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高考数学第一轮复习第十一章 §11.2 古典概型与几何概型
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这是一份高考数学第一轮复习第十一章 §11.2 古典概型与几何概型，共19页。试卷主要包含了理解古典概型及其概率计算公式，911>3，024，879等内容，欢迎下载使用。
知识梳理
1．古典概型
(1)古典概型的特征：
①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
(2)古典概型的概率计算的基本步骤：
①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；
②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件的个数m；
③利用古典概型的概率公式P(A)＝eq \f(m,n)，求出事件A的概率．
(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同
2．几何概型
(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
(2)几何概型的基本特点：
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
②每个基本事件出现的可能性相等．
(3)计算公式：P(A)＝eq \f(构成事件A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积).
3．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率：P(A)＝1.
(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.
(4)概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．
常用结论
若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．( √ )
(2)在一个正方形区域内任取一点的概率为0.( √ )
(3)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( × )
(4)两个互斥事件的概率和为1.( × )
教材改编题
1．袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(3,5)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,6)
答案 B
2．在数轴的[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D．1
答案 B
解析 坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为eq \f(1,3).
3．抛掷一枚骰子，记A为事件“出现点数是奇数”，B为事件“出现点数是3的倍数”，则P(A∪B)＝______，P(A∩B)＝______.
答案 eq \f(2,3) eq \f(1,6)
解析 抛掷一枚骰子，所有基本事件是1,2,3,4，5,6，
事件A∪B包括出现的点数是1,3,5,6这4个基本事件，故P(A∪B)＝eq \f(2,3)；
事件A∩B包括出现的点数是3这1个基本事件，故P(A∩B)＝eq \f(1,6).
题型一 古典概型
例1 (1)(2022·昆明模拟)2021年，云南省人民政府发布《关于命名“云南省美丽县城”“云南省特色小镇”的通知》，命名16个“云南省美丽县城”和6个“云南省特色小镇”，其中这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇．某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选两个去旅游，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,5) D.eq \f(1,6)
答案 A
解析 6个云南省特色小镇分别为a，b，c，d，e，f，其中a为安宁温泉小镇，则从6个云南特色小镇中任意选两个的基本事件有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)共15个，其中一个是安宁温泉小镇有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)共5个，所以要求的概率为P＝eq \f(5,15)＝eq \f(1,3).
(2)(2021·全国甲卷)将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
答案 C
解析 把3个1和2个0排成一行，共有10种排法，分别是00111,10011,11001,11100,01011,
01101,01110,10101,10110,11010，其中2个0不相邻的排法有6种，分别是01011,01101,01110,
10101,10110,11010，所以所求概率P＝eq \f(6,10)＝0.6.
教师备选
1．甲、乙、丙三位客人在参加中国科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点参观的概率为( )
A.eq \f(1,8) B.eq \f(1,4) C.eq \f(3,8) D.eq \f(1,2)
答案 B
解析 因为三人去2个景点参观，每人只选择其中一个景点，所以每个人都有2种选法，共有23＝8(种)可能结果，其中三人恰好到同一景点有2种可能结果，所以三人恰好到同一景点参观的概率P＝eq \f(2,8)＝eq \f(1,4).
2．某学校积极开展“服务社会，提升自我”的志愿者服务活动，九年级的五名同学(三男两女)成立了“交通秩序维护”小分队．若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是________．
答案 eq \f(3,5)
解析 三名男生分别记为1,2,3，两名女生分别记为4,5，则从该小分队中任选两名同学的所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个．设“恰是一男一女”为事件A，则A包含的基本事件为(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，共6个．故所求的概率为P(A)＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5).
思维升华 利用公式法求解古典概型问题的步骤
跟踪训练1 (1)(2022·深圳模拟)五一国际劳动节放假期间，甲、乙两名同学计划在5月1日到5月3日期间去敬老院做志愿者，若甲同学在三天中随机选一天，乙同学在前两天中随机选一天，且两名同学的选择互不影响，则他们在同一天去的概率为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
答案 B
解析 甲同学在三天中随机选一天共有3种方法，乙同学在前两天中随机选一天共有2种方法，所以一共有6种方法，他们在同一天去共有2种情况，所以他们在同一天去的概率为eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).
(2)(2022·郑州模拟)皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学作出了重大贡献，其中在1636年发现了：若p是质数，且a，p互质，那么a的(p－1)次方除以p的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理．依此定理，若在数集{2,3,5,6,8}中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，则所取两个数符合费马小定理的概率为( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(9,20) C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,2)
答案 B
解析 在数集{2,3,5,6,8}中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，基本事件总数为20，所取两个数(p，a)符合费马小定理包含的基本事件有(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,5)，(3,8)，(5,2)，(5,3)，(5,6)，(5,8)，共9个，∴所取两个数符合费马小定理的概率为P＝eq \f(9,20).
题型二 几何概型
例2 (1)在区间[－1,1]上随机取一个数k，使直线y＝k(x＋3)与圆x2＋y2＝1相交的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(\r(2),4) D.eq \f(\r(2),3)
答案 C
解析 因为圆心(0,0)，半径r＝1，直线与圆相交，
所以圆心到直线的距离d＝eq \f(|3k|,\r(1＋k2))<1，
解得－eq \f(\r(2),4)所以相交的概率P＝eq \f(\f(\r(2),2),2)＝eq \f(\r(2),4).
(2)刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的文化遗产，他提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是( )
A.eq \f(3\r(3),4π) B.eq \f(3\r(3),2π) C.eq \f(1,2π) D.eq \f(1,4π)
答案 B
解析 如图所示，设圆的半径为R，则圆的面积为πR2，圆内接正六边形的边长为R，面积为6×eq \f(1,2)×R2×sin eq \f(π,3)＝eq \f(3\r(3)R2,2)，则所求的概率P＝eq \f(\f(3\r(3)R2,2),πR2)＝eq \f(3\r(3),2π).
教师备选
1．已知函数f(x)＝sin x＋eq \r(3)cs x，当x∈[0，π]时，f(x)≥1的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,5) D.eq \f(1,2)
答案 D
解析 由f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))≥1，x∈[0，π]，
得x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴所求概率P＝eq \f(\f(π,2),π)＝eq \f(1,2).
