考点05 函数的应用（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）

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考点05 函数的应用（核心考点讲与练）

1.函数的零点
(1)函数零点的概念
如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ0)的图象



与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
2
1
0
3.指数、对数、幂函数模型性质比较
　　函数
性质　　　
y＝ax
(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化
而各有不同
4.几种常见的函数模型

函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数
相关模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数
相关模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数
相关模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)


1.识图
对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系.
2.用图
借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质.利用函数的图象，还可以判断方程f(x)＝g(x)的解的个数，求不等式的解集等.
3.转化思想在函数零点问题中的应用
方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.
4.判断函数零点个数的常用方法
(1)通过解方程来判断.
(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.
(3)将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断.
5.解函数应用问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题.
以上过程用框图表示如下：


函数与方程
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）已知函数满足，且是的一个零点，则一定是下列函数的零点的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先判断函数是奇函数，由零点定义可知，，再经过变形，结合选项判断是否是函数的零点.
【详解】因为，所以，所以函数是奇函数．由已知可得，即．所以，所以，故一定是的零点，故A正确，B错误；
又由，得，所以，故C错误；由，故D错误.
故选：A．
2．（2022·河南·模拟预测（文））已知，，若在区间上恰有4个零点，则实数a的取值范围是（       ）
A．（1，3） B．（2，4） C． D．
【答案】C
【分析】x∈，数形结合确定的范围使得图像和恰好有四个交点.
【详解】，
在区间上恰有4个零点，等价与图象恰好有4个交点，因为x∈，所以，
如图所示，

则应该满足，解得.
故选：C.
3．（2020·江西师大附中一模（理））已知函数，，的零点分别为，，，则（       ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】转化函数，，的零点为与，，的交点，数形结合，即得解.
【详解】函数，，的零点，即为与，，的交点，
作出与，，的图象，

如图所示，可知
故选：C
4．（2020·河南·郑州中学模拟预测（文））函数在区间上的大致图像为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据奇偶性排除A，D，根据，函数值的正负可选出选项.
【详解】由题可得是偶函数，排除A,D两个选项，
当时，，，
当时，，，
所以当时，仅有一个零点.
故选：C
【点睛】此题考查函数的奇偶性和零点问题，解题时要善于观察出函数的一个零点，再分别讨论，函数值的正负便可得出选项.
5．（2022·江西赣州·二模（理））若函数有零点，则a的取值范围是（       ）
A．[，] B．
C．（0，） D．（，+∞）
【答案】A
【分析】构造函数=，利用函数单调性可得即得.
【详解】由有解，
可得，=，
因为与在[1，+∞）都是增函数，
所以在是增函数，又时，
所以当时有零点.
故选：A.
6．（2020·河南洛阳·模拟预测（理））已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＞1，且6Sn＝an2+3an+2．若对于任意实数a∈[﹣2，2]．不等式恒成立，则实数t的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） D．[﹣2，2]
【答案】A
【分析】根据an与Sn的关系，由6Sn＝an2+3an+2，得6Sn﹣1＝an﹣12+3an﹣1+2，两式相减整理得an﹣an﹣1＝3，由等差数列的定义求得an的通项公式，然后将不等式恒成立，转化为2t2+at﹣4≥0，对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*恒成立求解.
【详解】由6Sn＝an2+3an+2，
当n＝1时，6a1＝a12+3a1+2．解得a1＝2，
当n≥2时，6Sn﹣1＝an﹣12+3an﹣1+2，
两式相减得6an＝an2+3an﹣（an﹣12+3an﹣1），
整理得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣3）＝0，
由an＞0，所以an+an﹣1＞0，所以an﹣an﹣1＝3，
所以数列{an}是以2为首项，3为公差的等差数列，
所以an+1＝2+3（n+1﹣1）＝3n+2，
所以＝＝3﹣＜3，
因此原不等式转化为2t2+at﹣1≥3，对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*恒成立，
即为：2t2+at﹣4≥0，对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*恒成立，
设f（a）＝2t2+at﹣4，a∈[﹣2，2]，
则f（2）≥0且f（﹣2）≥0，
即有，
解得t≥2或t≤﹣2，
则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
故选：A．
【点睛】本题主要考查数列与不等式的，an与Sn的关系，等差数列的定义，方程的根的分布问题，还考查了转化化归思想和运算求解的能力，属于中档题．
7．（2022·江苏·南京市第一中学三模）非空集合，，，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题知，进而构造函数，再根据零点存在性定理得，解不等式即可得答案.
【详解】解：由题知，
因为，所以，
所以，
故令函数，
所以，如图，结合二次函数的图像性质与零点的存在性定理得：
，即，解得，
所以，实数的取值范围为.
故选：A

