高考数学第一轮复习第八章 §8.4　直线、平面平行的判定与性质

这是一份高考数学第一轮复习第八章 §8.4　直线、平面平行的判定与性质，共21页。

2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．
知识梳理
1．线面平行的判定定理和性质定理
2．面面平行的判定定理和性质定理
常用结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(4)若α∥β，a⊂α，则a∥β.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( × )
(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．( × )
(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.( × )
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √ )
教材改编题
1．下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是( )
A．直线a上有无数个点不在平面α内
B．直线a与平面α内的所有直线平行
C．直线a与平面α内无数条直线不相交
D．直线a与平面α内的任意一条直线都不相交
答案 D
解析 因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交．
2．已知不重合的直线a，b和平面α，则下列选项正确的是( )
A．若a∥α，b⊂α，则a∥b
B．若a∥α，b∥α，则a∥b
C．若a∥b，b⊂α，则a∥α
D．若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α
答案 D
解析 若a∥α，b⊂α，则a∥b或异面，A错；
若a∥α，b∥α，则a∥b或异面或相交，B错；
若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，C错；
若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α，D对．
3.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______．
答案 平行四边形
解析 ∵平面ABFE∥平面DCGH，
又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，
平面EFGH∩平面DCGH＝HG，
∴EF∥HG.同理EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
题型一 直线与平面平行的判定与性质
命题点1 直线与平面平行的判定
例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，PD的中点，求证：
(1)PB∥平面ACF；
(2)EF∥平面PAB.
证明 (1)如图，连接BD交AC于O，连接OF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点，
又∵F是PD的中点，
∴OF∥PB，
又∵OF⊂平面ACF，PB⊄平面ACF，
∴PB∥平面ACF.
(2)取PA的中点G，连接GF，BG.
∵F是PD的中点，
∴GF是△PAD的中位线，
∴GF綉eq \f(1,2)AD，
∵底面ABCD是平行四边形，E是BC的中点，
∴BE綉eq \f(1,2)AD，∴GF綉BE，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴EF∥BG，
又∵EF⊄平面PAB，BG⊂平面PAB，
∴EF∥平面PAB.
命题点2 直线与平面平行的性质
例2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.
求证：PA∥GH.
证明 如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，
∴PA∥OM，
又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，
∴PA∥平面BMD，
又平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴PA∥GH.
教师备选
如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形．
证明 ∵四边形ABCD为矩形，
∴BC∥AD.
∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，
∴BC∥平面PAD.
∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，
BC⊂平面BCFE，
∴BC∥EF.
∵AD＝BC，AD≠EF，
∴BC≠EF，
∴四边形BCFE是梯形．
思维升华 (1)判断或证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义(无公共点)．
②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．
③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．
④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．
跟踪训练1 如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．
(1)证明 如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.
因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，
所以四边形AOEM是平行四边形，
所以AM∥OE.
又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，
所以AM∥平面BDE.
(2)解 l∥m，证明如下：
由(1)知AM∥平面BDE，
又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，
所以l∥AM，
同理，AM∥平面BDE，
又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，
所以m∥AM，所以l∥m.
题型二 平面与平面平行的判定与性质
例3 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合)．
(1)求证：BC∥GH；
(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.
证明 (1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，
∴平面ABC∥平面A1B1C1，
又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，
且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，
∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC，
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，
∴A1G綉EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
延伸探究 在本例中，若将条件“E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求eq \f(AD,DC)的值．
解 如图，连接A1B交AB1于O，连接OD1.
由平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，
平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，
所以BC1∥D1O，则eq \f(A1D1,D1C1)＝eq \f(A1O,OB)＝1.
又由题设eq \f(A1D1,D1C1)＝eq \f(DC,AD)，
所以eq \f(DC,AD)＝1，即eq \f(AD,DC)＝1.
教师备选
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．
(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．
证明 (1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，
∴EF∥A1C1，
∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，
∴EF∥平面A1C1G，
又F，G分别为A1B1，AB的中点，
∴A1F＝BG，
又A1F∥BG，
∴四边形A1GBF为平行四边形，
则BF∥A1G，
∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，
∴BF∥平面A1C1G，
又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，
∴平面A1C1G∥平面BEF.
