高考数学第一轮复习第九章 §9.9　圆锥曲线中求值与证明问题

这是一份高考数学第一轮复习第九章 §9.9　圆锥曲线中求值与证明问题，共12页。试卷主要包含了记M的轨迹为C等内容，欢迎下载使用。

例1 (12分)(2021·新高考全国Ⅰ)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－eq \r(17)，0)，F2(eq \r(17)，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2.记M的轨迹为C.
(1)求C的方程； [切入点：双曲线定义]
(2)设点T在直线x＝eq \f(1,2)上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和. [关键点：利用等式列式]
教师备选
已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，F是椭圆C的一个焦点，点M(0,2)且|MF|＝eq \r(10).
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，且满足|AM|＝|BN|，求l的方程．
解 (1)由题意，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2b，,c2＋4＝10，,b2＋c2＝a2，))
解得a＝2eq \r(2)，b＝eq \r(2)，
故椭圆C的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1.
(2)根据题意可得，点A必在点B的上方，
才有|AM|＝|BN|.
当l的斜率不存在时，|AM|＝2－eq \r(2)，
|BN|＝eq \r(2)，|AM|≠|BN|，不合题意，故l的斜率必定存在．
设l的方程为y＝kx＋2，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,8)＋\f(y2,2)＝1，,y＝kx＋2，))
得(1＋4k2)x2＋16kx＋8＝0，
Δ＝(16k)2－32(1＋4k2)＝128k2－32>0，
即k2>eq \f(1,4).
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－eq \f(16k,1＋4k2)，x1x2＝eq \f(8,1＋4k2).
设N(x0，y0)，
则x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝－eq \f(8k,1＋4k2).
由|AM|＝|BN|可得，|AB|＝|MN|，
所以eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)|x0－0|，
则eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝|x0|，
即eq \f(4\r(2)\r(4k2－1),1＋4k2)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(8k,1＋4k2)))，
整理得k2＝eq \f(1,2)>eq \f(1,4)，
故k＝±eq \f(\r(2),2)，l的方程为y＝±eq \f(\r(2),2)x＋2.
思维升华 求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解．
跟踪训练1 已知椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，P为椭圆上任意一点，且△PF1F2面积的最大值为eq \r(3).
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设A(4,0)，直线y＝kx＋1与椭圆M交于C，D两点，若直线AC，AD均与圆x2＋y2＝r2(r>0)相切，求k的值．
解 (1)当点P位于椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，
即()max＝eq \f(1,2)·|F1F2|·b＝eq \r(3)，
解得b＝eq \r(3)，
又a2＝b2＋c2，
∴c＝1，a＝2，
∴椭圆M的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,y＝kx＋1，))
得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，Δ>0，
∴x1＋x2＝－eq \f(8k,3＋4k2)，x1x2＝eq \f(－8,3＋4k2)，
∵直线AC，AD都与圆相切，
∴kAC＋kAD＝0，
即eq \f(y1,x1－4)＋eq \f(y2,x2－4)＝0，
∴eq \f(y1x2－4y1＋y2x1－4y2,x1－4x2－4)＝0，
∴2kx1x2＋(1－4k)(x1＋x2)－8＝0，
即eq \f(－8,3＋4k2)×2k－(1－4k)eq \f(8k,3＋4k2)－8＝0，
即－24k＝24，∴k＝－1.
题型二 证明问题
例2 (2021·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，右焦点为F(eq \r(2)，0)，且离心率为eq \f(\r(6),3).
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝eq \r(3).
(1)解 由题意得，
椭圆半焦距c＝eq \r(2)且e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)，
所以a＝eq \r(3)，
又b2＝a2－c2＝1，所以椭圆方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1.
