重难点07 五种数列求和方法（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）

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重难点07五种数列求和方法（核心考点讲与练）
能力拓展

题型一：等差等比公式法
一、单选题
1．（2022·山西·模拟预测（理））已知等比数列的首项为1，若成等差数列，则的前6项的和为（       ）
A．31 B． C． D．63
【答案】C
【分析】设数列的公比为，根据题意求出公比，再根据等比数列前项和的公式即可得解.
【详解】解：设数列的公比为，
因为成等差数列，
所以，得，
即，解得，
故前6项的和为.
故选：C.
2．（2022·福建泉州·模拟预测）记等比数列{}的前n项和为.若，则=（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据条件得到，，从而求出公比，利用求和公式求出答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以公比，
所以
故选：C
3．（2022·山东菏泽·二模）已知数列中，，且对任意的m，，都有，则下列选项正确的是（       ）
A．的值随n的变化而变化 B．
C．若，则 D．为递增数列
【答案】D
【分析】令，得，故A不正确；再根据等差数列的通项公式和求和公式可判断BCD.
【详解】因为对任意的m，，都有，
所以令，得，故A不正确；
所以，
所以，所以B不正确；
若，则，故C不正确；
，所以为递增数列，故D正确.
故选：D.
4．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前n项和分别为，，如果关于x的实系数方程有实数解，那么以下2021个方程中，无实数解的方程最多有（       ）
A．1008个 B．1009个 C．1010个 D．1011个
【答案】C
【分析】设出两个等差数列的公差，由等差数列的性质得到，要想无实根，要满足
，结合根的判别式与基本不等式得到和至多一个成立，同理可证：和至多一个成立，……，和至多一个成立，且，从而得到结论..
【详解】由题意得：，
其中，，
代入上式得：，
要想方程无实数解，则，
显然第1011个方程有解，
设方程与方程的判别式分别为和，
则
，
等号成立的条件是a1=a2021.
所以和至多一个成立，同理可证：和至多一个成立，
……，和至多一个成立，且，
综上，在所给的2021个方程中，无实数根的方程最多1010个
故选：C
【点睛】对于数列综合题目，要综合所学，将不熟悉的问题转化为我们熟练的知识点进行解决，比如本题中要结合根的判别式，以及等差数列的性质，以及基本不等式进行求解，属于难题.
二、多选题
5．（2022·山东枣庄·三模）给出构造数列的一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现自1，1起进行构造，第1次得到数列1，2，1，第2次得到数列1，3，2，3，1，…，第次得到数列，记，数列的前n项和为，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】通过计算求出的值，运用归纳法得到之间的关系，最后根据等比数列的定义和前n项和公式进行求解判断即可.
【详解】由题意得：，
所以有，因此选项AB不正确；
，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，因此有，因此选项C正确；
，所以选项D正确，
故选：CD
【点睛】关键点睛：通过计算得到是解题的关键.
三、填空题
6．（2022·河南·模拟预测（文））设数列的前n项和为，已知，，则等于___________.
【答案】
【分析】根据数列通项公式的特征，采用分组求和方法即可求其前2n项的和．
【详解】∵，
∴的奇数项是以为首项，为公比的等比数列，
偶数项是以为首项，1为公差的等差数列，
∴


=．
故答案为：．
7．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）记为等差数列的前项和，若，，则=_______．
【答案】
【分析】先由求出首项和公差的关系，再由求和公式求比值即可.
【详解】是等差数列，设公差为，
又，，，
.
故答案为：.
8．（2022·陕西·模拟预测（理））已知等差数列公差，其前n项和为，若记数据的方差为，数据的方差为，则___________.
【答案】
【分析】先由题设得到与的关系式，再利用具有线性关系的变量之间的方差公式求得结果即可．
【详解】解：由题设可得：，
又数据，，，的方差为，数据，，，，的方差为，
即，，，，的方差为，
所以，
，
故答案为：4．
9．（2022·河北保定·二模）现有10个圆的圆心都在同一条直线上，从左到右它们的半径依次构成首项为1，公比为2的等比数列，从第2个圆开始，每个圆都与前一个圆外切，前3个圆如图所示，若P，Q分别为第1个圆与第10个圆上任意一点，则的最大值为___________.（用数字作答）