(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，
平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC于点H，如图，
则A1C1∥GH，得GH∥AC，
∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．
思维升华 证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理．
(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．
(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．
跟踪训练2 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝直线l，证明：B1D1∥l.
证明 (1)由题设知BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.
又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1.
因为A1D1綉B1C1綉BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥D1C.
又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，
所以A1B∥平面CD1B1.
又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，
又平面ABCD∩平面CD1B1＝直线l，
平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，
所以直线l∥直线BD，
在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，
所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
题型三 平行关系的综合应用
例4 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点．
(1)求证：BD1∥平面AEC；
(2)CC1上是否存在一点F，使得平面AEC∥平面BFD1，若存在，请说明理由．
(1)证明 如图，连接BD交AC于O，连接EO.
因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，底面ABCD为正方形，
对角线AC，BD交于O点，
所以O为BD的中点，
又因为E为DD1的中点，
所以在△DBD1中，OE是△DBD1的中位线，
所以OE∥BD1.
又因为OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC，
所以BD1∥平面AEC.
(2)解 当CC1上的点F为中点时，即满足平面AEC∥平面BFD1.
连接BF，D1F，
因为F为CC1的中点，E为DD1的中点，
所以CF綉ED1，
所以四边形CFD1E为平行四边形，
所以D1F∥EC，
又因为EC⊂平面AEC，D1F⊄平面AEC，
所以D1F∥平面AEC.
由(1)知BD1∥平面AEC，
又因为BD1∩D1F＝D1，BD1，D1F⊂平面BFD1，
所以平面AEC∥平面BFD1.
教师备选
如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：
(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明 (1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，
连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.
又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
又M为AB的中点，
所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，
又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，
所以平面BDE∥平面MNG.
思维升华 证明平行关系的常用方法
熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法．
跟踪训练3 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
(1)证明 ∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥HG.
∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，
∴EF∥平面ABD.
又∵EF⊂平面ABC，
平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB，
又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
(2)解 设EF＝x(0由(1)知EF∥AB，
∴eq \f(CF,CB)＝eq \f(EF,AB)＝eq \f(x,4)，
与(1)同理可得CD∥FG，
∴eq \f(FG,CD)＝eq \f(BF,BC)，
则eq \f(FG,6)＝eq \f(BF,BC)＝eq \f(BC－CF,BC)＝1－eq \f(x,4)，
∴FG＝6－eq \f(3,2)x.
∴四边形EFGH的周长
L＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋6－\f(3,2)x))＝12－x.
又∵0∴8故四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)．
课时精练
1．(2022·宁波模拟)下列命题中正确的是( )
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C．平行于同一条直线的两个平面平行
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a⊂α，b⊄α，则b∥α
答案 D
解析 A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可能相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确．
2．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列能判断l∥α的是( )
A．l∥β，α∥β
B．l与平面α内无数条直线平行
C．l⊂β，α∥β
D．l⊥β，α⊥β
答案 C
解析 对于A，l可能在α内，故不能判断l∥α，故A不正确；
对于B，l可能在α内，故不能判断l∥α，故B不正确；
对于C，因为l⊂β，α∥β，由面面平行的定义得l∥α，故C正确；
对于D，l可能在α内，故不能判断l∥α，故D不正确．
3．(2022·成都模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则( )
A．MF∥EB
B．A1B1∥NE
C．四边形MNEF为平行四边形
D．四边形MNEF为梯形
答案 D
解析 由于B，E，F三点共面，F∈平面BEF，M∉平面BEF，故MF，EB为异面直线，
故A错误；
由于B1，N，E三点共面，B1∈平面B1NE，A1∉平面B1NE，故A1B1，NE为异面直线，故B错误；
∵在平行四边形AA1B1B中，AM＝2MA1，
BN＝2NB1，
∴AM∥BN，AM＝BN，
故四边形AMNB为平行四边形，
∴MN∥AB.
又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴MN∥平面ABC.
又MN⊂平面MNEF，
平面MNEF∩平面ABC＝EF，
∴MN∥EF，∴EF∥AB，
显然在△ABC中，EF≠AB，
∴EF≠MN，
∴四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确．
4．(2022·杭州模拟)已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于( )
A．2∶3 B．2∶5
C．4∶9 D．4∶25
答案 D
解析 ∵平面α∥平面ABC，
∴A′C′∥AC，A′B′∥AB，B′C′∥BC，
∴S△A′B′C′∶S△ABC＝(PA′∶PA)2，
又PA′∶AA′＝2∶3，
∴PA′∶PA＝2∶5，
∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.
