高考数学第一轮复习第四章 §4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念

这是一份高考数学第一轮复习第四章 §4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念，共16页。试卷主要包含了了解任意角的概念和弧度制，任意角的三角函数，又sin θ·cs θ<0，等内容，欢迎下载使用。

考试要求 1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
知识梳理
1．角的概念
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
3.任意角的三角函数
(1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，
则sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
(2)任意角的三角函数的定义(推广)：
设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．( × )
(2)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是eq \f(π,6).( × )
(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．( × )
(4)若sin α>0，则α的终边落在第一或第二象限．( × )
教材改编题
1．若sin α<0，且tan α>0，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 C
2．已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．
答案 12π
解析 ∵α＝30°＝eq \f(π,6)，l＝αr，∴r＝eq \f(2π,\f(π,6))＝12，
∴扇形面积S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×2π×12＝12π.
3．若角α的终边过点(1，－3)，则sin α＝______，cs α＝________.
答案 －eq \f(3\r(10),10) eq \f(\r(10),10)
题型一 角及其表示
例1 (1)给出下列命题：
①终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}；
②终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}；
③第三象限角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(π＋2kπ≤α≤\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))))；
④在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°.
其中正确的序号是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．①④
答案 D
解析 ②终边落在y轴上的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))，角度与弧度不能混用，故②错误；
③第三象限角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(π＋2kπ<α<\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))))，故③错误；
④所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°，k∈Z，
令－720°≤45°＋k·360°<0°(k∈Z)，
解得－eq \f(17,8)≤k<－eq \f(1,8)(k∈Z)，
从而当k＝－2时，β＝－675°；
当k＝－1时，β＝－315°，故④正确．
(2)已知α为第三象限角，则eq \f(α,2)是第______象限角，2α是________的角．
答案 二、四 第一、二象限或y轴的非负半轴上
解析 ∵α是第三象限角，
即2kπ＋π<α<2kπ＋eq \f(3,2)π，k∈Z，
∴kπ＋eq \f(π,2)4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z.
当k为偶数时，eq \f(α,2)为第二象限角；当k为奇数时，eq \f(α,2)为第四象限角，而2α的终边落在第一、二象限或y轴的非负半轴上．
教师备选
1．角－2 023°是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 B
解析 ∵－2 023°＝－6×360°＋137°，
∴它是第二象限角．
2．若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－eq \r(3)x上，则角α的取值集合是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2kπ－\f(π,3)，k∈Z))))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝kπ－\f(2π,3)，k∈Z))))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝kπ－\f(π,3)，k∈Z))))
答案 D
思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，eq \f(α,k)(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或eq \f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq \f(α,k)的终边所在位置．
跟踪训练1 (1)下列与角eq \f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋eq \f(9π,4)(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋eq \f(5π,4)(k∈Z)
答案 C
解析 与eq \f(9π,4)的终边相同的角可以写成2kπ＋eq \f(9π,4)(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，排除A，B，易知D错误，C正确．
(2)集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
答案 C
解析 当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋eq \f(π,4)≤α≤2nπ＋eq \f(π,2)，此时α表示的范围与eq \f(π,4)≤α≤eq \f(π,2)表示的范围一样；当k＝2n＋1 (n∈Z)时，2nπ＋π＋eq \f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq \f(π,2)，此时α表示的范围与π＋eq \f(π,4)≤α≤π＋eq \f(π,2)表示的范围一样，故选C.
题型二 弧度制及其应用
例2 一扇形的圆心角α＝eq \f(π,3)，半径R＝10 cm，求该扇形的面积．
解 由已知得α＝eq \f(π,3)，R＝10 cm，
∴S扇形＝eq \f(1,2)α·R2＝eq \f(1,2)·eq \f(π,3)·102＝eq \f(50π,3)(cm2)．
延伸探究
1．若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积．
解 l＝α·R＝eq \f(π,3)×10＝eq \f(10π,3)(cm)，
S弓形＝S扇形－S三角形＝eq \f(50π,3)－eq \f(1,2)·R2·sin eq \f(π,3)
＝eq \f(50π,3)－eq \f(1,2)×102×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(50π－75\r(3),3)(cm2)．
2．若将本例已知条件改为：“扇形周长为20 cm”，则当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解 由已知得，l＋2R＝20，
则l＝20－2R(0所以S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2
＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad.