2.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A－A1BD内的概率为________．
答案 eq \f(1,6)
解析 设事件M为“动点在三棱锥A－A1BD内”，则
P(M)＝
＝＝eq \f(\f(1,3)AA1·\f(1,2)S矩形ABCD,AA1·S矩形ABCD)＝eq \f(1,6).
思维升华 (1)求解几何概型概率的步骤
(2)与体积有关的几何概型的解题策略
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解．
跟踪训练2 (1)(2021·全国乙卷)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取一个数，则两数之和大于eq \f(7,4)的概率为( )
A.eq \f(7,9) B.eq \f(23,32) C.eq \f(9,32) D.eq \f(2,9)
答案 B
解析 在区间(0,1)中随机取一个数，记为x，在区间(1,2)中随机取一个数，记为y，两数之和大于eq \f(7,4)，即x＋y>eq \f(7,4)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0\f(7,4).))
在如图所示的平面直角坐标系中，点(x，y)构成的区域是边长为1的正方形区域(不含边界)，事件A“两数之和大于eq \f(7,4)”即x＋y>eq \f(7,4)中，点(x，y)构成的区域为图中阴影部分(不含边界)，由几何概型计算公式得P(A)＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2×\f(1,2),1×1)＝eq \f(23,32).
(2)阳马是中国古代算术中的一种几何形体，是底面为长方形，且两个三角形侧面与底面垂直的四棱锥．在阳马P－ABCD中，PC为阳马P－ABCD中最长的棱，AB＝1，AD＝2，PC＝3.若在阳马P－ABCD的外接球内部随机取一点，则该点位于阳马内的概率为( )
A.eq \f(1,27π) B.eq \f(4,27π) C.eq \f(8,27π) D.eq \f(4,9π)
答案 C
解析 根据题意，得PA⊥平面ABCD，PC的长等于阳马P－ABCD外接球的直径．
∵PC＝eq \r(PA2＋AB2＋AD2)，
∴PA＝2.
∴VP－ABCD＝eq \f(1,3)×1×2×2＝eq \f(4,3).
又V球＝eq \f(4,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))3＝eq \f(9π,2)，
∴该点位于阳马内的概率P＝eq \f(\f(4,3),\f(9π,2))＝eq \f(8,27π).
题型三 概率的基本性质
例3 某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示．
(1)求派出医生至多2个的概率；
(2)求派出医生至少2个的概率．
解 设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.
(1)“派出医生至多2个”的概率为
P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)方法一 “派出医生至少2人”的概率为
P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.
方法二 “派出医生至少2个”的概率为
1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74.
教师备选
1．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(5,6) D．1
答案 B
解析 方法一 A包含向上点数是1,3,5的情况，B包含向上的点数是1,2,3的情况，
所以A∪B包含了向上点数是1,2,3,5的情况，
故P(A∪B)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).
方法二 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(2,6)＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
2．已知甲袋中有1个红球和1个黄球，乙袋中有2个红球和1个黄球，现从两袋中各随机选取一个球，则取出的两球中至少有1个红球的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(5,6)
答案 D
解析 从两袋中各随机选取一个球，基本事件总数为6，取出的两球中至少有1个红球的对立事件是取出的两球都是黄球，所以利用对立事件概率计算公式得，取出两球中至少有1个红球的概率P＝1－eq \f(1,6)＝eq \f(5,6).
思维升华 求复杂互斥事件的概率的两种方法
(1)直接法
(2)间接法(正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解简单)．
跟踪训练3 (1)设条件甲：“事件A与B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.投掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，则P(A)＝eq \f(7,8)，P(B)＝eq \f(1,8)，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件．故甲是乙的充分不必要条件．
(2)向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一军火库的概率为0.025，炸中第二、三军火库的概率均为0.1，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，则军火库爆炸的概率为________．
答案 0.225
解析 设A，B，C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D表示军火库爆炸，则P(A)＝0.025，P(B)＝0.1，P(C)＝0.1，其中A，B，C互斥，故P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.
题型四 概率与统计的综合问题
例4 饮用水水源的安全是保障饮用水安全的基础．同时国家提倡节约用水，全民积极维护饮用水水源安全，保障安全饮水.2021年5月13日下午，正在河南省南阳市考察调研的习近平总书记来到淅川县，先后考察了陶岔渠首枢纽工程、丹江口水库，听取南水北调中线工程建设管理运行和水源地生态保护等情况介绍．为了提高节约用水意识，为此，某校开展了“节约用水，从我做起”活动，从参赛的学生中随机选取100人的成绩作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校此次参赛学生成绩的平均分eq \x\t(x)(同一组数据用该组区间的中点值代表)；
(2)在该样本中，若采用分层抽样方法，从成绩低于65分的学生中随机抽取6人调查他们的答题情况，再从这6人中随机抽取3人进行深入调研，求这3人中至少有1人的成绩低于55分的概率．
解 (1)根据频率分布直方图得到
(0.005＋0.025×2＋0.01＋a)×10＝1，
解得a＝0.035.
这组样本数据的平均数为50×0.05＋60×0.25＋70×0.35＋80×0.25＋90×0.1＝71，
所以eq \x\t(x)＝71.
(2)根据频率分布直方图得到，成绩在[45,55)，[55,65)内的频率分别为0.05,0.25，所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的6人，
成绩在[45,55)内的有1人，记为X，
成绩在[55,65)内的有5人，分别记为a，b，c，d，e，
从这6人中随机抽取3人，所有可能的结果为Xab，Xac，Xad，Xae，Xbc，Xbd，Xbe，Xcd，Xce，Xde，abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde，共20种．
这3人中至少有1人的成绩在[45,55)内的有Xab，Xac，Xad，Xae，Xbc，Xbd，Xbe，Xcd，Xce，Xde，共10种．所以这3人中至少有1人的成绩低于55分的概率为eq \f(10,20)＝eq \f(1,2).
教师备选
(2019·天津)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．
解 (1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，
因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人．
(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个．
②由表格知，符合题意的有(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共11个．所以事件M发生的概率P(M)＝eq \f(11,15).