5．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
答案 D
解析 A项，由正方体性质可知AB∥NQ，NQ⊂平面MNQ，AB⊄平面MNQ，AB∥平面MNQ，排除；
B，C项，由正方体性质可知AB∥MQ，MQ⊂平面MNQ，AB⊄平面MNQ，AB∥平面MNQ，排除；
D项，由正方体性质易知，直线AB与平面MNQ不平行，满足题意．
6．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是( )
①没有水的部分始终呈棱柱形；
②水面EFGH所在四边形的面积为定值；
③随着容器倾斜程度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行；
④当容器倾斜如图(3)所示时，AE·AH为定值．
A．①② B．①④
C．②③ D．③④
答案 B
解析 根据棱柱的特征(有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行)，结合题中图形易知①正确；由题图可知水面EFGH的边EF的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知②错误；因为A1C1∥AC，AC⊂平面ABCD，A1C1⊄平面ABCD，所以A1C1∥平面ABCD，当平面EFGH不平行于平面ABCD时，A1C1不平行于水面所在平面，故③错误；当容器倾斜如题图(3)所示时，因为水的体积是不变的，所以棱柱AEH－BFG的体积V为定值，又V＝S△AEH·AB，高AB不变，所以S△AEH也不变，即AE·AH为定值，故④正确．
7．考查①②两个命题，①eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(m⊂α,l∥m, ))⇒l∥α；②eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l∥m,m∥α, ))⇒l∥α，它们都缺少同一个条件，补上这个条件就可以使其构成真命题(其中l，m为直线，α为平面)，则此条件为__________．
答案 l⊄α
解析 ①由线面平行的判定定理知l⊄α；②由线面平行的判定定理知l⊄α.
8.如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件______，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
答案 点M在线段FH上(或点M与点H重合)
解析 连接HN，FH，FN(图略)，
则FH∥DD1，HN∥BD，
∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，
则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.
9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证：
(1)BF∥HD1；
(2)EG∥平面BB1D1D；
(3)平面BDF∥平面B1D1H.
证明 如图．
(1)取B1B的中点M，
连接HM，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形，
∴HD1∥MC1.
又MC1∥BF，
∴BF∥HD1.
(2)取BD的中点O，连接OE，OD1，
则OE綉eq \f(1,2)DC.
又D1G綉eq \f(1,2)DC，
∴OE綉D1G.
∴四边形OEGD1是平行四边形，
∴EG∥D1O.
又D1O⊂平面BB1D1D，EG⊄平面BB1D1D，
∴EG∥平面BB1D1D.
(3)由(1)知BF∥HD1，由题意易证B1D1∥BD.
又B1D1，HD1⊂平面B1D1H，BF，BD⊂平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，
∴平面BDF∥平面B1D1H.
10.如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq \f(1,2)AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．
(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：GH∥平面PAD.
证明 (1)如图，连接EC，
因为AD∥BC，BC＝eq \f(1,2)AD，
所以BC∥AE，BC＝AE，
所以四边形ABCE是平行四边形，
所以O为AC的中点．
又因为F是PC的中点，
所以FO∥AP，
因为FO⊂平面BEF，
AP⊄平面BEF，
所以AP∥平面BEF.
(2)连接FH，OH，因为F，H分别是PC，CD的中点，
所以FH∥PD，
因为PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，
所以FH∥平面PAD.
又因为O是BE的中点，H是CD的中点，
所以OH∥AD，
因为AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD，
所以OH∥平面PAD.
又FH∩OH＝H，FH，OH⊂平面OHF，
所以平面OHF∥平面PAD.
又因为GH⊂平面OHF，
所以GH∥平面PAD.