8．（2022·江西南昌·一模（文））已知，若，分别是方程，的根，则下列说法：①；②；③，其中正确的个数为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】由题意可得的图象关于直线对称，与的图象关于直线对称，在同一坐标系中画出3个函数的图象，可求得的范围，然后逐个分析判断即可
【详解】
，
因为，所以，
所以，且在上单调递减，
，分别是方程，的根，
因为与互为反函数，
所以与的图象关于直线对称，
由，得，
画出函数，和的图象，

由图可得
，
因为当时，，
当时，，
所以，
所以，所以①正确，
对于②，由图可得，所以，
因为，所以，所以②正确，
对于③，因为的图象关于直线对称，
因为和互为反函数，
所以与关于直线对称，
所以或，化简得，所以③正确，
故选：D
【点睛】
关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查数形结合的思想，解题的关键是正确画出函数图象，根据图象分析求解的范围，考查数学转化思想，属于较难题
9．（2020·湖北黄冈·模拟预测（文））求下列函数的零点，可以采用二分法的是（   ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】不是单调函数，，不能用二分法求零点；
是单调函数，，能用二分法求零点；
不是单调函数，，不能用二分法求零点；
不是单调函数，，不能用二分法求零点.
故选：B
二、多选题
10．（2022·辽宁锦州·一模）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（       ）
A． B．在上为减函数
C．点是函数的一个对称中心 D．方程仅有个实数解
【答案】CD
【分析】根据和的奇偶性可推导得到，，
由可知A错误；推导可得，知C正确；作出图象，结合图象知B错误；将解的个数转化为与的交点个数，结合图象可知D正确.
【详解】为奇函数，，即，
关于点对称；
为偶函数，，即，
关于对称；
由，得：，
，即是周期为的周期函数；
对于A，，A错误；
对于C，，即，
关于点成中心对称，C正确；
对于BD，由周期性和对称性可得图象如下图所示，

由图象可知：在上单调递增，B错误；
方程的解的个数，等价于与的交点个数，
，，
结合图象可知：与共有个交点，即有个实数解，D正确.
故选：CD.
11．（2022·福建三明·模拟预测）已知函数在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a的取值可以为（       ）
A．－1 B．2 C．3 D．4
【答案】ABC
【分析】由题意设，则在上， 与有相同的零点，即讨论在区间内没有零点，求出其导函数，分析其单调性，得出其最值情况，从而结合其大致的图形可得出答案.
【详解】，设
则在上， 与有相同的零点.
故函数在区间内没有零点,即在区间内没有零点