思维升华 求解古典概型的交汇问题的步骤
(1)将题目条件中的相关知识转化为事件；
(2)判断事件是否为古典概型；
(3)选用合适的方法确定基本事件个数；
(4)代入古典概型的概率公式求解．
跟踪训练4 为了了解某种新型药物对治疗某种疾病的疗效，某机构日前联合医院，进行了小规模的调查，结果显示，相当多的受访者担心使用新药后会有副作用．为了了解使用该种新型药品后是否会引起疲乏症状，该机构随机抽取了某地患有这种疾病的275人进行调查，得到统计数据如表：
(1)求2×2列联表中的数据x，y，m，t的值，能否有95%的把握认为有疲乏症状与使用该新药有关；
(2)从使用该新药的100人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出4人，再从这4人中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中恰有1人有疲乏症状的概率．
附：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.
解 (1)由数表知，x＝225－150＝75，y＝100－75＝25，m＝275－225＝50，t＝150＋25＝175，
所以x＝75，y＝25，m＝50，t＝175，
根据列联表中的数据，经计算得到
K2＝eq \f(275×150×25－75×252,225×50×175×100)＝eq \f(275,56)
≈4.911>3.841，
所以有95%的把握认为有疲乏症状与使用该新药有关．
(2)从使用新药的100人中用分层抽样抽取4人的抽样比为eq \f(4,100)＝eq \f(1,25)，则抽取有疲乏症状的人数为eq \f(1,25)×25＝1，无疲乏症状的有3人，
抽取的有疲乏症状的1人记为1，无疲乏症状的3人记为a，b，c，从4人中随机抽取2人的所有可能结果为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共6个，它们等可能，
记2人中恰有1人有疲乏症状的事件为M，它所含基本事件是(1，a)，(1，b)，(1，c)，共3个，
于是得P(M)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，
所以这2人中恰有1人有疲乏症状的概率是eq \f(1,2).
课时精练
1．(2021·全国乙卷)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))随机取一个数，则取到的数小于eq \f(1,3)的概率为( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,6)
答案 B
解析 因为区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))的长度为eq \f(1,2)，区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))的长度为eq \f(1,3)，所以在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))随机取一个数，则取到的数小于eq \f(1,3)的概率P＝eq \f(1,3)÷eq \f(1,2)＝eq \f(2,3).
2．(2022·太原模拟)从1,2,3,4,5这5个数中随机抽取2个数，分别记为m，n，则eq \f(m,n)为整数的概率为( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,5) D.eq \f(4,25)
答案 B
解析 由题意得，从1,2,3,4,5这5个数中随机抽取2个数，则共有
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)，20种等可能情况，其中eq \f(m,n)为整数的有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(4,2)，5种情况，所以所求概率为eq \f(5,20)＝eq \f(1,4).
3．新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率为( )
A.eq \f(1,36) B.eq \f(1,16) C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,6)
答案 D
解析 由题意，从政治、地理、化学、生物中四选二，共有6种方法，所以他们选课相同的概率为eq \f(1,6).
4．(2022·黄山质检)从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(2，－1)垂直的概率为( )
A.eq \f(1,9) B.eq \f(2,9) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
答案 B
解析 从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b，可以组成向量m＝(a，b)的个数是9个，其中与向量n＝(2，－1)垂直的向量是m＝(1,2)和m＝(2,4)，共2个，故所求的概率为P＝eq \f(2,9).
5．(2022·莆田质检)甲、乙两位同学到莆田市湄洲岛当志愿者，他们同时从“妈祖祖庙”站上车，乘坐开往“黄金沙滩”站方向的3路公交车(线路图如下)．甲将在“供水公司”站之前的任意一站下车，乙将在“鹅尾神化石”站之前的任意一站下车．假设每人自“管委会”站开始在每一站点下车是等可能的，则甲比乙后下车的概率为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(1,4) C.eq \f(7,30) D.eq \f(3,20)
答案 C
解析 甲从“管委会”站到“北埭”站的每一站下车都可以，有8种情况，
乙从“管委会”站到“东至”站的每一站下车都可以，有15种情况，
若乙在“管委会”站下车，则甲有7种情况，
若乙在“地税分局”站下车，则甲有6种情况，
若乙在“兴海路”站下车，则甲有5种情况，
若乙在“闽台风情街”站下车，则甲有4种情况，
若乙在“莲池小学”站下车，则甲有3种情况，
若乙在“金沙滩”站下车，则甲有2种情况，
若乙在“莲池沙滩”站下车，则甲有1种情况，
因此，甲比乙后下车的概率为
P＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7,8×15)＝eq \f(4×7,8×15)＝eq \f(7,30).
6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )
A.eq \f(3π,10) B.eq \f(3π,20)
C．1－eq \f(3π,10) D．1－eq \f(3π,20)
答案 D
解析 直角三角形的斜边长为eq \r(82＋152)＝17，
设内切圆的半径为r，则8－r＋15－r＝17，解得r＝3.
∴内切圆的面积为πr2＝9π，
∴豆子落在内切圆外的概率P＝1－eq \f(9π,\f(1,2)×8×15)＝1－eq \f(3π,20).
7．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03，则抽检一件是甲级品的概率为________．
答案 0.92
解析 记抽捡的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，且事件A和事件B∪C是对立事件，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝0.92.
8．已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是______．
答案 eq \f(2,5)
解析 若函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数，
则a2－2<0，又a∈{－2,0,1,2,3}，
故只有a＝0，a＝1满足题意，所以函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是eq \f(2,5).