【答案】2046
【分析】由题意可知，的最大值为这10个圆的直径之和，然后利用等比数列求和公式可求得结果
【详解】由题意可知，的最大值为这10个圆的直径之和，
由等比数列前项和公式可得，的最大值为.
故答案为：2046
10．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知数列的通项公式则的前项和_____．
【答案】241
【分析】讨论、对应的通项可得，结合等差数列前n项和公式求值即可.
【详解】当且时，
当且时，，
所以
.
故答案为：241
四、解答题
11．（2022·福建厦门·模拟预测）已知数列的前项和为，满足，，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)记，设，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）当时可求得；当时，由与关系可得，验证知，由此可证得结论；
（2）由等比数列通项公式可推导得到；当为奇数时，由知；当为偶数时，令，可知递增，得到，知；采用分组求和的方式对奇数项和偶数项分别求和，结合等比和等差数列求和公式可求得结果.
(1)当时，，解得：；
当时，由得：，
两式作差得：，即；
经检验：，满足；
数列是以为首项，为公比的等比数列.
(2)由（1）得：，；
则当为奇数时，，，；
当为偶数时，；
令，则，
，即，；
.
12．（2022·河北·模拟预测）已知数列满足.
(1)证明：是等比数列；
(2)求的值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）直接由得，又，即可证明是等比数列；
（2）先由等比数列通项公式求出，进而求得，按照分组求和和等比数列求和公式即可求解.
(1)由可得，故，
又，故是以1为首项，2为公比的等比数列；
(2)由（1）知：，则，故，
则

.
13．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）“学习强国”学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”“双人对战”和“挑战答题”.在一天内参与“四人赛”活动，每局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分，每局比赛相互独立. 在一天内参与“双人对战”活动，每局比赛有积分，获胜者得2分，失败者得1分，每局比赛相互独立. 已知甲参加“四人赛”活动，每局比赛获得第一名、第二名的概率均为，获得第四名的概率为；甲参加“双人对战”活动，每局比赛获胜的概率为.
(1)记甲在一天中参加“四人赛”和“双人对战”两项活动（两项活动均只参加一局）的总得分为 ，求的分布列与数学期望；
(2)“挑战答题”比赛规则如下：每位参赛者每次连续回答5道题，在答对的情况下可以持续答题，若第一次答错时，答题结束，积分为0分，只有全部答对5道题可以获得5个积分.某市某部门为了吸引更多职工参与答题，设置了一个“得积分进阶”活动，从1阶到
阶，规定每轮答题获得5个积分进2阶，没有获得积分进1阶，按照获得的阶级给予相应的奖品，记乙每次获得5个积分的概率互不影响，均为，记乙进到阶的概率为，求.
【答案】(1)分布列见解析，(2)
【分析】(1)根据题意列出X所有可能取值，针对每一取值做具体分析，写出分布列；
(2)根据题意找出 ， ， 之间的关系，求数列通项即可.
(1)甲参加“四人赛”时，每局比赛获得第三名的概率为，
依题意，所有可能的取值为   
，

     

所以 的分布列如表所示











所以 ；
(2)依题意， ， ，
“进到阶”的情况包括：第一种情况是进到阶后下一轮未获得5个积分，其概率为；第二种情况是进到阶后下一轮获得5个积分，其概率为，两种情况互斥，所以 ，
则
所以
又 ，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，
故


即 ；
综上，为E(X)= ，.
14．（2022·辽宁·东北育才学校二模）已知等比数列和递增的等差数列满足，，，.
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)数列和数列中的所有项分别构成集合和，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列前63项和.
【答案】(1)(2)6043
【分析】（1）根据等差等比数列的基本量列方程求解即可.（2）将的前63项中含数列中的前5项和前4项两种情况得的范围，在结合等差数列和等比数列求和公式即可求解.
(1)设等比数列和递增的等差数列的公比和公差分别为:，故由，，，可得:解得
故
(2)当数列前63项中含有数列中4项时，令，此时最多23+3=26项，不符合题意
当数列前63项中含有数列中5项时，令，且是和的公共项，则前63项中含有数列中的前5项和的前60，再减去公共的两项，故
15．（2022·山东菏泽·二模）已知数列中，它的前n项和满足．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据已知等式构造一个等式,两式相减，得，再变为即可得解；
（2）利用分组求和法和等比数列的求和公式可求出结果.
(1)由①，得②，
由①－②，得，
得，
又当时，由①得，
所以对任意的，都有，
故是以为首项，为公比的等比数列．
(2)由（1）知，
所以，代入①，得，
所以
．
题型二：裂项相消法
一、单选题
1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知等差数列的前n项和为，，.若对任意且，总有恒成立，则实数的最小值为（       ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的通项公式及前n项和公式，再利用裂项相消法求数列的和，再结合不等式恒成立即可求解.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，则
由，得，解得，
又，得，解得.
所以，
因为对任意且，总有恒成立，
等价于，且即可.
当时，
所以

