高考数学第一轮复习第三章 §3.1　导数的概念及其意义、导数的运算

这是一份高考数学第一轮复习第三章 §3.1　导数的概念及其意义、导数的运算，共17页。试卷主要包含了导数的运算法则等内容，欢迎下载使用。
考试要求 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数．
知识梳理
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或y′|.
f′(x0)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
(2)函数y＝f(x)的导函数
f′(x)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx).
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x)．
常用结论
1．区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
2.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,fx)))′＝eq \f(－f′x,[fx]2)(f(x)≠0)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( × )
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × )
(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.( × )
教材改编题
1．若f(x)＝eq \f(1,\r(x))，则f′(x)＝________.
答案 －eq \f(\r(x),2x2)
解析 f(x)＝eq \f(1,\r(x))＝，
∴f′(x)＝＝－eq \f(\r(x),2x2).
2．函数f(x)＝ex＋eq \f(1,x)在x＝1处的切线方程为 ．
答案 y＝(e－1)x＋2
解析 f′(x)＝ex－eq \f(1,x2)，
∴f′(1)＝e－1，
又f(1)＝e＋1，
∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，
即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，
即y＝(e－1)x＋2.
3．已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝ .
答案 －eq \f(1,e)
解析 f′(x)＝1＋ln x＋2ax，
∴f′(e)＝2ae＋2＝0，∴a＝－eq \f(1,e).
题型一 导数的运算
例1 (1)(2022·济南质检)下列求导运算正确的是________．(填序号)
①eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ln x)))′＝－eq \f(1,xln x2)；
②(x2ex)′＝2x＋ex；
③(tan x)′＝eq \f(1,cs2x)；
④eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2).
答案 ①③④
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ln x)))′＝－eq \f(1,ln x2)·(ln x)′＝－eq \f(1,xln x2)，
故①正确；
(x2ex)′＝(x2＋2x)ex，故②错误；
(tan x)′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,cs x)))′＝eq \f(cs2x＋sin2x,cs2x)＝eq \f(1,cs2x)，
故③正确；
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2)，故④正确．
(2)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))sin x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝ .
答案 eq \f(π2,36)＋eq \f(2π,3)
解析 f′(x)＝2x＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))cs x，
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝eq \f(2π,3)＋eq \f(1,2)f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝eq \f(4π,3)，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝eq \f(π2,36)＋eq \f(2π,3).
教师备选
在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)等于( )
A．26 B．29 C．212 D．215
答案 C
解析 因为在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，
所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝2×4＝8.
因为函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，
所以f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′，
所以f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.
思维升华 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
跟踪训练1 (1)函数y＝sin 2x的导数y′等于( )
A．2 B．cs 2x
C．2cs 2x D．2sin 2x
答案 C
解析 y＝sin 2x＝2sin x·cs x，
y′＝2cs x·cs x＋2sin x·(－sin x)
＝2cs2x－2sin2x＝2cs 2x.
(2)若函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2－1，且f(1)＝1，则f′(1)＋g′(1)等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 当x＝1时，f(1)＋g(1)＝0，
∵f(1)＝1，得g(1)＝－1，
原式两边求导，得f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x，
当x＝1时，f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2，
得f′(1)＋g′(1)＝2－g(1)＝2－(－1)＝3.
题型二 导数的几何意义
命题点1 求切线方程
例2 (1)(2021·全国甲卷)曲线y＝eq \f(2x－1,x＋2)在点(－1，－3)处的切线方程为 ．
答案 5x－y＋2＝0
解析 y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x－1,x＋2)))′＝eq \f(2x＋2－2x－1,x＋22)＝eq \f(5,x＋22)，所以y′|x＝－1＝eq \f(5,－1＋22)＝5，所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0.
(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为 ．
答案 x－y－1＝0
解析 ∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，
∴设切点为(x0，y0)．
又f′(x)＝1＋ln x，
∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.
∴由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y0＝x0ln x0，,y0＋1＝1＋ln x0x0，))解得x0＝1，y0＝0.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
命题点2 求参数的值(范围)
例3 (1)(2022·西安模拟)直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝aln x＋b相切于点P(1,2)，则2a＋b等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 A
解析 ∵直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝aln x＋b相切于点P(1,2)，
将P(1,2)代入y＝kx＋1，
可得k＋1＝2，解得k＝1，
∵ f(x)＝aln x＋b，∴ f′(x)＝eq \f(a,x)，
由f′(1)＝eq \f(a,1)＝1，
解得a＝1，可得f(x)＝ln x＋b，
∵P(1,2)在曲线f(x)＝ln x＋b上，
∴f(1)＝ln 1＋b＝2，
解得b＝2，故2a＋b＝2＋2＝4.
(2)已知曲线f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2－ax＋1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是________．
答案 (－4，＋∞)
解析 f′(x)＝x2－2x－a，
依题意知x2－2x－a＝3有两个实数解，
即a＝x2－2x－3＝(x－1)2－4有两个实数解，
∴y＝a与y＝(x－1)2－4的图象有两个交点，
∴a>－4.