9．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．
(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；
(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．
解 (1)所有可能的摸出结果是(A1，a1)，(A1，a2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a1)，(A2，a2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(B，a1)，(B，a2)，(B，b1)，(B，b2)．
(2)不正确．理由如下：
由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为(A1，a1)，(A1，a2)，(A2，a1)，(A2，a2)，共4种，所以中奖的概率为eq \f(4,12)＝eq \f(1,3)，不中奖的概率为1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)>eq \f(1,3)，故这种说法不正确．
10．2021年是中国共产党建党100周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史、悟思想、办实事、开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加的“学党史”知识竞赛．竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分．现随机抽取1 000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组：[72,76)，[76,80)，[80,84)，[84,88)，[88,92)，[92,96)，[96,100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求这1 000名党员成绩的众数、中位数；
(2)用分层抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率．
解 (1)由频率分布直方图可得，1 000名党员成绩的众数为eq \f(84＋88,2)＝86(分)，
成绩在[72,84)的频率为
(0.02＋0.03＋0.037 5)×4＝0.35，
成绩在[72,88)的频率为
(0.02＋0.03＋0.037 5＋0.075)×4＝0.65，
故中位数位于[84,88)之间，
中位数是84＋4×eq \f(0.5－0.35,0.65－0.35)＝86(分)．
(2)∵[72,76)与[76,80)的党员人数的比值为2∶3，
采用分层抽样方法抽取5人，则在[72,76)中抽取2人，[76,80)中抽3人，
设[72,76)抽取人的编号为A1，A2，[76,80)抽取人的编号为B1，B2，B3，
则从5人中任选2人进行问卷调查对应的基本事件为(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A1，A2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10种，
这2人中至少有1人成绩低于76分的有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A1，A2)，共7种等可能情况，故这2人中至少有1人成绩低于76分的概率P＝eq \f(7,10).
11．著名的“3N＋1猜想”是指对于每一个正整数n，若n是偶数，则让它变成eq \f(n,2)；若n是奇数，则让它变成3n＋1.如此循环，最终都会变成1.若数字5,6,7,8,9按照以上猜想进行变换，则变换次数为奇数的概率为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
答案 C
解析 依题意知，5→16→8→4→2→1，共进行5次变换；6→3→10→5→…，共进行8次变换；7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→…，共进行16次变换；由以上可知，8变换共需要3次；9→28→14→7→…，共进行19次变换．故变换次数为奇数的概率为eq \f(3,5).
12.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
A.eq \f(3,16) B.eq \f(3,8) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,8)
答案 A
解析 设AB＝2，则BC＝CD＝DE＝EF＝1，
∴S△BCI＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,4)，
S▱EFGH＝2S△BCI＝2×eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)，
∴P＝eq \f(\f(1,4)＋\f(1,2),2×2)＝eq \f(3,16).
13．将一个骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝eq \f(137,144)的内部，则实数m的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,18)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(7,18)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,18)，\f(5,18))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,18)，\f(7,18)))
答案 D
解析 对于a与b各有6种情形，故总数为36种．
两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4或a＝3，b＝6，
所以P1＝eq \f(2,36)＝eq \f(1,18)；
两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2相交的情形除平行与重合(a＝1，b＝2)即可，
所以P2＝eq \f(33,36)＝eq \f(11,12)，
因为点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝eq \f(137,144)的内部，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,18)－m))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,12)))2解得－eq \f(5,18)14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正十边形A1A2A3…A10的中心，A1在x轴正半轴上，任取不同的两点Ai，Aj(其中1≤i≤10,1≤j≤10，且i∈N，j∈N)，点P满足2eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OAi,\s\up6(—→))＋eq \(OAj,\s\up6(—→))＝0，则点P落在第二象限的概率是( )
A.eq \f(7,45) B.eq \f(8,45) C.eq \f(1,5) D.eq \f(2,9)
答案 B
解析 在正十边形A1A2A3…A10的十个顶点中任取两个，不同的取法有45种，满足2eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OAi,\s\up6(—→))＋eq \(OAj,\s\up6(—→))＝0，且点P落在第二象限的不同取法有(A1，A7)，(A1，A8)，(A1，A9)，(A1，A10)，(A2，A8)，(A2，A9)，(A8，A10)，(A9，A10)，共8种，所以点P落在第二象限的概率为eq \f(8,45).
15．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验和查理斯试验，受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值．先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数x，y组成实数对(x，y)；若将(x，y)看作一个点，再统计点(x，y)在圆x2＋y2＝1外的个数m；最后根据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m＝52，那么可以估计π的近似值为________．(用分数表示)
答案 eq \f(47,15)
解析 由题意，都小于1的正实数组成的实数对(x，y)，对应的点构成的区域的面积为1，满足x2＋y2>1且x，y都小于1的正实数组成的正实数对对应的点构成的区域的面积为1－eq \f(π,4)，因为点(x，y)在圆x2＋y2＝1外的个数m＝52，
所以eq \f(52,240)＝1－eq \f(π,4)，所以π＝eq \f(47,15).
16.小波以游戏的方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．
(1)写出数量积X的所有可能取值；
(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．
解 (1)X的所有可能取值为－2，－1,0,1.
(2)数量积为－2的有eq \(OA2,\s\up6(—→))·eq \(OA5,\s\up6(—→))，共1种；
数量积为－1的有eq \(OA1,\s\up6(—→))·eq \(OA5,\s\up6(—→))，eq \(OA1,\s\up6(—→))·eq \(OA6,\s\up6(—→))，eq \(OA2,\s\up6(—→))·eq \(OA4,\s\up6(—→))，eq \(OA2,\s\up6(—→))·eq \(OA6,\s\up6(—→))，eq \(OA3,\s\up6(—→))·eq \(OA4,\s\up6(—→))，eq \(OA3,\s\up6(—→))·eq \(OA5,\s\up6(—→))，共6种；
数量积为0的有eq \(OA1,\s\up6(—→))·eq \(OA3,\s\up6(—→))，eq \(OA1,\s\up6(—→))·eq \(OA4,\s\up6(—→))，eq \(OA3,\s\up6(—→))·eq \(OA6,\s\up6(—→))，eq \(OA4,\s\up6(—→))·eq \(OA6,\s\up6(—→))，共4种；
数量积为1的有eq \(OA1,\s\up6(—→))·eq \(OA2,\s\up6(—→))，eq \(OA2,\s\up6(—→))·eq \(OA3,\s\up6(—→))，eq \(OA4,\s\up6(—→))·eq \(OA5,\s\up6(—→))，eq \(OA5,\s\up6(—→))·eq \(OA6,\s\up6(—→))，共4种．
故所有可能的情况共有15种．
所以小波去下棋的概率为P1＝eq \f(7,15)；
因为去唱歌的概率为P2＝eq \f(4,15)，
所以小波不去唱歌的概率P＝1－P2＝1－eq \f(4,15)＝eq \f(11,15).名称
不同点
相同点
频率计算公式
频率计算中的m，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值
都计算了一个比值eq \f(m,n)
古典概型的概率计算公式
eq \f(m,n)是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n都不会变化
人数
0
1
2
3
4
大于等于5
概率
0.1
0.16
0.3
0.2
0.2
0.04
员工
项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
无疲乏症状
有疲乏症状
总计
未使用新药
150
25
t
使用新药
x
y
100
总计
225
m
275
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
知识梳理
1．古典概型
(1)古典概型的特征：
①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
(2)古典概型的概率计算的基本步骤：
①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；
②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件的个数m；
③利用古典概型的概率公式P(A)＝eq \f(m,n)，求出事件A的概率．
(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同
2．几何概型
(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
(2)几何概型的基本特点：
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
②每个基本事件出现的可能性相等．
(3)计算公式：P(A)＝eq \f(构成事件A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积).