(2)证明 由(1)得，曲线为x2＋y2＝1(x>0)，
当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不符合题意；
当直线MN的斜率存在时，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
必要性：
若M，N，F三点共线，
可设直线MN：y＝k(x－eq \r(2))，
即kx－y－eq \r(2)k＝0，
由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得eq \f(|\r(2)k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±1，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝±x－\r(2)，,\f(x2,3)＋y2＝1，))
可得4x2－6eq \r(2)x＋3＝0，
所以x1＋x2＝eq \f(3\r(2),2)，x1·x2＝eq \f(3,4)，
所以|MN|＝eq \r(1＋1)·eq \r(x1＋x22－4x1·x2)＝eq \r(3)，
所以必要性成立；
充分性：设直线MN：y＝kx＋b(kb<0)，
即kx－y＋b＝0，
由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得eq \f(|b|,\r(k2＋1))＝1，所以b2＝k2＋1，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋b，,\f(x2,3)＋y2＝1，))
可得(1＋3k2)x2＋6kbx＋3b2－3＝0，
所以x1＋x2＝－eq \f(6kb,1＋3k2)，x1·x2＝eq \f(3b2－3,1＋3k2)，
所以|MN|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1·x2)＝eq \r(1＋k2)eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6kb,1＋3k2)))2－4·\f(3b2－3,1＋3k2))
＝eq \r(1＋k2)·eq \f(\r(24k2),1＋3k2)＝eq \r(3)，
化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝1，,b＝－\r(2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－1，,b＝\r(2)，))
所以直线MN：y＝x－eq \r(2)或y＝－x＋eq \r(2)，
所以直线MN过点F(eq \r(2)，0)，M，N，F三点共线，充分性成立，所以M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝eq \r(3).
高考改编
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，离心率为eq \f(1,2).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点F的直线l交C于A，B两点，线段AB的中点为M，分别过A，B作C的切线l1，l2，且l1与l2交于点P，证明：O，P，M三点共线．
(1)解 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝1，,\f(c,a)＝\f(1,2)，,a2＝b2＋c2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝\r(3)，))
∴椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)证明 由题意知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋1，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，P(x3，y3)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋1，,3x2＋4y2＝12，))
整理得3(m2y2＋2my＋1)＋4y2＝12，
即(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.
∴y0＝eq \f(y1＋y2,2)＝eq \f(－3m,3m2＋4)，
x0＝eq \f(4,3m2＋4)，
∴kOM＝－eq \f(3,4)m.
直线l1的方程为eq \f(x1x,4)＋eq \f(y1y,3)＝1，①
直线l2的方程为eq \f(x2x,4)＋eq \f(y2y,3)＝1，②
②－①⇒eq \f(y,3)(y2－y1)＝eq \f(x,4)(x1－x2)
⇒eq \f(y,x)＝eq \f(3,4)·eq \f(x1－x2,y2－y1)＝－eq \f(3,4)m，
∴eq \f(y3,x3)＝－eq \f(3,4)m＝kOP，
∴kOM＝kOP，即O，P，M三点共线．
教师备选
(2022·湖南师大附中模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，椭圆的短轴顶点到焦点的距离为eq \r(6).
(1)求该椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆C交于A，B两点，且|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))|，求证：直线l与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程．
解 (1)∵椭圆的短轴顶点到焦点的距离为eq \r(6)，
∴eq \r(b2＋c2)＝a＝eq \r(6)，
∵椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，
∴c＝eq \r(3)，∴b2＝a2－c2＝3，
∴椭圆C的标准方程为eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)∵|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))|，
∴eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→))，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，
①当直线l的斜率不存在时，设l：x＝t，
代入椭圆方程得，y＝±eq \r(\f(6－t2,2))，
不妨令Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，\r(\f(6－t2,2))))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，－\r(\f(6－t2,2))))，
由eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0得，
t2－3＋eq \f(t2,2)＝0，解得t＝±eq \r(2)，
此时l：x＝±eq \r(2)，与圆x2＋y2＝2相切；
②当直线l的斜率存在时，
设l：y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2y2＝6，,y＝kx＋m))得，
(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0，
则Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－6)>0，
化简得m2<6k2＋3，①
由根与系数的关系得，x1＋x2＝－eq \f(4km,1＋2k2)，
x1x2＝eq \f(2m2－6,1＋2k2)，
则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝eq \f(m2－6k2,1＋2k2)，
由eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，
即x1x2＋y1y2＝0可得，
eq \f(2m2－6,1＋2k2)＋eq \f(m2－6k2,1＋2k2)＝0，
整理得，m2＝2k2＋2，满足①式，
∴eq \f(|m|,\r(k2＋1))＝eq \r(2)，即原点到直线l的距离为eq \r(2)，
∴直线l与圆x2＋y2＝2相切．
综上所述，直线l与圆E：x2＋y2＝2相切．
思维升华 圆锥曲线证明问题的类型及求解策略
(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．
(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．
跟踪训练2 双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，以F点为圆心，a为半径的圆与C的渐近线相切．
(1)求C的离心率；
(2)已知点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)a，0))，过F点的直线与C的右支交于M，N两点，证明：F点到AM，AN的距离相等．
(1)解 双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为bx±ay＝0，
令点F(c,0)，则c2＝a2＋b2，
因为以F点为圆心，a为半径的圆与C的渐近线相切，
则eq \f(bc,\r(a2＋b2))＝a，
整理得b＝a，c＝eq \r(2)a，
所以双曲线C的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2).
