（2，8），
∴S△OMB8，
∵四边形OANM的面积为38，
∴四边形ABMN的面积为30，
∴（8）•（m﹣2）＝30，
解得m1＝8，m2（舍去），
∴N（8，2），
∵一次函数y＝k1x+b的图象经过点M、N，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+10；
（2）与直线MN平行，且在第三象限与反比例函数y有唯一公共点P时，△PMN的面积最小，
设与直线MN平行的直线的关系式为y＝﹣x+n，当与y在第三象限有唯一公共点时，
有方程﹣x+n（x＜0）唯一解，
即x2﹣nx+16＝0有两个相等的实数根，
∴n2﹣4×1×16＝0，
解得n＝﹣8或x＝8（舍去），
∴与直线MN平行的直线的关系式为y＝﹣x﹣8，
∴方程﹣x﹣8的解为x＝﹣4，
经检验，x＝﹣4是原方程的解，
当x＝﹣4时，y4，
∴点P（﹣4，﹣4），
如图，过点P作AN的垂线，交NA的延长线于点Q，交y轴于点D，延长MB交PQ于点C，由题意得，

PD＝4，DQ＝8，CD＝2，MC＝8+4＝12，NQ＝2+4＝6，
∴S△PMN＝S△MPC+S梯形MCQN﹣S△PNQ
6×12（12+6）×612×6
＝36+54﹣36
＝54，
答：点P（﹣4，﹣4），△PMN面积的最小值为54．
26．（2022•乐山中考）如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数y（x＜0）的图象交于点A（﹣1，n），直线l′经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．

解：（1）∵点A（﹣1，n）在直线l：y＝x+4上，
∴n＝﹣1+4＝3，
∴A（﹣1，3），
∵点A在反比例函数y（x＜0）的图象上，
∴k＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为y；
（2）易知直线l：y＝x+4与x、y轴的交点分别为B（﹣4，0），C（0，4），
∵直线l′经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称，
∴直线l′与x轴的交点为E（2，0），
设l′：y＝kx+b，则，
解得：，
∴l′：y＝﹣x+2，
∴l′与y轴的交点为D（0，2），
∴阴影部分的面积＝△BOC的面积﹣△ACD的面积4×42×1＝7．

四、反比例函数的应用
【核心考点精讲】
1．利用反比例函数解决实际问题
（1）把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型。
（2）注意自变量和函数值的实际意义。
2．跨学科的反比例函数应用题
熟练掌握物理或化学中的一些具有反比例函数关系的公式。
3．反比例函数中的图表信息题
正确认识图象，找到关键点，运用数形结合。
【热点题型精练】
27．（2022•丽水中考）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A．设选用灯泡的电阻为R（Ω），下列说法正确的是（　　）
A．R至少2000Ω B．R至多2000Ω C．R至少24.2Ω D．R至多24.2Ω
解：∵电压U一定时，电流强度I（A）与灯泡的电阻为R（Ω）成反比例，
∴I．
∵已知电灯电路两端的电压U为220V，
∴I．
∵通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A，
∴0.11，
∴R≥2000．
答案：A．
28．（2021•自贡中考）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（　　）

A．函数解析式为I B．蓄电池的电压是18V
C．当I≤10A时，R≥3.6Ω D．当R＝6Ω时，I＝4A
解：设I，
∵图象过（4，9），
∴k＝36，
∴I，
∴蓄电池的电压是36V．
∴A，B均错误；
当I＝10时，R＝3.6，
由图象知：当I≤10A时，R≥3.6Ω，
∴C正确，符合题意；
当R＝6时，I＝6，
∴D错误，
答案：C．
29．（2022•山西中考）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受的压强p的值为 　400　Pa．

解：设p，
∵函数图象经过（0.1，1000），
∴k＝100，
∴p，
当S＝0.25m2时，物体所受的压强p400（Pa），
答案：400．
30．（2022•广州中考）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求储存室的容积V的值；
（2）受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围．

解：（1）设底面积S与深度d的反比例函数解析式为S，把点（20，500）代入解析式得500，
∴V＝10000．
（2）由（1）得S，
∵S随d的增大而减小，
∴当16≤d≤25时，400≤S≤625，