当时，在区间上恒成立,则在区间上单调递增.
所以，显然在区间内没有零点.
当时, 令，得，令，得
所以在区间上单调递减增.在区间上单调递增.
所以
设，则
所以在上单调递减,且
所以存在，使得
要使得在区间内没有零点，则
所以
综上所述，满足条件的的范围是
由选项可知：选项ABC可使得在区间内没有零点，即满足题意.
故选：ABC
三、填空题
12．（2022·湖南永州·三模）已知函数，若在内单调且有一个零点，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】由已知，确定范围，再由正弦型三角函数图像的性质得到，进而化简求解.
【详解】在内单调且，可得，，解得，
又∵，∴，
又 在上恰有一个零点，所以，
∴且，解之得.
故答案为：
13．（2021·宁夏中卫·三模（理））已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为__________．
【答案】
【分析】由题意构造函数，求方程的一个近似解，就是求函数在某个区间内有零点，分析函数值的符号是否异号即可．
【详解】解：令，其在定义域上单调递增，
且，，
，
由f（2.5）f（3）＜0知根所在区间为．
故答案为：．
四、解答题
14．（2022·四川雅安·二模）已知函数．
(1)当时，曲线在点处的切线方程；
(2)若为整数，当时，，求的最小值．
【答案】(1) (2)2
【分析】（1）求出函数的导函数，再根据导数的几何意义即可得出答案；
（2）由，可得，求导，再令，用导数法得到时，取得极小值，分和时，即论证，再验证是否成立即可.
(1)解：当时，，
则，
则，，
所以曲线在点处的切线方程为；
(2)因为当时，，
所以，即，
所以，则，
令，则，
因为，
所以在递增，又，
当时，，递减，当时，，递增，
所以当时，取得极小值，
当时，，即，
所以在上递增，则，
又，
令，在上递增，
所以，
所以，满足题意；
当时，因为a为整数，则，此时，
则，，
因为函数在都是增函数，
所以函数在是增函数，
又，
所以存在，使得，
则当时，，故函数递减，
当时，，故函数递增，
又，
所以存在，使得，
则当时，，故函数递减，
当时，，故函数递增，
所以，
而，即，所以，
所以，
令，
则，
令，
则，
所以函数在上递减，
所以，
所以，
所以函数在上递减，
所以,
所以，即，满足题意；
当时，，则，
，
因为函数在都是增函数，
所以函数在是增函数，
且，
所以在上递增，又，
所以存在，使得，
当时，，故函数递减，，不满足题意，
综上：整数的最小值为2.
【点睛】
思路点睛：本题第二问基本思路是由确定，再由，当时，取得极小值，确定分类标准而得解，特别注意是验证是否成立是本题的关键.
五、双空题
15．（2022·江苏江苏·一模）已知是定义在上的奇函数，且.若当时，，则在区间上的值域为____________，在区间内的所有零点之和为__________
【答案】          ##2.5
【分析】第一空先求出函数在上的解析式，结合奇函数画出的图像，再由得到，
进而得到函数在上的图像，即可求得值域；
第二空画出将零点转化为的交点，再画出的图像即可求解.
【详解】
由当时，，可得当时，，当时，，
又是奇函数，可得函数图像关于原点对称.又当时，即，即，
即函数右移两个单位，函数值变为原来的2倍，由此可得函数在上的图像如图所示：

结合图像可知在区间上的值域为；，即，即的交点，
画出的图像，由图像可知4个交点的横坐标依次为，又均是奇函数，故，
故.
故答案为：；.
16．（2022·广东汕头·一模）为检测出新冠肺炎的感染者，医学上可采用“二分检测法”、假设待检测的总人数是（）将个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测一次），如果检测结果为阴性，可确定这批人未感染；如果检测结果为阳性，可确定其中有感染者，则将这批人平均分为两组，每组人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次，如此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的那组人，而将每轮检测后结果为阳性的组在平均分成两组，做下一轮检测，直到检测出所有感染者（感染者必须通过检测来确定）.若待检测的总人数为8，采用“二分检测法”检测，经过4轮共7次检测后确定了所有感染者，则感染者人数最多为______人.若待检测的总人数为，且假设其中有不超过2名感染者，采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n的最大值为______.
【答案】     2    
【分析】利用二分检测法求解.
【详解】若待检测的总人数为8，则第一轮需检测1次，第2轮需检测2次，第3轮需检测2次，第4轮需检测2次，
则共需检测7次，此时感染者人数最多为2人；
若待检测的总人数为，且假设其中有不超过2名感染者，
若没有感染者，则只需1次检测即可；
若只有1个感染者，则只需次检测；
若只有2个感染者，若要检测次数最多，则第2轮检测时，2个感染者不位于同一组，
此时相当两个待检测均为的组，
每组1个感染者，此时每组需要次检测，
所以此时两组共需次检测，
故有2个感染者，且检测次数最多，共需次检测，
所以采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n的最大值为.
故答案为：2，
函数模型及其应用
一、单选题
1．（2022·广东·一模）已知函数，，则图象如图的函数可能是(       )