.
当时，，
所以，即.
所以实数的最小值为.
故选：B.
二、多选题

2．（2022·山东·济南一中高三阶段练习）如图所示，这是小朋友们喜欢玩的彩虹塔叠叠乐玩具，某数学兴趣小组利用该玩具制定如下玩法：在2号杆中自下而上串有由大到小的个彩虹圈，将2号杆中的彩虹圈全部移动到1号杆上，3号杆可以作为过渡使用；每次只能移动一个彩虹圈，且无论在哪个杆上，小的彩虹圈必须放置在大的上方；将一个彩虹圈从一个杆移动到另一杆上记为移动1次，记为2号杆中n个彩虹圈全部移动到1号杆所需要的最少移动次数，设．下面结论正确的是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】设1号杆，2号杆，3号杆为①，②，③，然后，写出，，时的彩虹圈全部移动到1号杆所需要的最少移动次数，进而可以找到规律，得到，验证，进而，可以逐个选项进行判断
【详解】设1号杆，2号杆，3号杆为①，②，③
时，2号杆1个彩虹圈全部移动到1号杆所需要的最少移动次数为，
彩虹圈移动步骤是：②①；
时，2号杆2个彩虹圈全部移动到1号杆所需要的最少移动次数为，
彩虹圈移动步骤是：②③，②①，③①；
时，2号杆3个彩虹圈全部移动到1号杆所需要的最少移动次数为，
彩虹圈移动步骤是：②①，②③，①③，②①，③②，③①，②①；
所以，A是正确的，同理，可以，找出规律，，，，，，所以，，所以，B是正确的，
又因为
，所以，C错，
因为，所以，
，
，所以，D正确
故选：ABD
3．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，，且，则（       ）
A． B．数列是等差数列
C．数列是等差数列 D．数列的前n项和为
【答案】ABD
【分析】摆动数列需要分类讨论，分别求出奇数项和偶数项的通项公式，再进行计算.
【详解】因为，，所以，，
，，故A正确；
当时，，，
两式相减得，，所以的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，
故B正确；
当时，.
当时，，，
两式相减得，，所以的偶数项是以5为首项，为公差的等差数列，
所以当时，；
∵ |，∴不是等差数列，故C错误；
因为，
所以，
设，则，
所以
，
故D正确；
故选：ABD.
三、填空题
4．（2022·湖北·蕲春县实验高级中学高二期中）高斯函数也称为取整函数，其中表示不超过x的最大整数，例如．已知数列满足，，设数列的前n项和为，则______．
【答案】2021
【分析】首先利用裂项得到再化简，利用裂项相消求和，再利用高斯函数的定义，即可求解.
【详解】因为，所以，
所以．
因为，
所以，所以，
所以，
故．
故答案为：
四、解答题
5．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知数列的前项和为，点在直线上．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求使得成立的的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）将代入直线方程，可得，利用与关系可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式推导可得；
（2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得，解不等式可求得，由此可得最大值.
(1)点在直线上，，
当时，，解得：；
当时，，，
即，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，
.
(2)由（1）得：，
，
由得：，，则，
，则，
使得成立的的最大值为.
6．（2022·江西·模拟预测（理））各项都为正数的单调递增数列{an}的前n项和为Sn，且满足（n∈N*）．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求；
(3)设 ，数列的前n项和为Pn，求使Pn＞46成立的n的最小值．
【答案】(1)an=2n(2)(3)48
【分析】（1）由（n∈N*），利用数列通项与前n项和的关系求解；
（2）由（1）得到，然后利用利用裂项相消法求解；
（3）由（1）得到，再分n为偶数和奇数求解.
(1)解：因为（n∈N*）①，
当n=1时，解得；
当n≥2时，②；
①-②得：，
整理得，
所以或，
因为数列{an}是单调递增数列，
所以舍去，
所以，
所以数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列；
所以an=2+2（n-1）=2n；
(2)由于an=2n，
所以，
故，
所以．
(3)由（1）得：，
所以当n为偶数时，；
n的最小值为48；
当n为奇数时，，
不存在最小的n值．故当n为48时，满足条件．
7．（2022·江苏盐城·三模）已知正项等比数列满足，请在①，②，③，，中选择一个填在横线上并完成下面问题：
(1)求的通项公式；
(2)设，的前和为，求证：．
【答案】(1)选择见解析；(2)证明见解析
【分析】（1）根据等比数列的定义和通项公式代入求解；
（2）利用裂项相消求和，注意．
(1)因为为正项等比数列，又，
选①，，所以；
选②，，所以；
选③，，所以，∴；
又，
∴，则．
(2)因为，
所以
．
8．（2022·江西九江·三模（文））已知数列的前项和为，且满足，．
(1)求；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）当时可求得，由与关系，结合的值可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式可求得结果；
（2）由（1）可得数列的通项公式，采用裂项相消法可求得结果.
(1)当时，，即，解得：；
当时，由得：，，
又，满足，数列是以为首项，为公比的等比数列，
.
(2)由（1）得：，
数列的前项和为：.
9．（2022·山东枣庄·三模）已知正项数列的前项和为，且、、成等比数列，其中．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由已知可得，令可求得的值，令，由可得，两式作差推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，利用等差数列的通项公式可求得的通项公式；
（2）求出，可求得，利用分组求和法结合裂项相消法可求得.
(1)解：对任意的，，由题意可得.
当时，则，解得，当时，由可得，
上述两个等式作差得，即，
因为，所以，，
所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，则.
(2)解：，
则，
因此，.
10．（2022·浙江·模拟预测）已知递增的等差数列满足：，且成等比数列．数列满足：，其中为的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前n项和，是否存在实数，使得不等式对一切恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，(2)存在，
【分析】（1）设的公差为，根据成等比数列，由求解，由，利用数列的通项与前n项和的关系求解；
得，
（2）由（1），得到，，利用裂项相消法求得，再由不等式对一切恒成立求解.
(1)解：设的公差为，
则，
所以．
当时，；
当时，由，
得，
两式相减得：，
所以是以1为首项，以为公比的等比数列，
所以
(2)，显然，
所以，
由得

