高考数学大一轮复习第一章　集合与常用逻辑用语

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第2节　命题及其关系、充分条件与必要条件
考纲要求　1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.

知识梳理
1.命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇒ p
p是q的必要不充分条件
p⇒q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇒q且q⇒p

1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.
2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒B)两者的不同.
3.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.
(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.
(3)若A＝B，则p是q的充要条件.
4.p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件.
诊断自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)“x2＋2x－3<0”是命题.(　　)
(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(　　)
(3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.(　　)
(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
解析　(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.

2.设a，b∈R且ab≠0，则ab>1是a>的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　D
解析　若“ab>1”，当a＝－2，b＝－1时，不能得到“a>”，
若“a>”，例如当a＝1，b＝－1时，不能得到“ab>1”，
故“ab>1”是“a>”的既不充分也不必要条件.
3.命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(　　)
A.若α≠，则tan α≠1 B.若α＝，则tan α≠1
C.若tan α≠1，则α≠ D.若tan α≠1，则α＝
答案　C
解析　命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”.

4.(2020·长春模拟)已知命题α：如果x<3，那么x<5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的(　　)
A.否命题 B.逆命题
C.逆否命题 D.否定形式
答案　A
解析　两个命题之间只是条件、结论都作出否定，故为否命题关系.
5.(2020·天津卷)设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由a2＞a，得a2－a＞0，
解得a＞1或a＜0，
∴“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件.
6.(2021·合肥七校联考)已知集合A＝{x|<3x<27，x∈R}，B＝{x|－1 答案　(2，＋∞)
解析　A＝＝{x|－1 ∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，
所以AB，所以m＋1>3，即m>2.

考点一　命题及其关系
1.(2020·太原质检)命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是(　　)
A.若a＋c≤b＋c，则a≤b B.若a≤b，则a＋c≤b＋c
C.若a＋c>b＋c，则a>b D.若a>b，则a＋c≤b＋c
答案　B
解析　将条件和结论都进行否定，即命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”.
2.(2021·成都七中检测)给出下列命题：
①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题；
②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题；
③“若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题.
其中真命题的个数是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　D
解析　对于①，“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题为“若lg x＋lg y＝0，则xy＝1”，该命题为真命题；
对于②，“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题为“a·b≠a·c，则a不垂直于(b－c)”，由a·b≠a·c可得a·(b－c)≠0，据此可得a不垂直于(b－c)，该命题为真命题；
对于③，若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0的根的判别式Δ＝(－2b)2－4(b2＋b)＝－4b≥0，方程有实根，原命题为真命题，则其逆否命题为真命题；
对于④，“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”，该命题为真命题.
3.(2018·北京卷)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.
答案　f(x)＝sin x，x∈[0，2](答案不唯一 ，再如f(x)＝)
解析　根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f(x)min＝f(0).
感悟升华　1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：
(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.
2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.
3.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断.
考点二　充分条件与必要条件的判定
【例1】 (1)(2020·浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　(1)B　(2)A
解析　(1)由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交.由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内.故选B.
(2)因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，
所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，
因为綈q⇒綈p，但綈p⇒綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件.
感悟升华　充要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.
(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.
【训练1】 (1)(2021·昆明诊断)设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≥0}，B＝.则“x∈A”是“x∈B”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
(2)(2020·北京卷)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α＝sin β”的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≥0}＝{x|x≥2，或x≤－1}，B＝＝{x|x≥2，或x<－1}.
∴BA，∴“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.
(2)若存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，则当k＝2n(n∈Z)，α＝2nπ＋β，有sin α＝sin(2nπ＋β)＝sin β；当k＝2n＋1(n∈Z)，α＝(2n＋1)π－β，有sin α＝sin[(2n＋1)π－β]＝sin β.
若sin α＝sin β，则α＝2kπ＋β或α＝2kπ＋π－β(k∈Z)，
即α＝kπ＋(－1)kβ(k∈Z).故选C.
考点三　充分、必要条件的应用
【例2】 (经典母题)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围.
解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}.
∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.
∴解得m≤3.
又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0.
综上，m的取值范围是[0，3].
【迁移1】 本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由.
解　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.
若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴
∴
这样的m不存在.
【迁移2】 设p：P＝{x|x2－8x－20≤0}，q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
p是q的充分不必要条件.
∴p⇒q且q⇒p，即PS.
∴或
∴m≥9，又因为S为非空集合，
所以1－m≤1＋m，解得m≥0，
综上，实数m的取值范围是[9，＋∞).
感悟升华　1.根据充分、必要条件求解参数取值范围需抓住“两”关键
(1)把充分、必要条件转化为集合之间的关系.
(2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.
2.解题时要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
【训练2】 设p：ln(2x－1)≤0，q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.
答案　
解析　p对应的集合A＝{x|y＝ln(2x－1)≤0}＝，q对应的集合B＝{x|(x－a)[x－(a＋1)]≤0}＝{x|a≤x≤a＋1}.
由q是p的必要而不充分条件，知AB.
所以a≤且a＋1≥1，因此0≤a≤.