教师备选
1．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l等于( )
A.eq \f(4\r(3),3)π cm B.eq \f(8\r(3),3)π cm
C．4eq \r(3) cm D．8eq \r(3) cm
答案 B
解析 设扇形的半径为r cm，如图．
由sin 60°＝eq \f(6,r)，得r＝4eq \r(3) cm，
∴l＝|α|·r＝eq \f(2π,3)×4eq \r(3)＝eq \f(8\r(3),3)π(cm)．
2．已知扇形的面积是4 cm2，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的弧度数为________．
答案 2
解析 设此扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
则扇形的面积S＝eq \f(1,2)lr＝4，
所以l＝eq \f(8,r)，设扇形的周长为L，
则L＝2r＋l＝2r＋eq \f(8,r)，r∈(0，＋∞)．
方法一 由基本不等式得2r＋eq \f(8,r)≥2eq \r(16)＝8，当且仅当2r＝eq \f(8,r)，即r＝2时，等号成立，扇形的周长取得最小值8，此时l＝eq \f(8,r)＝4，
故α＝eq \f(l,r)＝eq \f(4,2)＝2.
方法二 由L′＝2－eq \f(8,r2)＝eq \f(2r2－8,r2)＝0，得r＝2，
所以当r∈(0,2)时，L′<0，L＝2r＋eq \f(8,r)单调递减；
当r∈(2，＋∞)时，L′>0，L＝2r＋eq \f(8,r)单调递增，所以当r＝2时，扇形的周长取得最小值．此时l＝eq \f(8,r)＝4，故扇形的圆心角α＝eq \f(l,r)＝eq \f(4,2)＝2.
思维升华 应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
跟踪训练2 (1)(2022·景德镇模拟)《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为eq \f(π,4)米，整个肩宽约为eq \f(π,8)米．“弓”所在圆的半径约为1.25米．则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：eq \r(2)≈1.414，eq \r(3)≈1.73)( )
A．1.612米 B．1.768米
C．1.868米 D．2.045米
答案 B
解析 由题意得，“弓”所在的弧长为
l＝eq \f(π,4)＋eq \f(π,4)＋eq \f(π,8)＝eq \f(5π,8)，R＝1.25＝eq \f(5,4)，
∴其所对的圆心角α＝eq \f(l,R)＝eq \f(\f(5π,8),\f(5,4))＝eq \f(π,2)，
∴两手之间的距离
d＝eq \r(R2＋R2)＝eq \r(2)×1.25≈1.768.
(2)一个扇形的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，则圆心角为________弧度，弧长为________ cm.
答案 2 2
解析 设扇形的圆心角为α，半径为r.
则由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S＝\f(1,2)αr2＝1，,αr＋2r＝4，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2，,r＝1，))
所以弧长l＝αr＝2，
所以扇形的圆心角为2弧度，弧长为2 cm.
题型三 三角函数的概念
例3 (1)若sin θ·cs θ<0，eq \f(tan θ,sin θ)>0，则角θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 D
解析 由eq \f(tan θ,sin θ)>0，得eq \f(1,cs θ)>0，
所以cs θ>0.又sin θ·cs θ<0，
所以sin θ<0，所以θ为第四象限角．
(2)已知α的终边在直线y＝2x上，则sin α＝________.
答案 ±eq \f(2\r(5),5)
解析 由题意可知，α终边落在第一或第三象限，且tan α＝2，若在第一象限，可在α终边上任取一点(1,2)，
∴sin α＝eq \f(2,\r(12＋22))＝eq \f(2\r(5),5)，若在第三象限，可在α终边上任取一点(－1，－2)，
∴sin α＝eq \f(－2,\r(－12＋－22))＝－eq \f(2\r(5),5).