，
故，
．
显然恒成立，且当时，，
所以存在唯一实数．
11．（2022·河南·高二期中（文））已知正项等比数列的公比大于1，其前n项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列，满足，，求数列的前n项和.
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）由等比数列的基本量法和前项和定义列出关于公比和首项的方程组求得和，得通项公式；
（2）求出，用裂项相消法求和．
(1)设公比为，则题意得，因为，故解得，
所以；
(2)由（1），，
所以．
12．（2022·天津和平·二模）已知数列的前n项和为满足.数列满足，且満足
(1)求数列，的通项公式；
(2)若数列满足；求
(3)，数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)，；(2)；(3)证明见解析.
【分析】（1）由与的递推关系得出为等比数列求解，由为等差数列求通项公式；
（2）分是奇数、偶数，分组求和即可得解；
（3）利用放缩法及裂项相消求和证明即可.
(1)，时，
时，，
，即，是以2为首项，2为公比的等比数列，，
由题可知，是首项为2，公差为1的等差数列，
，.
(2)，
(i) n为偶数时，


，
(ii) n为奇数时，
，

(3)，
，
(i)右式证明：，

(ii)左式证明：

综上得证.

题型三：错位相减法
一、单选题
1．（2022·江西鹰潭·二模（理））若正整数、只有为公约数，则称、互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则下列说法正确的是（        ）
A．
B．数列是等差数列
C．
D．数列的前项和为，则
【答案】D
【分析】利用题中定义可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；求出的值，结合对数的运算性质可判断C选项；计算出，利用错位相减法可求得，可判断D选项.
【详解】对于A选项，在不超过的正整数中，与互质的正整数有：、、、，故，A错；
对于B选项，因为，，，显然、、不成等差数列，B错；
对于C选项，为质数，在不超过的所有正整数中，能被整除的正整数的个数为，
所有与互质的正整数的个数为，所以，，
因此，，C错；
对于D选项，因为为质数，在不超过的正整数中，所有偶数的个数为，
所以，，所以，，
则，
所以，，
上述两个不等式作差可得，
所以，，D对.
故选：D.
2．（2022·广东·三模）在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数､公式和定理，如：欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：；（与3互素有1､2）；（与9互素有1､2､4､5､7､8）.记为数列的前n项和，则=（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据欧拉函数定义得出，然后由错位相减法求得和，从而可得．
【详解】因为与互素的数为1，2，4，5，7，8，10，11，，，共有，所以，则，
于是①，
②，
由①-②得，
则.于是.
故选：A．
3．（2022·江西·二模（理））记数列中不超过正整数n的项的个数为，设数列的前n项的和为，则等于（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先由定义判断出当时，，再变形得到，
再按照错位相减法求和，即可求解
【详解】，
当时，，
所以
，
记，，
两式相减得，
化简得，
所以．
故选：B.
二、多选题
4．（2022·广东·高三阶段练习）已知数列满足，，数列的前n项和为，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】求得数列的通项公式和前n项和公式，再去验证选项即可解决.
【详解】由，
可得：，，，，，
则
即，则，又时也成立，所以
故选项B判断正确；
由，可知选项A判断正确；
令
则2
两式相减得

故选项D判断正确；
由，可得选项C判断错误.
故选：ABD
5．（2022·全国·模拟预测）记数列的前项和为，数列为，….其构造方法是:首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数，于是，得;然后再复制前面所有的项，再添加的后继数于是，得;接下来再复制前面所有的项，再添加的后继数于是，得前项为.如此继续下去，则使不等式成立的的值不可能为（       ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据题意可得，然后采用错位相减法求得，进而求得答案.
【详解】由的构造方法﹐易知，，…，一般地﹐有，即数首次出现于第项﹐由的构造方法知，数列的前各项中，恰有个个个，…， 个，… ，个.所以，，①
故，②
根据式①②得，
因为所以的最小的值为.
故选：AB.
6．（2021·江苏·高三阶段练习）设和分别为数列和的前n项和.已知，，则（       ）
A．是等比数列 B．是递增数列
C． D．
【答案】ACD
【分析】由已知结合的关系及等比数列的定义判断数列即可确定A、C正误，应用作差法比较的大小关系判断B正误，利用错位相减法求，再由作差法判断的大小判断D.
【详解】由，当时，，即，又，
∴，即，
∴是首项为，公比为的等比数列，故，A正确；
由，则，即是递减数列，B错误；
又，则，C正确；
①，②，
①-②得：，
∴，则，
∴，D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：利用及等比数列的定义求的通项公式，综合运用作差法、错位相减法比较大小判断数列单调性、求前n项和，进而判断各选项的正误.
三、填空题
7．（2022·山东聊城·二模）已知数列，当时，，则数列的前
项的和为______．
【答案】
【分析】分别取、、、时，满足的项数，计算得出，利用错位相减法可求得数列的前项的和.
【详解】当时，，共项，
当时，，共项，
当时，，共项，