3．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率：P(A)＝1.
(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.
(4)概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．
常用结论
若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．( √ )
(2)在一个正方形区域内任取一点的概率为0.( √ )
(3)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( × )
(4)两个互斥事件的概率和为1.( × )
教材改编题
1．袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(3,5)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,6)
答案 B
2．在数轴的[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D．1
答案 B
解析 坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为eq \f(1,3).
3．抛掷一枚骰子，记A为事件“出现点数是奇数”，B为事件“出现点数是3的倍数”，则P(A∪B)＝______，P(A∩B)＝______.
答案 eq \f(2,3) eq \f(1,6)
解析 抛掷一枚骰子，所有基本事件是1,2,3,4，5,6，
事件A∪B包括出现的点数是1,3,5,6这4个基本事件，故P(A∪B)＝eq \f(2,3)；
事件A∩B包括出现的点数是3这1个基本事件，故P(A∩B)＝eq \f(1,6).
题型一 古典概型
例1 (1)(2022·昆明模拟)2021年，云南省人民政府发布《关于命名“云南省美丽县城”“云南省特色小镇”的通知》，命名16个“云南省美丽县城”和6个“云南省特色小镇”，其中这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇．某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选两个去旅游，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,5) D.eq \f(1,6)
答案 A
解析 6个云南省特色小镇分别为a，b，c，d，e，f，其中a为安宁温泉小镇，则从6个云南特色小镇中任意选两个的基本事件有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)共15个，其中一个是安宁温泉小镇有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)共5个，所以要求的概率为P＝eq \f(5,15)＝eq \f(1,3).
(2)(2021·全国甲卷)将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
答案 C
解析 把3个1和2个0排成一行，共有10种排法，分别是00111,10011,11001,11100,01011,
01101,01110,10101,10110,11010，其中2个0不相邻的排法有6种，分别是01011,01101,01110,
10101,10110,11010，所以所求概率P＝eq \f(6,10)＝0.6.
教师备选
1．甲、乙、丙三位客人在参加中国科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点参观的概率为( )
A.eq \f(1,8) B.eq \f(1,4) C.eq \f(3,8) D.eq \f(1,2)
答案 B
解析 因为三人去2个景点参观，每人只选择其中一个景点，所以每个人都有2种选法，共有23＝8(种)可能结果，其中三人恰好到同一景点有2种可能结果，所以三人恰好到同一景点参观的概率P＝eq \f(2,8)＝eq \f(1,4).
2．某学校积极开展“服务社会，提升自我”的志愿者服务活动，九年级的五名同学(三男两女)成立了“交通秩序维护”小分队．若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是________．
答案 eq \f(3,5)
解析 三名男生分别记为1,2,3，两名女生分别记为4,5，则从该小分队中任选两名同学的所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个．设“恰是一男一女”为事件A，则A包含的基本事件为(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，共6个．故所求的概率为P(A)＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5).
思维升华 利用公式法求解古典概型问题的步骤
跟踪训练1 (1)(2022·深圳模拟)五一国际劳动节放假期间，甲、乙两名同学计划在5月1日到5月3日期间去敬老院做志愿者，若甲同学在三天中随机选一天，乙同学在前两天中随机选一天，且两名同学的选择互不影响，则他们在同一天去的概率为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
答案 B
解析 甲同学在三天中随机选一天共有3种方法，乙同学在前两天中随机选一天共有2种方法，所以一共有6种方法，他们在同一天去共有2种情况，所以他们在同一天去的概率为eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).
(2)(2022·郑州模拟)皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学作出了重大贡献，其中在1636年发现了：若p是质数，且a，p互质，那么a的(p－1)次方除以p的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理．依此定理，若在数集{2,3,5,6,8}中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，则所取两个数符合费马小定理的概率为( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(9,20) C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,2)
答案 B
解析 在数集{2,3,5,6,8}中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，基本事件总数为20，所取两个数(p，a)符合费马小定理包含的基本事件有(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,5)，(3,8)，(5,2)，(5,3)，(5,6)，(5,8)，共9个，∴所取两个数符合费马小定理的概率为P＝eq \f(9,20).
题型二 几何概型
例2 (1)在区间[－1,1]上随机取一个数k，使直线y＝k(x＋3)与圆x2＋y2＝1相交的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(\r(2),4) D.eq \f(\r(2),3)
答案 C
解析 因为圆心(0,0)，半径r＝1，直线与圆相交，
所以圆心到直线的距离d＝eq \f(|3k|,\r(1＋k2))<1，
解得－eq \f(\r(2),4)
(2)刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的文化遗产，他提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是( )
A.eq \f(3\r(3),4π) B.eq \f(3\r(3),2π) C.eq \f(1,2π) D.eq \f(1,4π)
答案 B
解析 如图所示，设圆的半径为R，则圆的面积为πR2，圆内接正六边形的边长为R，面积为6×eq \f(1,2)×R2×sin eq \f(π,3)＝eq \f(3\r(3)R2,2)，则所求的概率P＝eq \f(\f(3\r(3)R2,2),πR2)＝eq \f(3\r(3),2π).
教师备选
1．已知函数f(x)＝sin x＋eq \r(3)cs x，当x∈[0，π]时，f(x)≥1的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,5) D.eq \f(1,2)
答案 D
解析 由f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))≥1，x∈[0，π]，
得x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴所求概率P＝eq \f(\f(π,2),π)＝eq \f(1,2).