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合函数图像的奇偶性和单调性即可判断.
【详解】由图可知，该函数为奇函数，和为非奇非偶函数，故A、B不符；
当x＞0时，单调递增，与图像不符，故C不符；
为奇函数，当x→＋¥时，∵y＝的增长速度快于y＝lnx的增长速度，故＞0且单调递减，故图像应该在x轴上方且无限靠近x轴，与图像相符.
故选：D.
2．（2022·贵州·模拟预测（理））生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型（为常数）来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出，.据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加倍所需要的时间为（，）（       ）
A．天 B．天 C．天 D．天
【答案】C
【分析】根据已知数据可求得，设初始时间为，累计繁殖数量增加倍后的时间为，利用，结合对数运算法则可求得结果.
【详解】，，，，解得：.
设初始时间为，初始累计繁殖数量为，累计繁殖数量增加倍后的时间为，
则（天）.
故选：C.
3．（2022·广西·模拟预测（理））异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解．
【详解】设初始状态为，则，，
又，，即，
，，，，．
故选：D．4．（2022·河南新乡·三模（理））中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示，在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫作信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，增加带宽，提高信号功率和降低噪声功率都可以提升信息传递速度，若在信噪比为1000的基础上，将带宽W增大到原来的2倍，信号功率S增大到原来的10倍，噪声功率N减小到原来的，则信息传递速度C大约增加了（       ）（参考数据：）
A．87% B．123% C．156% D．213%
【答案】D
【分析】先求得提升前的信息传递速度，然后求得提升后的信息传播速度，由此求得正确答案.
【详解】提升前的信息传递速度，
提升后的信息传递速度，
所以信息传递速度C大约增加了.
故选：D
5．（2022·天津市第七中学模拟预测）一种药在病人血液中的量不少于才有效，而低于病人就有危险．现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过 （       ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，结果精确到）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
【答案】A
【分析】根据已知关系式可得不等式，结合对数运算法则解不等式即可求得结果.
【详解】设应在病人注射这种药小时后再向病人的血液补充这种药，
则，整理可得：，
，
，，
，即应在用药小时后再向病人的血液补充这种药.
故选：A.
二、多选题
6．（2022·湖北·一模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，则下列说法正确的是（       ）
A．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级
B．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍
C．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍
D．记地震里氏震级为n（n=1，2，···，9，10），地震释放的能量为an，则数列{an}是等比数列
【答案】ACD
【分析】根据所给公式，结合指对互化原则，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】对于A：当时，由题意得，
解得，即地震里氏震级约为七级，故A正确；
对于B：八级地震即时，，解得，
所以，
所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的倍，故B错误；
对于C：六级地震即时，，解得，
所以，
即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C正确；
对于D：由题意得（n=1，2，···，9，10），
所以，所以
所以，即数列{an}是等比数列，故D正确；
故选：ACD
7．（2021·福建厦门·一模）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（       ）

A．
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为时
【答案】AD
【分析】利用图象分别求出两段函数解析式，再进行逐个分析，即可解决．
【详解】由函数图象可知，
当时，，即，解得，
，故正确，
药物刚好起效的时间，当，即，
药物刚好失效的时间，解得，
故药物有效时长为小时，
药物的有效时间不到6个小时，故错误，正确；
注射该药物小时后每毫升血液含药量为微克，故错误，
故选：．
8．（2021·江苏南京·二模）某港口一天24h内潮水的高度S（单位：m）随时间t（单位：h，0≤t≤24）的变化近似满足关系式，则下列说法正确的有（       ）
A．在[0，2]上的平均变化率为m/h
B．相邻两次潮水高度最高的时间间距为24h
C．当t＝6时，潮水的高度会达到一天中最低
D．18时潮水起落的速度为m/h
【答案】BD
【解析】利用导数的概念及几何意义、求导法则，逐个判断选项即可
【详解】由题意，对于选项A，，，
所以在[0，2]上的平均变化率为m/h，故A选项错误；
对于选项B，相邻两次潮水高度最高的时间间距为一个周期，而h，故B选项正确；对于选项C，当t＝6时，，
所以潮水的高度会达到一天中最低为错误说法，即C选项错误；
对于选项D，，
所以，
则选项D正确；综上，答案选BD.
故选：BD
【点睛】关键点睛：解题关键在于利用导数的概念及几何意义、求导法则，求出题中函数的单调性、周期和最值，进而判断选项，属于基础题
9．（2020·福建莆田·模拟预测）某导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668个城市中有超过的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如下表：
年份x
2016
2017
2018
2019
包装垃圾y（万吨）
4
6
9
13. 5
（1）有下列函数模型：①；②；③（参考数据：，），以上函数模型（       ）A．选择模型①，函数模型解析式，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y（万吨）与年份x的函数关系
B．选择模型②，函数模型解析式，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y（万吨）与年份x的函数关系
C．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2021年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨
D．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨
【答案】AD
【解析】分别选函数模型: ，，代入数据计算得到近似值，比较即可，根据选择的函数模型，令计算得出结论.
【详解】若选，计算可得对应数据近似为，
若选，计算可得对应数据近似值都大于2012，显然A正确，B错误；
按照选择函数模型，
令，即，
，
，
，
，
即从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C错误D正确.
故选：AD
【点睛】关键点点睛：根据给出的函数模型，利用所给数据比较拟合程度即可选出适合的函数模型，根据所选函数模型，解不等式即可求出结论，考查运算能力，属于中档题.
三、填空题
10．（2022·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于，已知一驾驶员某次饮酒后体内每血液中的酒精含量（单位：）与时间（单位：
）的关系是：当时，；当时，，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过__________才可驾车.
【答案】
【分析】根据二次函数的单调性和反比例函数的单调性进行求解即可.
【详解】当时，，
当时，函数有最大值，所以当时，饮酒后体内每血液中的酒精含量小于，
当当时，函数单调递减，令，因此饮酒后小时体内每血液中的酒精含量等于，
故答案为：
四、解答题
11．（2022·四川·泸县五中模拟预测（理））为响应绿色出行，前段时间贵阳市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”，其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程按1元/公里计费；②行驶时间不超过40分钟时，按0.12元/分钟计费；超出部分按0.20元/分钟计费，已知张先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次.由于堵车、红路灯等因素，每次路上开车花费的时间（分钟）是一个随机变量.现统计了100次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：
时间（分钟）