(2)证明 由(1)知，双曲线C的方程为2x2－2y2＝c2，点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)c，0))，显然直线MN不垂直于y轴，设直线MN：x＝my＋c，
因为直线MN与双曲线右支交于两点，则直线MN与双曲线的两条渐近线x±y＝0在y轴右侧都相交，于是得－1由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋c，,2x2－2y2＝c2))消去x得2(m2－1)y2＋4cmy＋c2＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1＋y2＝－eq \f(2cm,m2－1)，y1y2＝eq \f(c2,2m2－1)，
直线AM的斜率kAM＝eq \f(y1,x1－\f(1,2)c)＝eq \f(y1,my1＋c－\f(1,2)c)＝eq \f(2y1,2my1＋c)，
同理，直线AN的斜率kAN＝eq \f(2y2,2my2＋c)，
于是得kAM＋kAN＝eq \f(2y1,2my1＋c)＋eq \f(2y2,2my2＋c)
＝eq \f(8my1y2＋2cy1＋y2,2my1＋c2my2＋c)
＝eq \f(8m·\f(c2,2m2－1)＋2c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2cm,m2－1))),2my1＋c2my2＋c)＝0，
因此，直线AM与AN的倾斜角互补，则直线AM与AN关于x轴对称，而点F在x轴上，
所以点F到直线AM与AN的距离相等．
课时精练
1．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线与x轴的交点为A(－1,0)．
(1)求C的方程；
(2)若过点M(2,0)的直线l与抛物线C交于P，Q两点．求证：eq \f(1,|PM|2)＋eq \f(1,|QM|2)为定值．
(1)解 由题意，可得－eq \f(p,2)＝－1，即p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明 设直线l的方程为x＝my＋2，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋2，,y2＝4x，))
消去x得y2－4my－8＝0，
则Δ＝16(m2＋2)>0，
∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－8，
又|PM|＝eq \r(1＋m2)|y1|，
|QM|＝eq \r(1＋m2)|y2|.
∴eq \f(1,|PM|2)＋eq \f(1,|QM|2)＝eq \f(1,1＋m2y\\al(2,1))＋eq \f(1,1＋m2y\\al(2,2))
＝eq \f(y\\al(2,1)＋y\\al(2,2),1＋m2y\\al(2,1)y\\al(2,2))
＝eq \f(16m2＋16,641＋m2)
＝eq \f(1＋m2,41＋m2)＝eq \f(1,4).
∴eq \f(1,|PM|2)＋eq \f(1,|QM|2)为定值．
2．设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为eq \f(\r(5),5).
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．
解 (1)设椭圆的半焦距为c，
依题意，2b＝4，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),5)，
又a2＝b2＋c2，可得a＝eq \r(5)，b＝2，c＝1.
所以椭圆的方程为eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)由题意，设P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM,0)．
设直线PB的斜率为k(k≠0)，
又B(0,2)，则直线PB的方程为y＝kx＋2，
与椭圆方程联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2，,\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，))
整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，
可得xP＝－eq \f(20k,4＋5k2)，
代入y＝kx＋2得yP＝eq \f(8－10k2,4＋5k2)，
所以直线OP的斜率eq \f(yP,xP)＝eq \f(4－5k2,－10k).