2.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A－A1BD内的概率为________．
答案 eq \f(1,6)
解析 设事件M为“动点在三棱锥A－A1BD内”，则
P(M)＝
＝＝eq \f(\f(1,3)AA1·\f(1,2)S矩形ABCD,AA1·S矩形ABCD)＝eq \f(1,6).
思维升华 (1)求解几何概型概率的步骤
(2)与体积有关的几何概型的解题策略
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解．
跟踪训练2 (1)(2021·全国乙卷)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取一个数，则两数之和大于eq \f(7,4)的概率为( )
A.eq \f(7,9) B.eq \f(23,32) C.eq \f(9,32) D.eq \f(2,9)
答案 B
解析 在区间(0,1)中随机取一个数，记为x，在区间(1,2)中随机取一个数，记为y，两数之和大于eq \f(7,4)，即x＋y>eq \f(7,4)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0
在如图所示的平面直角坐标系中，点(x，y)构成的区域是边长为1的正方形区域(不含边界)，事件A“两数之和大于eq \f(7,4)”即x＋y>eq \f(7,4)中，点(x，y)构成的区域为图中阴影部分(不含边界)，由几何概型计算公式得P(A)＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2×\f(1,2),1×1)＝eq \f(23,32).
(2)阳马是中国古代算术中的一种几何形体，是底面为长方形，且两个三角形侧面与底面垂直的四棱锥．在阳马P－ABCD中，PC为阳马P－ABCD中最长的棱，AB＝1，AD＝2，PC＝3.若在阳马P－ABCD的外接球内部随机取一点，则该点位于阳马内的概率为( )
A.eq \f(1,27π) B.eq \f(4,27π) C.eq \f(8,27π) D.eq \f(4,9π)
答案 C
解析 根据题意，得PA⊥平面ABCD，PC的长等于阳马P－ABCD外接球的直径．
∵PC＝eq \r(PA2＋AB2＋AD2)，
∴PA＝2.
∴VP－ABCD＝eq \f(1,3)×1×2×2＝eq \f(4,3).
又V球＝eq \f(4,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))3＝eq \f(9π,2)，
∴该点位于阳马内的概率P＝eq \f(\f(4,3),\f(9π,2))＝eq \f(8,27π).
题型三 概率的基本性质
例3 某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示．
(1)求派出医生至多2个的概率；
(2)求派出医生至少2个的概率．
解 设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.
(1)“派出医生至多2个”的概率为
P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)方法一 “派出医生至少2人”的概率为
P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.
方法二 “派出医生至少2个”的概率为
1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74.
教师备选
1．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(5,6) D．1
答案 B
解析 方法一 A包含向上点数是1,3,5的情况，B包含向上的点数是1,2,3的情况，
所以A∪B包含了向上点数是1,2,3,5的情况，
故P(A∪B)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).
方法二 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(2,6)＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
2．已知甲袋中有1个红球和1个黄球，乙袋中有2个红球和1个黄球，现从两袋中各随机选取一个球，则取出的两球中至少有1个红球的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(5,6)
答案 D
解析 从两袋中各随机选取一个球，基本事件总数为6，取出的两球中至少有1个红球的对立事件是取出的两球都是黄球，所以利用对立事件概率计算公式得，取出两球中至少有1个红球的概率P＝1－eq \f(1,6)＝eq \f(5,6).
思维升华 求复杂互斥事件的概率的两种方法
(1)直接法
(2)间接法(正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解简单)．
跟踪训练3 (1)设条件甲：“事件A与B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.投掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，则P(A)＝eq \f(7,8)，P(B)＝eq \f(1,8)，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件．故甲是乙的充分不必要条件．
(2)向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一军火库的概率为0.025，炸中第二、三军火库的概率均为0.1，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，则军火库爆炸的概率为________．
答案 0.225
解析 设A，B，C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D表示军火库爆炸，则P(A)＝0.025，P(B)＝0.1，P(C)＝0.1，其中A，B，C互斥，故P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.
题型四 概率与统计的综合问题
例4 饮用水水源的安全是保障饮用水安全的基础．同时国家提倡节约用水，全民积极维护饮用水水源安全，保障安全饮水.2021年5月13日下午，正在河南省南阳市考察调研的习近平总书记来到淅川县，先后考察了陶岔渠首枢纽工程、丹江口水库，听取南水北调中线工程建设管理运行和水源地生态保护等情况介绍．为了提高节约用水意识，为此，某校开展了“节约用水，从我做起”活动，从参赛的学生中随机选取100人的成绩作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校此次参赛学生成绩的平均分eq \x\t(x)(同一组数据用该组区间的中点值代表)；
(2)在该样本中，若采用分层抽样方法，从成绩低于65分的学生中随机抽取6人调查他们的答题情况，再从这6人中随机抽取3人进行深入调研，求这3人中至少有1人的成绩低于55分的概率．
解 (1)根据频率分布直方图得到
(0.005＋0.025×2＋0.01＋a)×10＝1，
解得a＝0.035.
这组样本数据的平均数为50×0.05＋60×0.25＋70×0.35＋80×0.25＋90×0.1＝71，
所以eq \x\t(x)＝71.
(2)根据频率分布直方图得到，成绩在[45,55)，[55,65)内的频率分别为0.05,0.25，所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的6人，
成绩在[45,55)内的有1人，记为X，
成绩在[55,65)内的有5人，分别记为a，b，c，d，e，
从这6人中随机抽取3人，所有可能的结果为Xab，Xac，Xad，Xae，Xbc，Xbd，Xbe，Xcd，Xce，Xde，abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde，共20种．
这3人中至少有1人的成绩在[45,55)内的有Xab，Xac，Xad，Xae，Xbc，Xbd，Xbe，Xcd，Xce，Xde，共10种．所以这3人中至少有1人的成绩低于55分的概率为eq \f(10,20)＝eq \f(1,2).
教师备选
(2019·天津)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．
解 (1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，
因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人．
(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个．
②由表格知，符合题意的有(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共11个．所以事件M发生的概率P(M)＝eq \f(11,15).