(3)已知α的终边过点(x,4)，且cs α＝－eq \f(3,5)，则tan α＝________.
答案 －eq \f(4,3)
解析 ∵α的终边过点(x,4)，且cs α＝－eq \f(3,5)，
∴x<0.
∵cs α＝eq \f(x,\r(x2＋16))＝－eq \f(3,5)，
∴x＝－3，
∴tan α＝－eq \f(4,3).
(4)(2021·北京)若点P(cs θ，sin θ)与点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))))关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝________.
答案 eq \f(5π,12)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(满足θ＝\f(5π,12)＋kπ，k∈Z即可))
解析 ∵P(cs θ，sin θ)与
Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))))
关于y轴对称，
即θ，θ＋eq \f(π,6)关于y轴对称，
θ＋eq \f(π,6)＋θ＝π＋2kπ，k∈Z，
则θ＝kπ＋eq \f(5π,12)，k∈Z，
当k＝0时，可取θ的一个值为eq \f(5π,12).
教师备选
已知角α的终边与单位圆的交点为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，y))，则sin α·tan α等于( )
A．－eq \f(\r(3),3) B．±eq \f(\r(3),3)
C．－eq \f(3,2) D．±eq \f(3,2)
答案 C
解析 设O为坐标原点，
由|OP|2＝eq \f(1,4)＋y2＝1，得y2＝eq \f(3,4)，y＝±eq \f(\r(3),2).
方法一 当y＝eq \f(\r(3),2)时，sin α＝eq \f(\r(3),2)，tan α＝－eq \r(3)，
此时，sin α·tan α＝－eq \f(3,2).
当y＝－eq \f(\r(3),2)时，sin α＝－eq \f(\r(3),2)，tan α＝eq \r(3)，
此时，sin α·tan α＝－eq \f(3,2).
所以sin α·tan α＝－eq \f(3,2).
方法二 由三角函数定义知，
cs α＝－eq \f(1,2)，sin α＝y，
所以sin α·tan α＝sin α·eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(sin2α,cs α)
＝eq \f(y2,－\f(1,2))＝eq \f(\f(3,4),－\f(1,2))＝－eq \f(3,2).
思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．
(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
跟踪训练3 (1)已知θ是第三象限角，满足eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)))＝－sin eq \f(θ,2)，则eq \f(θ,2)是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 D
解析 ∵θ是第三象限角，
∴π＋2kπ<θ则eq \f(π,2)＋kπ即eq \f(θ,2)为第二或第四象限角，
又eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)))＝－sin eq \f(θ,2)，
∴eq \f(θ,2)为第四象限角．
(2)已知角α的终边上一点P(－eq \r(3)，m)(m≠0)，且sin α＝eq \f(\r(2)m,4)，则cs α＝________，tan α＝________.
答案 －eq \f(\r(6),4) ±eq \f(\r(15),3)
解析 由sin α＝eq \f(m,\r(3＋m2))＝eq \f(\r(2)m,4)，
解得m＝±eq \r(5)，∴r＝eq \r(3＋m2)＝2eq \r(2)，
当m＝eq \r(5)时，cs α＝eq \f(－\r(3),2\r(2))＝－eq \f(\r(6),4)，
tan α＝－eq \f(\r(15),3)；
当m＝－eq \r(5)时，cs α＝eq \f(－\r(3),2\r(2))＝－eq \f(\r(6),4)，
tan α＝eq \f(\r(15),3).
课时精练
1．若α是第四象限角，则π＋α是第____象限角( )
A．一 B．二 C．三 D．四
答案 B
解析 eq \f(π,2)＋2kπ<π＋α<π＋2kπ，k∈Z，
故π＋α是第二象限角．
2．(2022·上海横峰中学月考)终边为第一象限和第三象限的平分线的角的集合是( )
A．{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝－135°＋k·180°，k∈Z}
C．{α|α＝－135°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}
答案 B
解析 终边为第一象限的平分线的角的集合是
{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，①
终边为第三象限的平分线的角的集合是
{α|α＝－135°＋k·360°，k∈Z}，②
由①②得{α|α＝－135°＋k·180°，k∈Z}．
3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )
A．2 B.eq \f(2,sin 1)
C．2sin 1 D．sin 2
答案 B
解析 如图，取AB的中点C，连接OC，
则OC⊥AB，∠AOC＝∠BOC＝1 rad，
在△AOC中，sin 1＝eq \f(1,r)，
∴r＝eq \f(1,sin 1)，
∴所求弧长为αr＝eq \f(2,sin 1).