在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－eq \f(2,k).
由题意得N(0，－1)，
所以直线MN的斜率为－eq \f(k,2).
由OP⊥MN，得eq \f(4－5k2,－10k)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(k,2)))＝－1，
化简得k2＝eq \f(24,5)，从而k＝±eq \f(2\r(30),5).
所以直线PB的斜率为eq \f(2\r(30),5)或－eq \f(2\r(30),5).
3．(2022·莆田质检)曲线C上任意一点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＝4的距离之比等于eq \f(\r(2),2)，过点M(4,0)且与x轴不重合的直线l与C交于不同的两点A，B.
(1)求C的方程；
(2)求证：△ABF内切圆的圆心在定直线上．
(1)解 设P(x，y)，由题意，
eq \f(\r(x－22＋y2),|x－4|)＝eq \f(\r(2),2)⇒(x－2)2＋y2
＝eq \f(1,2)(x－4)2，
化简得eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1，
即C的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)证明 设直线l：x＝my＋4，A(x1，y1)，
B(x2，y2)，
将l代入C得(m2＋2)y2＋8my＋8＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝64m2－32m2＋2>0⇒m2>2，,y1＋y2＝－\f(8m,m2＋2)，,y1·y2＝\f(8,m2＋2).))
设直线AF与BF的斜率分别为k1，k2，
则k1＋k2＝eq \f(y1,x1－2)＋eq \f(y2,x2－2)
＝eq \f(y1,my1＋2)＋eq \f(y2,my2＋2)
＝eq \f(2my1y2＋2y1＋y2,my1＋2my2＋2)
＝eq \f(2m·\f(8,m2＋2)＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8m,m2＋2))),my1＋2my2＋2)＝0.
∴k1＝－k2，则∠BFM＝π－∠AFM，
∴直线x＝2平分∠AFB，而三角形内心在∠AFB的角平分线上，
∴△ABF内切圆的圆心在定直线x＝2上．
4．(2022·深圳光明区模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，E(0,1)，过焦点F2，且斜率为eq \f(1,6)的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，且满足eq \(AF1,\s\up6(→))＝2eq \(BO,\s\up6(→)).
(1)求C的方程；
(2)过点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，0))且斜率不为0的直线l交C于M，N两点，且|EM|＝|EN|，求直线l的方程．
解 (1)双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(1,a)x，
过F2(c,0)，且斜率为eq \f(1,6)的直线方程为
y＝eq \f(1,6)(x－c)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,a)x，,y＝\f(1,6)x－c))得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ac,a－6)，\f(c,a－6)))，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\f(1,a)x，,y＝\f(1,6)x－c))得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ac,a＋6)，\f(－c,a＋6)))，
由于eq \(AF1,\s\up6(—→))＝2eq \(BO,\s\up6(→))，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c－\f(ac,a－6)，－\f(c,a－6)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－2ac,a＋6)，\f(2c,a＋6)))，
所以－eq \f(c,a－6)＝eq \f(2c,a＋6)，解得a＝2.
所以双曲线C的方程为eq \f(x2,4)－y2＝1.
(2)设l：y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))(k≠0)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))，,\f(x2,4)－y2＝1，))
消去y并化简得
(1－4k2)x2－12k2x－9k2－4＝0，
Δ＝144k4＋4(1－4k2)(9k2＋4)＝16－28k2>0，k2设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(12k2,1－4k2)，
y1＋y2＝k(x1＋x2＋3)＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12k2,1－4k2)＋3))
＝eq \f(3k,1－4k2)，
所以M，N的中点G的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6k2,1－4k2)，\f(\f(3,2)k,1－4k2)))，
由于|EM|＝|EN|，
所以EG⊥MN，kEG·kMN＝－1，
eq \f(\f(\f(3,2)k,1－4k2)－1,\f(6k2,1－4k2)－0)·k＝－1，
化简得8k2＋15k－2＝0，
(k＋2)(8k－1)＝0，
解得k＝－2或k＝eq \f(1,8)，
由于k2所以k＝eq \f(1,8)，
所以直线l的方程为y＝eq \f(1,8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2))).