思维升华 求解古典概型的交汇问题的步骤
(1)将题目条件中的相关知识转化为事件；
(2)判断事件是否为古典概型；
(3)选用合适的方法确定基本事件个数；
(4)代入古典概型的概率公式求解．
跟踪训练4 为了了解某种新型药物对治疗某种疾病的疗效，某机构日前联合医院，进行了小规模的调查，结果显示，相当多的受访者担心使用新药后会有副作用．为了了解使用该种新型药品后是否会引起疲乏症状，该机构随机抽取了某地患有这种疾病的275人进行调查，得到统计数据如表：
(1)求2×2列联表中的数据x，y，m，t的值，能否有95%的把握认为有疲乏症状与使用该新药有关；
(2)从使用该新药的100人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出4人，再从这4人中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中恰有1人有疲乏症状的概率．
附：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.
解 (1)由数表知，x＝225－150＝75，y＝100－75＝25，m＝275－225＝50，t＝150＋25＝175，
所以x＝75，y＝25，m＝50，t＝175，
根据列联表中的数据，经计算得到
K2＝eq \f(275×150×25－75×252,225×50×175×100)＝eq \f(275,56)
≈4.911>3.841，
所以有95%的把握认为有疲乏症状与使用该新药有关．
(2)从使用新药的100人中用分层抽样抽取4人的抽样比为eq \f(4,100)＝eq \f(1,25)，则抽取有疲乏症状的人数为eq \f(1,25)×25＝1，无疲乏症状的有3人，
抽取的有疲乏症状的1人记为1，无疲乏症状的3人记为a，b，c，从4人中随机抽取2人的所有可能结果为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共6个，它们等可能，
记2人中恰有1人有疲乏症状的事件为M，它所含基本事件是(1，a)，(1，b)，(1，c)，共3个，
于是得P(M)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，
所以这2人中恰有1人有疲乏症状的概率是eq \f(1,2).
课时精练
1．(2021·全国乙卷)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))随机取一个数，则取到的数小于eq \f(1,3)的概率为( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,6)
答案 B
解析 因为区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))的长度为eq \f(1,2)，区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))的长度为eq \f(1,3)，所以在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))随机取一个数，则取到的数小于eq \f(1,3)的概率P＝eq \f(1,3)÷eq \f(1,2)＝eq \f(2,3).
2．(2022·太原模拟)从1,2,3,4,5这5个数中随机抽取2个数，分别记为m，n，则eq \f(m,n)为整数的概率为( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,5) D.eq \f(4,25)
答案 B
解析 由题意得，从1,2,3,4,5这5个数中随机抽取2个数，则共有
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)，20种等可能情况，其中eq \f(m,n)为整数的有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(4,2)，5种情况，所以所求概率为eq \f(5,20)＝eq \f(1,4).
3．新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率为( )
A.eq \f(1,36) B.eq \f(1,16) C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,6)
答案 D
解析 由题意，从政治、地理、化学、生物中四选二，共有6种方法，所以他们选课相同的概率为eq \f(1,6).
4．(2022·黄山质检)从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(2，－1)垂直的概率为( )
A.eq \f(1,9) B.eq \f(2,9) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
答案 B
解析 从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b，可以组成向量m＝(a，b)的个数是9个，其中与向量n＝(2，－1)垂直的向量是m＝(1,2)和m＝(2,4)，共2个，故所求的概率为P＝eq \f(2,9).
5．(2022·莆田质检)甲、乙两位同学到莆田市湄洲岛当志愿者，他们同时从“妈祖祖庙”站上车，乘坐开往“黄金沙滩”站方向的3路公交车(线路图如下)．甲将在“供水公司”站之前的任意一站下车，乙将在“鹅尾神化石”站之前的任意一站下车．假设每人自“管委会”站开始在每一站点下车是等可能的，则甲比乙后下车的概率为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(1,4) C.eq \f(7,30) D.eq \f(3,20)
答案 C
解析 甲从“管委会”站到“北埭”站的每一站下车都可以，有8种情况，
乙从“管委会”站到“东至”站的每一站下车都可以，有15种情况，
若乙在“管委会”站下车，则甲有7种情况，
若乙在“地税分局”站下车，则甲有6种情况，
若乙在“兴海路”站下车，则甲有5种情况，
若乙在“闽台风情街”站下车，则甲有4种情况，
若乙在“莲池小学”站下车，则甲有3种情况，
若乙在“金沙滩”站下车，则甲有2种情况，
若乙在“莲池沙滩”站下车，则甲有1种情况，
因此，甲比乙后下车的概率为
P＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7,8×15)＝eq \f(4×7,8×15)＝eq \f(7,30).
6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )
A.eq \f(3π,10) B.eq \f(3π,20)
C．1－eq \f(3π,10) D．1－eq \f(3π,20)
答案 D
解析 直角三角形的斜边长为eq \r(82＋152)＝17，
设内切圆的半径为r，则8－r＋15－r＝17，解得r＝3.
∴内切圆的面积为πr2＝9π，
∴豆子落在内切圆外的概率P＝1－eq \f(9π,\f(1,2)×8×15)＝1－eq \f(3π,20).
7．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03，则抽检一件是甲级品的概率为________．
答案 0.92
解析 记抽捡的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，且事件A和事件B∪C是对立事件，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝0.92.
8．已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是______．
答案 eq \f(2,5)
解析 若函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数，
则a2－2<0，又a∈{－2,0,1,2,3}，
故只有a＝0，a＝1满足题意，所以函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是eq \f(2,5).