频数
4
36
40
20

将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车的时间，范围为分钟.
(1)写出张先生一次租车费用（元）与用车时间（分钟）的函数关系式；
(2)若公司每月给900元的车补，请估计张先生每月（按24天计算）的车补是否足够上下租用新能源分时租赁汽车？并说明理由；（同一时段，用该区间的中点值作代表）
(3)若张先生一次开车时间不超过40分钟为“路段畅通”，设表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望.
【答案】(1)；
(2)张先生每月的车补不够上下班租用新能源分时租赁汽车费用，理由见解析；
(3)分布列见解析，期望为.
【分析】（1）分类讨论得到一次租车费用（元）与用车时间（分钟）的函数关系式；
（2）求出一个月上下班租车的费用即得解；
（3）由题得可取，再求出对应的概率即得解.
(1)解：当时，
当时，
所以.
(2)解：张先生租用一次新能源分时汽车上下班，
平均用车时间为
每次上下班租车的费用约为
一个月上下班租车的费用约为，
估计张先生每月的车补不够上下班租用新能源分时租赁汽车费用.
(3)解：张先生租赁分时汽车为“路段畅通”的概率，
可取.
，
的分布列为：

0
1
2
3
p




所以
12．（2021·全国·模拟预测）随着我国经济发展､医疗消费需求增长､人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为万元，最大产能为台.每生产
台，需另投入成本万元，且由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
（1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）该产品的年产量为台时，公司所获利润最大，最大利润是万元.
【分析】（1）根据年利润等于总收入减去固定成本万再减去另投入成本，写成分段函数的形式即可；
（2）分别由二次函数的性质以及基本不等式求出分段函数各段的最大值，再比较取最大值即可求解.
【详解】（1）由题意可得：
当时，
；
当时，，
所以
（2）若，，
所以当时，万元.
若，，
当且仅当时，即时，万元.
所以该产品的年产量为台时，公司所获利润最大，最大利润是万元.
13．（2018·全国·三模（理））某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
【答案】(1)400；(2)不能获利，至少需要补贴35000元.
【分析】(1)每月每吨的平均处理成本为，利用基本不等式求解即得最低成本；
(2)写出该单位每月的获利f(x)关于x的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答.
(1)由题意可知：，
每吨二氧化碳的平均处理成本为：
，
当且仅当，即时，等号成立，
∴该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低；
(2)该单位每月的获利：
，
因，函数在区间上单调递减，
从而得当时，函数取得最大值，即，
所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.
函数综合
一、单选题
1．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学一模）已知，且函数.若对任意的不等式恒成立，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先参变分离得，然后分类讨论求出得最小值，列不等式解出的范围即可.
【详解】解：因为，不等式恒成立，
所以，
即恒成立，
令，则，
时，＜0，g（x）递减；时，＞0，g（x）递增，
所以g（x）最小值为：，
令（），
所以
令
（1）当时，t≥4，，所以的最小值为：，
所以，
即，解得：，
所以
（2）当1＜＜4时，所以，，的最小值为：，
所以，
即，解得：
所以恒成立．
综合（1）（2）可知：
故选B.
【点睛】本题考查了函数的综合问题，不等式恒成立问题，参变分离和分类讨论是解题关键，属于难题.
2．（2022·河南·模拟预测（理））若关于的方程有三个不相等的实数解，且，其中，为自然对数的底数，则的值为（       ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【详解】化简，可得，令，原式可化为，，由韦达定理可得，，， 两式相乘可得，即的值为，故选A.
【方法点睛】本题主要考查韦达定理的应用及数学的转化与划归思想，属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，利用换元法，将问题转化为，是解题的关键.
3．（2022·贵州·镇远县文德民族中学校模拟预测（文））设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据已知条件求出当时，函数，
做出示意图如下图所示： 要使，则需，而由可解得，从而得出的范围.
【详解】当时，，而时，所以
又，
所以当时，，
当时，，
做出示意图如下图所示：
要使，则需，而由解得，所以，
故选：D.