当时，，共项，又因为，
所以，数列的前项的和为，
记，
则，
上述两个等式作差可得，
所以，，
因此，数列的前项的和为.
故答案为：.
8．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））已知数列满足，且，则______.
【答案】,
【分析】由递推关系分析得到数列是首项为,公比为的等比数列，求得其通项公式，然后得到数列的通项公式，进而利用错位相减求和法求得结果.
【详解】∵，∴，
又∵，∴，∴数列是首项为,公比为的等比数列，
∴，∴,
∴，
∴，
两式相减得：
,
∴,
故答案为：,
9．（2022·天津市第四中学模拟预测）已知等比数列的前项和为，公比，，，数列满足且，.
（1）则___________；___________；
（2）将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，则数列的前50项和___________；
（3）设数列的通项公式为：，，则___________.
【答案】                   
【分析】（1）根据已知条件作差得到的值，代回的关系式可得的值，即可得到等比数列的通项公式；由题可判断数列是等差数列，根据两个等式求出、的值，即可求解；
（2）由（1）可知数列为由开始的连续的自然数，则需找到数列的前项，可先用与比较大小，判断出有项，有项，再利用分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式即可求解；
（3）由题，所求和的项数为偶数，则可先求得，再把连续2项作为一组，利用错位相减法即可求解.
【详解】（1）由题，，，两式作差可得，即，
因为，则，又，解得，
所以，解得，所以.
因为，故数列为等差数列，设该数列的公差为，
由于，可得，，所以，
所以；
（2）当时，，当时，，
所以数列的前项中，有项，有项，
所以；
（3）由（1），，，

设，即，
则，
则，
则，
两式作差可得
即，
故.
四、解答题
10．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知等差数列中，公差，，是与
的等比中项，设数列的前项和为，满足.
(1)求数列与的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）对于等差数列直接列方程求解，数列根据求解；
（2）利用错位相减法可得，根据题意讨论得：当是奇数时，；当是偶数时，，再通过定义证明数列的单调性，进入确定相应情况的最值．
(1)∵
则，解得或（舍去）
∴.
又∵，
当时，，则，
当时，，则，即，
则数列是以首项，公比为的等比数列，
∴.
(2)，
，

两式相减得：

∴
∵对任意的恒成立，即对任意的恒成立
①当是奇数时，任意的'恒成立
∴对任意的恒成立
②当是偶数时，对任意的恒成立
∴对任意的恒成立
令，对任意的恒成立
∴为递增数列
①当是奇数时，则，即
②当是偶数时，则
∴.
11．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知数列的前项和为，，且，，成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由等差数列定义知，分别代入可求得，由此可猜想得到；利用数学归纳法可证得满足题意；
（2）由（1）可得，采用错位相减法可求得.
(1)，，成等差数列，；
当时，，解得：（舍）或，；
当时，，解得：（舍）或，；
当时，，解得：（舍）或，；
由此可猜想得：；
当时，满足；
假设当时，成立，
则当时，，又，
，
即，整理可得：，
又，，即成立；
综上所述：.
(2)由（1）得：；
，
，
，
.
12．（2022·山东临沂·二模）已知数列的前n项和为，，．
(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前n项和．
【答案】(1).(2).
【分析】（1）根据题中给出得递推关系式，以及，即可求解数列的通项公式；
（2）将数列的通项公式带入数列，进行化简，利用错位相减法进行求解.
(1)由得，
∴，
∴.
又，，∴，整理得.
∴数列是首项为1，公比为2的等比数列，
∴数列的通项公式为：.
(2)由（1）得，∴.
∴，
即，
，
两式相减，得，
∴.
13．（2022·山西·模拟预测（文））已知数列的前项和为，且．
(1)证明是等比数列；
(2)求的前项和．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）代入可得；当时，由与关系可推导得到，由等比数列定义可得结论；
（2）由等比数列通项公式可推导得到，进而得到，采用分组求和法和错位相减法可求得结果.
(1)当时，，解得：；
当时，，，
即，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列.
(2)由（1）得：，，；
，
令，
则，
，，
.
14．（2022·天津·一模）已知数列是等差数列，其前n项和为，，；数列的前n项和为，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)求证：.
【答案】(1)，(2)(3)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式，可得，，即可求得的通项公式；当时，得到，当时，利用，可判断为首项为3，公比为3的等比数列，即可求解；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求解即可；
（3）由（1）结合等比数列的前项和公式可得.
方法一：由可得，利用错位相减法求得，进而证明；
方法二：结合二项式定理可得，根据不等式的性质可知，再利用错位相减法求解，即可证明；
方法三：用分析法证明，再结合等比数列的前项和证明即可.
(1)数列是等差数列，设公差为d，
，
化简得，
解得，，
∴，.
由已知，
当时，，解得，
当时，，
∴，，
即，
∴数列构成首项为3，公比为3的等比数列，
∴，.
(2)由（1）可得，，
∴，
∴