4．(2022·扬州中学月考)若α＝－5，则( )
A．sin α>0，cs α>0
B．sin α>0，cs α<0
C．sin α<0，cs α>0
D．sin α<0，cs α<0
答案 A
解析 因为－2π<α＝－5<－eq \f(3,2)π，
所以α＝－5为第一象限的角，
所以sin α>0，cs α>0.
5．下列说法正确的有( )
A．经过30分钟，钟表的分针转过π弧度
B．1°＝eq \f(180,π) rad
C．若sin θ>0，cs θ<0，则θ为第二象限角
D．若θ为第二象限角，则eq \f(θ,2)为第一象限角
答案 C
解析 对于A，经过30分钟，钟表的分针转过－π弧度，不是π弧度，故A错误；
对于B,1°化成弧度是eq \f(π,180) rad，故B错误；
对于C，由sin θ>0，可得θ为第一、第二象限及y轴正半轴上的角；
由cs θ<0，可得θ为第二、第三象限及x轴负半轴上的角．
取交集可得θ是第二象限角，故C正确；
对于D，若θ是第二象限角，
则2kπ＋eq \f(π,2)<θ<2kπ＋π(k∈Z)，
则kπ＋eq \f(π,4)所以eq \f(θ,2)为第一或第三象限角，故D错误．
6．下列说法正确的有( )
A．角eq \f(π,3)与角eq \f(5π,3)终边相同
B．终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}
C．若角α的终边在直线y＝－3x上，则cs α的取值为eq \f(\r(10),10)
D．67°30′化成弧度是eq \f(3π,8) rad
答案 D
解析 角eq \f(π,3)与角eq \f(5π,3)终边不相同，故A错误；
终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}，故B错误；
若角α的终边在直线y＝－3x上，
则cs α的取值为±eq \f(\r(10),10)，故C错误；
67°30′化成弧度是eq \f(3π,8) rad，故D正确．
7．若角α的终边经过点P(3m，－4m)(m<0)，则sin α＋cs α＝________.
答案 eq \f(1,5)
解析 由题意得
r＝|OP|＝eq \r(3m2＋－4m2)＝5|m|＝－5m(O为坐标原点)，
则sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(－4m,－5m)＝eq \f(4,5)，
cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(3m,－5m)＝－eq \f(3,5)，
故sin α＋cs α＝eq \f(4,5)－eq \f(3,5)＝eq \f(1,5).
8．已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形面积为________．
答案 3π
解析 ∵120°＝eq \f(2π,3)，l＝αr，
∴r＝eq \f(l,α)＝eq \f(2π,\f(2π,3))＝3，
∴S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×2π×3＝3π.
9．已知eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，且lg(cs α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，m))，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解 (1)由eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，得sin α<0，
由lg(cs α)有意义，
可知cs α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＋m2＝1，
解得m＝±eq \f(4,5).
又α为第四象限角，
故m<0，从而m＝－eq \f(4,5)，
sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(m,|OM|)＝eq \f(－\f(4,5),1)＝－eq \f(4,5).
10．已知sin α<0，tan α>0.
(1)求角α的集合；
(2)求eq \f(α,2)的终边所在的象限；
(3)试判断tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)的符号．
解 (1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上，
由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，
其集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋π<α<2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z)))).