A级　基础巩固
一、选择题
1.(2019·天津卷)设x∈R，则“0 A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由|x－1|<1可得0 故“0 2.(2021·百校联考考前冲刺)已知命题p：“任意a>0，且a≠1，函数y＝1＋loga(x－1)的图象过点P”的逆否命题为真，则P点坐标为(　　)
A.(2，1) B.(1，1)
C.(1，2) D.(2，2)
答案　A
解析　由逆否命题与原命题同真同假，可知命题p为真命题，由对数函数性质可知，函数y＝1＋loga(x－1)的图象过定点(2，1)，所以点P的坐标为(2，1).
3.(2019·北京卷)设函数f(x)＝cos x＋bsin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　C
解析　当b＝0时，f(x)＝cos x为偶函数；若f(x)为偶函数，则f(－x)＝cos(－x)＋bsin(－x)＝cos x－bsin x＝f(x)，
∴－bsin x＝bsin x对x∈R恒成立，∴b＝0.
故“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件.
4.设a>b，a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是(　　)
A.ac2>bc2 B.>1
C.a－c>b－c D.a2>b2
答案　C
解析　对于A，a>b，若c＝0，则ac2＝bc2，故A错误；对于B，a>b，若a>0，b<0，则<1，故B错误；对于C，a>b，则a－c>b－c，故C正确；对于D，a>b，若a，b均小于0，则a2 5.(2020·长沙检测)若l，m是两条不同的直线，α是一个平面，且m⊥α，则“l⊥m”是“l∥α”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　当直线l⊂α时，“l⊥m” ⇒ “l∥α”，充分性不成立.
若l∥α，由线面平行的性质，可知在平面α内一定存在一条直线n与l平行，又m⊥α，所以m⊥n，则m⊥l，可知必要性成立.
所以“l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件.
6.(2020·石家庄模拟)下列说法中正确的是(　　)
A.若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0
B.若数列{an}为常数列，则{an}既是等差数列也是等比数列
C.在△ABC中，A>B是sin A>sin B的充要条件
D.命题“若 答案　C
解析　A错误，f(x)＝为奇函数，但f(0)无意义；
B错误，an＝0为常数列，但{an}不是等比数列；
C正确，由于A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.
D错误，若{an}递减，则an＋1 7.(2021·贵阳模拟)设函数f(x)＝ex2－3x，则使f(x)<1成立的一个充分不必要条件是(　　)
A.0 C.0 答案　A
解析　f(x)<1⇔ex2－3x<1⇔x2－3x<0，解得0 又“0 故“0 8.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是(　　)
A.[1，＋∞) B.(－∞，1]
C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3]
答案　A
解析　由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，
可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.
二、填空题
9.(2021·河南名校联考)设命题p：x>4；命题q：x2－5x＋4≥0，那么p是q的________________条件(填“充分不必要”“必要不充分” “充要”“既不充分也不必要”).
答案　充分不必要
解析　由x2－5x＋4≥0得x≤1或x≥4，可知{x|x>4}是{x|x≤1或x≥4}的真子集，∴p是q的充分不必要条件.
10.有下列几个命题：
①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2 其中真命题的序号是________.
答案　②③
解析　①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误；②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确；③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确.
11.直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.
答案　－1 解析　直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于<，
解得－1 12.已知不等式|x－m|<1成立的一个充分不必要条件是 答案　
解析　解不等式|x－m|<1，得m－1 B级　能力提升
13.(2020·武昌调研)给出下列说法：
①命题“若x2＝1，则x≠1”的否命题是“若x2＝1，则x＝1”；
②命题“若a>2且b>2，则a＋b>4且ab>4”的逆命题为真命题；
③命题“若函数f(x)＝x2－ax＋1有零点，则a≥2或a≤－2”的逆否命题为真命题；
④命题“∃x0∈R，x－x0<0”的否定是“∀x∈R，x2－x>0”.
其中正确的序号为(　　)
A.② B.③
C.①③ D.②④
答案　B
解析　对于①，由于否命题既否定条件又否定结论，因此命题“若x2＝1，则x≠1”的否命题是“若x2≠1，则x＝1”，所以①错误；
对于②，原命题的逆命题为“若a＋b>4且ab>4，则a>2且b>2”，取a＝1，b＝5，满足a＋b>4且ab>4，但不满足a>2且b>2，所以②错误；
对于③，若函数f(x)＝x2－ax＋1有零点，则Δ＝a2－4≥0，解得a≥2或a≤－2，原命题为真命题，由于原命题与其逆否命题同真同假，所以③正确；
对于④，命题“∃x0∈R，x－x0<0”的否定是“∀x∈R，x2－x≥0”，所以④错误.
14.已知偶函数y＝f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则对实数a，b，“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　因为y＝f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(|x|).
又y＝f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
若a>|b|，则f(a)>f(|b|)＝f(b)，即充分性成立；
若f(a)>f(b)，则等价为f(|a|)>f(|b|)，即|a|>|b|，
即a>|b|或a<－|b|，即必要性不成立，
则“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的充分不必要条件.
15.能说明“若a>b，则<”为假命题的一组a，b的值依次为________.
答案　a＝1，b＝－1(答案不唯一，只需a>0，b<0)
解析　若a>b，则<为真命题，则－＝<0，∵a>b，∴b－a<0，则ab>0.故当a>0，b<0时，均能说明“若a>b，则<”为假命题.
16.已知p：实数m满足3a0)，q：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________________.
答案　
解析　由2－m>m－1>0，
得1 因为p是q的充分条件，所以解得≤a≤.