(3)由（1）可得，，
则，
方法一：
∵，
∴，
令，
，
两式相减可得
，
∴，
∴
方法二：
∵时，
，
根据“若，，则”，可得，
∴，
令，
，
两式相减可得
，
∴
∴，
∴
方法三：
令，下一步用分析法证明“”
要证，即证，
即证，
即证，
当，显然成立，
∴，
∴

【点睛】证明数列不等式，放缩法是其中一种重要的方法，放缩的目的是为了转化为等差数列，等比数列及相关数列，则可利用公式进行求解，需注意放缩的范围不能过大.
题型四：分组（幷项）求和法
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，则当时，的最大值是（       ）．
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【分析】根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式求出和的通项公式，再求出数列的通项公式，再根据分组求和求出，再解不等式，即可求出结果.
【详解】因为是以1为首项，2为公差的等差数列，所以．
因为是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，
所以
所以

．
因为，所以，
当时，，不适合题意，
当时，，适合题意，
所以当时，的最大值是．
故选：A.
2．（2022·江苏南京·高三开学考试）若(2x＋1)(22x＋1)(23x＋1)…(2nx＋1)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，则下列说法正确的是（       ）
A．an＝2(n∈N*)
B．{－1}(n∈N*)为等差数列
C．设bn＝a1，则数列为等差数列
D．设bn＝a1，则数列{bn}的前n项的和为
【答案】D
【分析】对于A：直接求出，即可判断；
对于B：分别求出和，再求出，即可判断；
对于C：求出，可以求出，即可否定结论；
对于D：由，利用分组求和法求出{bn}的前n项的和即可.
【详解】
对于A：an为xn项的系数，需要每一个括号里都取x，则.故A错误；
对于B：由上面推导可得：，.
所以，所以{－1}(n∈N*)为等比数列，不是等差数列.故B错误；
对于C：，所以，所以， 所以，所以，即数列不是等差数列.故C错误；
对于D：，所以数列{bn}的前n项的和.
故D正确.
故选：D
3．（2022·河北·模拟预测）已知数列满足，（，），是数列的前项和，则（       ）
A．508 B．506 C．1011 D．1009
【答案】C
【分析】由所给的条件，寻找规律，分组求和即可.
【详解】由 得：
， ， ， ， ，……， ，

   ，
   ；
故选：C.
二、多选题
4．（2022·河北沧州·模拟预测）已知数列的通项公式为，是数列的前n项和，若，使，则（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】BC
【分析】计算出 ，将 用 和 表示，分类讨论即可.
【详解】
= ，
由题意    ，
显然 ，
由题意可知， 的奇数项和偶数项分别为递增的，并且 ，
当 时， ，
所以t只能是1，2，3，
若t=1，则有   ，
   ，无解,m 不存在；
若t=2，则，，
若t=3，则，
故t=2或3；
故选：BC.
5．（2021·广东·新会陈经纶中学高三阶段练习）已知数列满足，，是数列的前项和，则（       ）
A． B．
C． D．数列是等比数列
【答案】ABC
【分析】由递推关系，得，两式　相除可得数列的奇数项成等比数列，偶数项也成等比数列，但整个数列不是等比数列，易得，由，用分组求和法计算．从而判断各选项，得正确结论．
【详解】，则，两式相除得，
又，，，所以，
由，知数列的奇数项成等比数列，偶数项也成等比数列，公比都是2，
，，，
，
所以，
，，不是等比数列，
故选：ABC．
6．（2022·江苏·苏州中学高三开学考试）在数列中，，前n项的和为Sn，则（       ）A．的最大值为1 B．数列是等差数列
C．数列是等差数列 D．
【答案】ABD
【分析】对于A：当n=2时，有，对分正负进行讨论，利用基本不等式求出的最大值；
对于B、C：利用等差数列的定义进行判断；
对于D：利用分组求和法直接求出，即可判断.
【详解】对于A：当n=2时，有，若时，由基本不等式可得：（时取等号），所以；若中有一个为0或负值时，；若时，不可能成立；故的最大值为1.故A正确；
对于B：数列中，，
当n为奇数时，有，所以数列是等差数列，故B正确；
对于C：当n为偶数时，有，只有时，数列是等差数列，否则数列不是等差数列，故C不正确；
对于D：.
故D正确.
故选：ABD
三、填空题
7．（2022·云南昆明·模拟预测（理））记数列的前项和为，则__________．
【答案】.
【分析】由式子可知，的最小正周期，验证对，都有的值一个定值，求出，又由即可求解.
【详解】设，可知的最小正周期，
令（，），则
当时，则；
当时，则；
当时，则；
当时，则；
当时，则；
当时，则；
当时，则；
当时，则.
对于，都有,
所以
即
则
又，所以；
故答案为：.
【点睛】本题考查了利用数列周期性求和的问题，解题的关键在于求出数列的周期，进行简化求和的运算；本题观察数列通项公式中猜想数列的周期，并验证周期的数值，涉及到三函函数的运算，综合性一般，需要较强的逻辑推理.
8．（2022·新疆·三模（理））设为数列的前n项和，，，，则___________.
【答案】12
【分析】由递推关系证明数列具有周期性，利用组合求和法求和即可.
【详解】因为，所以，，又，，
所以，，
因为，所以，
所以，
所以，
，
所以，
故答案为：12.
9．（2022·云南昆明·模拟预测（文））数列的前10项和等于___________．
【答案】
【分析】根据分组求和法和等比数列的求和公式可得结果.
【详解】数列的前10项和等于