教师备选
1．已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则P点的坐标为( )
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(1,3)或(－1,3) D．(1，－3)
答案 C
解析 设切点P(x0，y0)，
f′(x)＝3x2－1，
又直线x＋2y－1＝0的斜率为－eq \f(1,2)，
∴f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)－1＝2，
∴xeq \\al(2,0)＝1，∴x0＝±1，
又切点P(x0，y0)在y＝f(x)上，
∴y0＝xeq \\al(3,0)－x0＋3，
∴当x0＝1时，y0＝3；
当x0＝－1时，y0＝3.
∴切点P为(1,3)或(－1,3)．
2．(2022·哈尔滨模拟)已知M是曲线y＝ln x＋eq \f(1,2)x2＋(1－a)x上的任一点，若曲线在M点处的切线的倾斜角均是不小于eq \f(π,4)的锐角，则实数a的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．[4，＋∞)
C．(－∞，2] D．(－∞，4]
答案 C
解析 因为y＝ln x＋eq \f(1,2)x2＋(1－a)x，
所以y′＝eq \f(1,x)＋x＋1－a，因为曲线在M点处的切线的倾斜角均是不小于eq \f(π,4)的锐角，
所以y′≥tan eq \f(π,4)＝1对于任意的x>0恒成立，
即eq \f(1,x)＋x＋1－a≥1对任意x>0恒成立，
所以x＋eq \f(1,x)≥a，又x＋eq \f(1,x)≥2，
当且仅当x＝eq \f(1,x)，
即x＝1时，等号成立，
故a≤2，所以a的取值范围是(－∞，2]．
思维升华 (1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”．
跟踪训练2 (1)(2022·南平模拟)若直线y＝x＋m与曲线y＝eq \f(ex,e2n)相切，则( )
A．m＋n为定值 B.eq \f(1,2)m＋n为定值
C．m＋eq \f(1,2)n为定值 D．m＋eq \f(1,3)n为定值
答案 B
解析 设直线y＝x＋m与曲线y＝eq \f(ex,e2n)切于点，
因为y′＝eq \f(ex,e2n)，所以＝1，所以x0＝2n，
所以切点为(2n,1)，
代入直线方程得1＝2n＋m，即eq \f(1,2)m＋n＝eq \f(1,2).
(2)若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是 ．
答案 [2，＋∞)
解析 直线2x－y＝0的斜率k＝2，
又曲线f(x)上存在与直线2x－y＝0平行的切线，
∴f′(x)＝eq \f(1,x)＋4x－a＝2在(0，＋∞)内有解，
则a＝4x＋eq \f(1,x)－2，x>0.
又4x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(4x·\f(1,x))＝4，
当且仅当x＝eq \f(1,2)时取“＝”．
∴a≥4－2＝2.
∴a的取值范围是[2，＋∞)．
题型三 两曲线的公切线
例4 (1)(2022·驻马店模拟)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，直线l与f(x)的图象相切于点A(1,0)，若直线l与g(x)的图象也相切，则a等于( )
A．0 B．－1 C．3 D．－1或3
答案 D
解析 由f(x)＝xln x求导得f′(x)＝1＋ln x，
则f′(1)＝1＋ln 1＝1，于是得函数f(x)在点A(1,0)处的切线l的方程为y＝x－1，
因为直线l与g(x)的图象也相切，则方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－1，,gx＝x2＋ax，))有唯一解，即关于x的一元二次方程x2＋(a－1)x＋1＝0有两个相等的实数根，
因此Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3，
所以a＝－1或a＝3.
(2)若函数f(x)＝x2－1与函数g(x)＝aln x－1的图象存在公切线，则正实数a的取值范围是( )
A．(0，e) B．(0，e]
C．(0,2e) D．(0,2e]
答案 D
解析 f(x)＝x2－1的导函数f′(x)＝2x，g(x)＝aln x－1的导函数为g′(x)＝eq \f(a,x).
设切线与f(x)相切的切点为(n，n2－1)，与g(x)相切的切点为(m，aln m－1)，
所以切线方程为y－(n2－1)＝2n(x－n)，
y－(aln m－1)＝eq \f(a,m)(x－m)，
即y＝2nx－n2－1，y＝eq \f(a,m)x－a＋aln m－1.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2n＝\f(a,m)，,n2＋1＝a＋1－aln m，))
所以eq \f(a2,4m2)＝a－aln m，
由于a>0，所以eq \f(a,4m2)＝1－ln m，
即eq \f(a,4)＝m2(1－ln m)有解即可．
令h(x)＝x2(1－ln x)(x>0)，
h′(x)＝x(1－2ln x)，
所以h(x)在(0，eq \r(e))上单调递增，在(eq \r(e)，＋∞)上单调递减，最大值为h(eq \r(e))＝eq \f(e,2)，
当0e时，h(x)