11．(2022·福州检测)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点，则下列叙述中正确的是( )
A．直线BQ∥平面EFG
B．直线A1B∥平面EFG
C．平面APC∥平面EFG
D．平面A1BQ∥平面EFG
答案 B
解析 过点E，F，G的截面如图所示(H，I分别为AA1，BC的中点)，连接A1B，BQ，AP，PC，易知BQ与平面EFG相交于点Q，故A错误；
∵A1B∥HE，A1B⊄平面EFG，HE⊂平面EFG，
∴A1B∥平面EFG，故B正确；
AP⊂平面ADD1A1，HG⊂平面ADD1A1，延长HG与PA必相交，故C错误；
易知平面A1BQ与平面EFG有交点Q，故D错误．
12.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上的一点，AP＝1，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
答案 2eq \r(2)
解析 因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD∩平面PQNM＝PQ，
平面A1B1C1D1∩平面PQNM＝MN，
所以MN∥PQ，
又因为MN∥AC，所以PQ∥AC.
又因为AP＝1，
所以eq \f(PD,AD)＝eq \f(DQ,CD)＝eq \f(PQ,AC)＝eq \f(2,3)，
所以PQ＝eq \f(2,3)AC＝eq \f(2,3)×3eq \r(2)＝2eq \r(2).
13．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.
答案 Q为CC1的中点
解析 如图所示，设Q为CC1的中点，
因为P为DD1的中点，
所以QB∥PA.连接DB，
因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，
又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，PA⊂平面PAO，
所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，
又D1B∩QB＝B，D1B，QB⊂平面D1BQ，
所以平面D1BQ∥平面PAO.
故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.
14．在三棱锥P－ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．
答案 8
解析 如图，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过点E作EN∥PB交AB于点N，过点F作FM∥PB交BC于点M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面)，
且EF＝MN＝eq \f(2,3)AC＝2，
FM＝EN＝eq \f(1,3)PB＝2，
所以截面的周长为2×4＝8.
15．(2022·合肥市第一中学模拟)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，且PA1∥平面AMN，则PA1的长度范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(5),2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),4)，\f(3,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
答案 B
解析 取B1C1的中点E，BB1的中点F，连接A1E，A1F，EF，
取EF的中点O，连接A1O，如图所示，
∵点M，N分别是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，
∴AM∥A1E，MN∥EF，
∵AM∩MN＝M，A1E∩EF＝E，AM，MN⊂平面AMN，A1E，EF⊂平面A1EF，
∴平面AMN∥平面A1EF，
∵动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，
且PA1∥平面AMN，
∴点P的轨迹是线段EF，
∵A1E＝A1F＝eq \r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(5),2)，
EF＝eq \f(1,2)eq \r(12＋12)＝eq \f(\r(2),2)，
∴A1O⊥EF，
∴当P与O重合时，PA1的长度取最小值A1O，
A1O＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)))2)＝eq \f(3\r(2),4)，
当P与E(或F)重合时，PA1的长度取最大值A1E或A1F，A1E＝A1F＝eq \f(\r(5),2).
∴PA1的长度范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2))).
16．(2022·郑州模拟)如图，在三棱锥P－ABC中，AC，BC，PC两两垂直，AC＝BC，E，F分别是AC，BC的中点，△ABC的面积为8，四棱锥P－ABFE的体积为4.
(1)若平面PEF∩平面PAB＝l，求证：EF∥l；
(2)求三棱锥P－ABC的表面积．
(1)证明 ∵E，F分别是AC，BC的中点，
∴EF∥AB，
∵AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，
∴EF∥平面PAB.
又平面PEF∩平面PAB＝l，EF⊂平面PEF，
∴EF∥l.
(2)解 ∵AC，BC，PC两两垂直，AC∩BC＝C，AC，BC⊂平面ABC，
∴PC⊥平面ABC，即PC是四棱锥P－ABFE的高．
∵S△ABC＝8，AC＝BC，AC⊥BC，
∴AC＝BC＝4.
∵E，F分别是AC，BC的中点，VP－ABFE＝4，
∴eq \f(1,3)×eq \f(3,4)×eq \f(1,2)AC×BC×PC＝4，即PC＝2.
∴PA＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5)，PB＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5)，AB＝eq \r(42＋42)＝4eq \r(2).
∴△PAB的面积为eq \f(1,2)×4eq \r(2)×eq \r(2\r(5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(2),2)))2)＝4eq \r(6).
∴三棱锥P－ABC的表面积S＝2×eq \f(1,2)×4×2＋8＋4eq \r(6)＝16＋4eq \r(6).文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊄α,b⊂α,a∥b))⇒a∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥α,a⊂β,α∩β＝b))⇒a∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊂β,b⊂β,a∩b＝P,a∥α,b∥α))⇒β∥α
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))⇒a∥b