.
故答案为：.
四、解答题
10．（2022·河北沧州·模拟预测）已知数列，满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：.
【答案】(1)证明见解析，(2)证明见解析
【分析】（1）利用定义法证明出是公比为2的等比数列，再求出；
（2）先判断出当n为偶数时，.对n分奇偶讨论，分别分组求和及放缩后可以证明出.
(1)，
，即，
，
数列是公比为2的等比数列.
又，，，
，
，
，
即.
(2)由(1)，当n为偶数时，
，
故.
当n为奇数时， .
当n为偶数时，
.
综上，.
11．（2023·福建漳州·三模）已知等差数列{}的前n项和为，且
(1)求{}的通项公式：
(2)若数列满足，求的前10项和．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）设出等差数列{}的公差，再根据已知列出方程组，求出公差及首项即可.
（2）由（1）求出，利用并项求和计算作答.
(1)设等差数列{}的公差为d，由得，，解得，
由得，，则有，，
所以{}的通项公式是.
(2)由（1）知，，则
所以数列的前10项和为.
12．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知数列是递增的等差数列，是各项均为正数的等比数列，，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前9项的和．
（注：表示不超过x的最大整数）
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根据所给的条件列方程即可求解；
（2）根据高斯函数的定义，分别求出 求和即可.
(1)设的公差为d，的公比为q，
由 得 ，
而，，解得，，
于是得，，
所以数列和的通项公式分别为，；
(2)由（1）知，，则有，
依题意，=2926，
综上，，， .
13．（2022·河南洛阳·三模（理））已知正项数列的前项和为，，，数列满足且.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根据，可求出的通项公式，由此可得，在根据递推公式可得，在分为奇数和偶数两种情况，可求出数列的通项公式；
（2）分为奇数和偶数两种情况，利用分组求和结合等比数列前和公式，即可求出结果.
(1)解： 因为，①
当时，，即，
又，所以或（舍去）
当时，，②
所以①-②，，
因为，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，即，
所以，
当时，，又，所以，
当时，，
两式相除可得，
所以当为奇数时，，
当为偶数时，,
，
(2)解：当为偶数时，
；
当为奇数时，
所以.
14．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知数列的前项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)，求数列的前项和；
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由已知得，两者作差可得，则可判断数列为等比数列，即可求其通项公式；
（2）利用分组求和的方法求和即可.
(1)在数列中， 由可知，
两式作差可得，即，
当时，，，即，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
即；
(2)由（1）知，
所以