(2)由(1)知2kπ＋π<α<2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，
故kπ＋eq \f(π,2)故eq \f(α,2)的终边在第二、四象限．
(3)当eq \f(α,2)在第二象限时，tan eq \f(α,2)<0，
sin eq \f(α,2)>0，cs eq \f(α,2)<0，
所以tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)>0，
当eq \f(α,2)在第四象限时，tan eq \f(α,2)<0，
sin eq \f(α,2)<0，cs eq \f(α,2)>0，
所以tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)>0，
综上，tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)的符号为正．
11．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是( )
A．M∩N＝∅ B．MN
C．NM D．M＝N
答案 C
解析 M＝{α|α＝45°＋2k·45°，k∈Z}
＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}，
N＝{α|α＝2×45°＋k·45°，k∈Z}
＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}，
∵2k＋1表示所有奇数，k＋2表示所有整数，
∴NM.
12．已知角α(0≤α<2π)终边上一点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(5π,6)，cs \f(5π,6)))，则α等于( )
A.eq \f(5π,6) B.eq \f(7π,6) C.eq \f(4π,3) D.eq \f(5π,3)
答案 D
解析 因为sin eq \f(5π,6)＝eq \f(1,2)，cs eq \f(5π,6)＝－eq \f(\r(3),2)，
所以角α(0≤α<2π)终边上一点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，
故角α的终边在第四象限，
且tan α＝－eq \r(3)，又0≤α<2π，所以α＝eq \f(5π,3).
13．(2022·宿州模拟)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝eq \f(1,2)(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为eq \f(2π,3)，弧长等于eq \f(8π,3)米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16π,3)－4\r(3))) 平方米
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16π,3)－2\r(3))) 平方米
C．(4＋2eq \r(3)) 平方米
D．(2＋4eq \r(3)) 平方米
答案 D
解析 设半径为r，则eq \f(8π,3)＝eq \f(2π,3)r，r＝4，
所以弦长为2rsin eq \f(π,3)＝2×4×eq \f(\r(3),2)＝4eq \r(3)，
矢为r－rcs eq \f(π,3)＝4－4×eq \f(1,2)＝2，
所以弧田面积为S＝eq \f(1,2)×(2×4eq \r(3)＋22)＝4eq \r(3)＋2.
14．已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右运动，Q沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，连接OP交圆O于点B(如图)，则阴影部分的面积S1，S2的大小关系是________．
答案 S1＝S2
解析 设点P，Q的运动速度为v，运动时间为t，圆O的半径为r，则＝AP＝tv，根据切线的性质知OA⊥AP，
∴S1＝eq \f(1,2)tv·r－S扇形AOB，
S2＝eq \f(1,2)tv·r－S扇形AOB，
∴S1＝S2.
15．若角α的终边落在直线y＝eq \r(3)x上，角β的终边与单位圆交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，m))，且sin α·cs β<0，则cs α·sin β＝________.
答案 ±eq \f(\r(3),4)
解析 由角β的终边与单位圆交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，m))，得cs β＝eq \f(1,2)，又由sin α·cs β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y＝eq \r(3)x上，所以角α只能是第三象限角．记P为角α的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x<0，y<0)，则|OP|＝1(O为坐标原点)，即x2＋y2＝1，又由y＝eq \r(3)x得x＝－eq \f(1,2)，y＝－eq \f(\r(3),2)，所以cs α＝x＝－eq \f(1,2)，因为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，m))在单位圆上，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋m2＝1，
解得m＝±eq \f(\r(3),2)，所以sin β＝±eq \f(\r(3),2)，
所以cs α·sin β＝±eq \f(\r(3),4).
16．在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中，用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？
解 因为△AOB是顶角为120°、腰长为2的等腰三角形，
所以A＝B＝30°＝eq \f(π,6)，AM＝BN＝1，AD＝2，
所以方案一中扇形的弧长＝2×eq \f(π,6)＝eq \f(π,3)；方案二中扇形的弧长＝1×eq \f(2π,3)＝eq \f(2π,3)；
方案一中扇形的面积＝eq \f(1,2)×2×2×eq \f(π,6)＝eq \f(π,3)，方案二中扇形的面积＝eq \f(1,2)×1×1×eq \f(2π,3)＝eq \f(π,3).
由此可见，两种方案中可利用废料的面积相等，方案一中切割时间短．因此方案一最优．角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝eq \f(π,180) rad；1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2