9．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．
(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；
(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．
解 (1)所有可能的摸出结果是(A1，a1)，(A1，a2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a1)，(A2，a2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(B，a1)，(B，a2)，(B，b1)，(B，b2)．
(2)不正确．理由如下：
由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为(A1，a1)，(A1，a2)，(A2，a1)，(A2，a2)，共4种，所以中奖的概率为eq \f(4,12)＝eq \f(1,3)，不中奖的概率为1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)>eq \f(1,3)，故这种说法不正确．
10．2021年是中国共产党建党100周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史、悟思想、办实事、开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加的“学党史”知识竞赛．竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分．现随机抽取1 000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组：[72,76)，[76,80)，[80,84)，[84,88)，[88,92)，[92,96)，[96,100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求这1 000名党员成绩的众数、中位数；
(2)用分层抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率．
解 (1)由频率分布直方图可得，1 000名党员成绩的众数为eq \f(84＋88,2)＝86(分)，
成绩在[72,84)的频率为
(0.02＋0.03＋0.037 5)×4＝0.35，
成绩在[72,88)的频率为
(0.02＋0.03＋0.037 5＋0.075)×4＝0.65，
故中位数位于[84,88)之间，
中位数是84＋4×eq \f(0.5－0.35,0.65－0.35)＝86(分)．
(2)∵[72,76)与[76,80)的党员人数的比值为2∶3，
采用分层抽样方法抽取5人，则在[72,76)中抽取2人，[76,80)中抽3人，
设[72,76)抽取人的编号为A1，A2，[76,80)抽取人的编号为B1，B2，B3，
则从5人中任选2人进行问卷调查对应的基本事件为(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A1，A2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10种，
这2人中至少有1人成绩低于76分的有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A1，A2)，共7种等可能情况，故这2人中至少有1人成绩低于76分的概率P＝eq \f(7,10).
11．著名的“3N＋1猜想”是指对于每一个正整数n，若n是偶数，则让它变成eq \f(n,2)；若n是奇数，则让它变成3n＋1.如此循环，最终都会变成1.若数字5,6,7,8,9按照以上猜想进行变换，则变换次数为奇数的概率为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
答案 C
解析 依题意知，5→16→8→4→2→1，共进行5次变换；6→3→10→5→…，共进行8次变换；7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→…，共进行16次变换；由以上可知，8变换共需要3次；9→28→14→7→…，共进行19次变换．故变换次数为奇数的概率为eq \f(3,5).
12.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
A.eq \f(3,16) B.eq \f(3,8) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,8)
答案 A
解析 设AB＝2，则BC＝CD＝DE＝EF＝1，
∴S△BCI＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,4)，
S▱EFGH＝2S△BCI＝2×eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)，
∴P＝eq \f(\f(1,4)＋\f(1,2),2×2)＝eq \f(3,16).
13．将一个骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝eq \f(137,144)的内部，则实数m的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,18)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(7,18)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,18)，\f(5,18))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,18)，\f(7,18)))
答案 D
解析 对于a与b各有6种情形，故总数为36种．
两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4或a＝3，b＝6，
所以P1＝eq \f(2,36)＝eq \f(1,18)；
两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2相交的情形除平行与重合(a＝1，b＝2)即可，
所以P2＝eq \f(33,36)＝eq \f(11,12)，
因为点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝eq \f(137,144)的内部，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,18)－m))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,12)))2
A.eq \f(7,45) B.eq \f(8,45) C.eq \f(1,5) D.eq \f(2,9)
答案 B
解析 在正十边形A1A2A3…A10的十个顶点中任取两个，不同的取法有45种，满足2eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OAi,\s\up6(—→))＋eq \(OAj,\s\up6(—→))＝0，且点P落在第二象限的不同取法有(A1，A7)，(A1，A8)，(A1，A9)，(A1，A10)，(A2，A8)，(A2，A9)，(A8，A10)，(A9，A10)，共8种，所以点P落在第二象限的概率为eq \f(8,45).
15．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验和查理斯试验，受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值．先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数x，y组成实数对(x，y)；若将(x，y)看作一个点，再统计点(x，y)在圆x2＋y2＝1外的个数m；最后根据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m＝52，那么可以估计π的近似值为________．(用分数表示)
答案 eq \f(47,15)
解析 由题意，都小于1的正实数组成的实数对(x，y)，对应的点构成的区域的面积为1，满足x2＋y2>1且x，y都小于1的正实数组成的正实数对对应的点构成的区域的面积为1－eq \f(π,4)，因为点(x，y)在圆x2＋y2＝1外的个数m＝52，
所以eq \f(52,240)＝1－eq \f(π,4)，所以π＝eq \f(47,15).
16.小波以游戏的方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．
(1)写出数量积X的所有可能取值；
(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．
解 (1)X的所有可能取值为－2，－1,0,1.
(2)数量积为－2的有eq \(OA2,\s\up6(—→))·eq \(OA5,\s\up6(—→))，共1种；
数量积为－1的有eq \(OA1,\s\up6(—→))·eq \(OA5,\s\up6(—→))，eq \(OA1,\s\up6(—→))·eq \(OA6,\s\up6(—→))，eq \(OA2,\s\up6(—→))·eq \(OA4,\s\up6(—→))，eq \(OA2,\s\up6(—→))·eq \(OA6,\s\up6(—→))，eq \(OA3,\s\up6(—→))·eq \(OA4,\s\up6(—→))，eq \(OA3,\s\up6(—→))·eq \(OA5,\s\up6(—→))，共6种；
数量积为0的有eq \(OA1,\s\up6(—→))·eq \(OA3,\s\up6(—→))，eq \(OA1,\s\up6(—→))·eq \(OA4,\s\up6(—→))，eq \(OA3,\s\up6(—→))·eq \(OA6,\s\up6(—→))，eq \(OA4,\s\up6(—→))·eq \(OA6,\s\up6(—→))，共4种；
数量积为1的有eq \(OA1,\s\up6(—→))·eq \(OA2,\s\up6(—→))，eq \(OA2,\s\up6(—→))·eq \(OA3,\s\up6(—→))，eq \(OA4,\s\up6(—→))·eq \(OA5,\s\up6(—→))，eq \(OA5,\s\up6(—→))·eq \(OA6,\s\up6(—→))，共4种．
故所有可能的情况共有15种．
所以小波去下棋的概率为P1＝eq \f(7,15)；
因为去唱歌的概率为P2＝eq \f(4,15)，
所以小波不去唱歌的概率P＝1－P2＝1－eq \f(4,15)＝eq \f(11,15).名称
不同点
相同点
频率计算公式
频率计算中的m，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值
都计算了一个比值eq \f(m,n)
古典概型的概率计算公式
eq \f(m,n)是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n都不会变化
人数
0
1
2
3
4
大于等于5
概率
0.1
0.16
0.3
0.2
0.2
0.04
员工
项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
无疲乏症状
有疲乏症状
总计
未使用新药
150
25
t
使用新药
x
y
100
总计
225
m
275
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
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