.
15．（2022·山东滨州·二模）已知公差为d的等差数列和公比的等比数列中，，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，抽去数列的第3项、第6项、第9项、……、第3n项、……余下的项的顺序不变，构成一个新数列，求数列的前n项和．
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）由题意，列出关于公差与公比的方程组，求解方程组，然后根据等差、等比数列的通项公式即可得答案；
（2）由（1）可得，然后分和进行讨论，利用分组求和法及等比数列的前n项和公式即可求解.
(1)解：由题意，，整理得，解得或，
因为公比，所以，则，
所以，；
(2)解：由（1）可得，
当时，
，
当时，，
综上，.
题型五：倒序相加法
一、单选题
1．（2022·湖南岳阳·二模）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，则（       ）
A．98 B．99 C．100 D．101
【答案】C
【分析】观察要求解的式子，根据给的数列的通项公式，计算是否为定值，然后利用倒序相加的方法求解即可.
【详解】由已知，数列通项，所以，
所以，
所以.
故选：C.
2．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列满足对、，都有成立，，函数，记，则数列的前项和为（       ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】推导出数列是首项和公差均为的等差数列，可求得，分析可知函数的图象关于点对称，且，利用函数的对称性可求得结果.
【详解】令，可得，即，故数列是首项和公差均为的等差数列，
所以，，，可得，则，
，
，
故函数的图象关于点对称，
，且，
故数列的前项和满足.
因此，.
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）对于函数，时， ，则函数的图象关于点成中心对称．探究函数图象的对称中心，并利用它求的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件探求和为1的两个自变量对应函数值的和即可借助倒序相加得解.
【详解】因，
令，
则，
两式相加得：，解得，
所以的值为2021.
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）在进行的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列满足，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用倒序相加法得到，得到答案.
【详解】依题意，记，
则，
又，两式相加可得
，
则.
故选：B．
二、多选题
5．（2022·全国·高三专题练习）定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.可以证明，任意三次函数都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是（       ）
A．存在有两个及两个以上对称中心的三次函数
B．函数的对称中心也是函数的一个对称中心
C．存在三次函数，方程有实数解，且点为函数的对称中心
D．若函数，则
【答案】BCD
【分析】根据题干中三次函数的对称中心的定义与性质判断A,C选项；求出的对称中心，可以验证此点是的一个对称中心，即可判断B；求出函数的对称中心，可得，进而求得进而判断出D.
【详解】解：对于A.设三次函数，
易知是一次函数，∴任何三次函数只有一个对称中心，故A不正确；
对于B.由，得，由，得，函数的对称中心为，
又由，得，∴的对称中心是函数的一个对称中心，故B正确；
对于C.设三次函数，
所以
联立得，
即当时，存在三次函数，方程有实数解，且点为函数的对称中心，故C正确.
对于D.∵，∴，
令，得，∵，
∴函数的对称中心是，∴，
设，所以所以
，故D正确.
故选:BCD.
三、填空题
6．（2022·四川遂宁·三模（文））德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据题意先求，然后利用倒序相加法求，则由可得，求出的最小值即可求得的取值范围
【详解】因为，
所以，
由，
，
所以，所以，
所以由，得，
，
，
所以，
令，（）则当，递减，当时，递增，
因为，
所以，
所以，
即的取值范围是，
故答案为：
7．（2022·江西萍乡·二模（理））已知函数，等差数列满足，则__________．
【答案】
【分析】利用倒序相加法求得正确答案.
【详解】.
依题意是等差数列，
令，
，
结合等差数列的性质，两式相加得.
故答案为：
8．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）设函数，定义，其中，，则______.
【答案】0
【分析】由函数的解析式可得，由倒序相加法可得答案.
【详解】由题意，
所以
由       ①
则   ②
由①+②得
所以
故答案为：0
9．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，则________.
【答案】
【分析】可令，，利用倒序相加法，将角度之和为的两项结合（如化简整理即可．
【详解】解：，



，
令，①
，②
①②得：，
，即．
故答案为：.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知数列，2，3，，，圆，圆，若圆平分圆的周长，则数列的所有项的和为___．
【答案】4032
【分析】根据两圆的关系求出两圆的公共弦，求出圆的圆心，得到，利用倒序相加法即可求得结果.
【详解】根据题意知，圆与圆相交，设交点为，，
圆，圆，
相减可得直线的方程为：
圆平分圆的周长，直线经过圆的圆心，
，即，

的所有项的和为．
故答案为：4032．
【点睛】方法点睛：求数列和常用的方法：
（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；
（3）（数列为等差数列）：裂项相消法；
（4）等差等比数列：错位相减法.
四、解答题
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)令，求数列的前2020项和.
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）由题意可得：，由即可求解；
（2）求出的表达式，由指数的运算即可求解；
（3）结合（2）的结论，利用倒序相加法即可求解.
(1)因为点均在函数的图象上，
所以，
当时，，
当时，，适合上式，所以.
(2)因为，所以，
所以.
(3)由（1）知，可得，
所以，①
又因为，②
因为，
所以①②，得，
所以.
12．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，，正项等比数列满足，则值是多少？.
【答案】
【分析】先证明，由等比数列的性质可得，即，继而可得，倒序相加法即可得解.
【详解】因为，
所以.
因为数列是等比数列，所以，
即.

设 ①，
又＋…＋ ②，
①+②，得，所以.
13．（2012·江西宜春·高三阶段练习（理））设、是函数的图象上任两点，且，已知点横坐标为，
（1）求点的纵坐标；
（2）若，其中且，求．
（3）已知，其中，为数列的前项和， 若对一切都成立，求取值范围．
【答案】（1）；（2）（3）.
【分析】（1）由题设条件知是的中点，由中点坐标公式可以求出点的纵坐标（2）由（1）知，利用倒序相加法即可求（3）分离参数之后，求不含参数这一边的最值即可求得的取值范围
【详解】（1）
；
（2）由（1）知，

两式相加得到
（3）当时，，
又时， 也适合．
故，

即
而，（时“=”成立）
故