高考数学第一轮复习第七章 §7.5　基本不等式的综合应用

这是一份高考数学第一轮复习第七章 §7.5　基本不等式的综合应用，共14页。
例1 (1)(2022·成都模拟)已知直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)与圆x2＋y2＝4相切，则lg2a＋lg2b的最大值为( )
A．3 B．2 C．－2 D．－3
答案 D
解析 因为直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)与圆x2＋y2＝4相切，
所以eq \f(1,\r(a2＋b2))＝2，即a2＋b2＝eq \f(1,4)，
因为a2＋b2≥2ab，
所以ab≤eq \f(1,8)(当且仅当a＝b时，等号成立)，
所以lg2a＋lg2b＝lg2(ab)≤lg2eq \f(1,8)＝－3，
所以lg2a＋lg2b的最大值为－3.
(2)(2022·合肥质检)若△ABC的内角满足sin B＋sin C＝2sin A，则( )
A．A的最大值为eq \f(π,3)
B．A的最大值为eq \f(2π,3)
C．A的最小值为eq \f(π,3)
D．A的最小值为eq \f(π,6)
答案 A
解析 ∵sin B＋sin C＝2sin A.
∴b＋c＝2a.
由余弦定理知
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(b2＋c2－\f(b＋c2,4),2bc)
＝eq \f(3b2＋c2－2bc,8bc)≥eq \f(6bc－2bc,8bc)＝eq \f(1,2)，
当且仅当b＝c时取等号．
又A∈(0，π)，
∴0b>0)的两焦点分别为F1，F2.若椭圆上有一点P，使PF1⊥PF2，则eq \f(b,a)的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
答案 B
解析 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则m＋n＝2a，m2＋n2＝4c2，
∴2mn＝4a2－4c2＝4b2，
又2mn≤2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)))2，
即4b2≤2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,2)))2，
∴2b2≤a2，∴00，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值等于( )
A．2 B.eq \f(3,2) C.eq \f(1,2) D．1
答案 B
解析 ∵函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，
∴f′(x)＝12x2－2ax－2b，
则f′(1)＝12－2a－2b＝0，
即a＋b＝6，
又a>0，b>0.
∴eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)＝eq \f(1,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(4,b)))(a＋b)
＝eq \f(5,6)＋eq \f(1,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(4a,b)))
≥eq \f(5,6)＋eq \f(1,6)×2eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝eq \f(3,2)，
当且仅当2a＝b＝4时，等号成立．
此时满足在x＝1处有极值．
∴eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值等于eq \f(3,2).
(2)已知数列{an}是等比数列，若a2a5a8＝－8，则a9＋9a1的最大值为________．
答案 －12
解析 ∵a2a5a8＝－8，
∴aeq \\al(3,5)＝－8，
∴a5＝－2，
∴a10)在x＝3时取得最小值，则a等于( )
A．6 B．8 C．16 D．36
答案 D
解析 因为f(x)＝4x＋eq \f(a,x)(x>0，a>0)，
故4x＋eq \f(a,x)≥2eq \r(4x·\f(a,x))＝4eq \r(a)，
当且仅当4x＝eq \f(a,x)，
即x＝eq \f(\r(a),2)时取等号，
故eq \f(\r(a),2)＝3，a＝36.
(2)已知x，y属于正实数，若不等式eq \f(4,x)＋eq \f(9,y)≥eq \f(m,x＋y)恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，9] B．(－∞，16]
C．(－∞，25] D．(－∞，36]
答案 C
解析 因为x，y属于正实数，
所以不等式eq \f(4,x)＋eq \f(9,y)≥eq \f(m,x＋y)恒成立，
即m≤eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,x)＋\f(9,y)))x＋y))min，
因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,x)＋\f(9,y)))(x＋y)
＝13＋eq \f(4y,x)＋eq \f(9x,y)
≥13＋2eq \r(\f(4y,x)·\f(9x,y))＝25，
当且仅当eq \f(4y,x)＝eq \f(9x,y)，即3x＝2y时，等号成立，
所以m≤25.
教师备选
(2022·沙坪坝模拟)已知函数f(x)＝2x3＋3x(x∈R)，若不等式f(2m＋mt2)＋f(4t)－2，
又∵Q＝lneq \f(1,e2)＝－2，∴M>Q>N.
16．设0