【点睛】本题考查函数不等式的求解问题，解决问题的关键在于根据已知条件求出相应区间的解析式，运用数形结合的思想巧妙求解不等式，属于中档题.
4．（2021·浙江·模拟预测）已知函数，则函数的图象可能是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】利用特殊值代入的方法排除C D，当时，求出，，比较变化情况排除选项A，即可得出结果.
【详解】因为，
由，排除C D；
当时，
，
，
又，
则，
；
，
，
选项A在减的越来越快，不符合题意；
故选：B.
【点睛】方法点睛：本题考查函数图象的识别，此类问题一般利用特殊值代入，根据函数的奇偶性、单调性、函数在特殊点处的函数的符号等来判别.
5．（2021·安徽·池州市第一中学模拟预测（理））设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（     ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围.
【详解】设，，
由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当时，；当时，.
所以，函数的最小值为.
又，.
直线恒过定点且斜率为，
故且，解得，故选D.
【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.
6．（2021·四川·仁寿一中二模（文））关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数             ②f(x)在区间（,）单调递增
③f(x)在有4个零点       ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
【答案】C
【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．
【详解】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为
，故④正确．综上所述，①④       正确，故选C．
【点睛】画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C．

二、多选题
7．（2021·全国·模拟预测）已知函数，下列四个命题正确的是．
A．函数为偶函数
B．若，其中，，，则
C．函数在上为单调递增函数
D．若，则
【答案】ABD
【分析】根据函数的奇偶性定义，函数性质、对数函数的性质，以及作差法，可以判断.
【详解】函数
对于，，，所以函数为偶函数，故正确；
对于，若，其中，，，所以，
，即，得到，故正确；
对于，函数，由，解得，所以函数的定义域为，因此在上不具有单调性，故错误；
对于，因为，，故
，故正确.
故选：.
【点睛】本题主要考查的是函数的性质以及对数函数性质的应用，作差法的应用，考查学生的分析问题的能力，和计算能力，是中档题.
三、填空题
8．（2021·北京八十中模拟预测）已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“好集合.给出下列4个集合：① ； ② ；③ ； ④ .其中所有“好集合”的序号是________________.
【答案】②③
【解析】根据题意设，由，可知，即，逐个作图，分别判断即可得解.
【详解】根据题意设，由，
可知，即，

对①，，如图，不管在一侧还是同侧均不能有

对②，，如图，对任意，均有使得，

对③，，如图，对任意，均有使得，

对④， ，如图，当取，则不存在使得，
故答案为：②③
【点睛】本题考查了函数相关的新定义，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题.
本题的关键点有：
（1）陌生的问题熟悉化，通过转化把新定义转化为垂直问题；
（2）数形结合，对图像的的直观认识是解题关键.

_
一、单选题
1．（2020·海南·高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （       ）
A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天
【答案】B
【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.
【详解】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
2．（2020·天津·高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，
令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选：D.
               

【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
3．（2020·全国·高考真题（理））若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，利用作差法结合的单调性即可得到答案.
【详解】设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：B.
【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.
4．（2020·全国·高考真题（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（       ）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
【答案】B
【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】由题意，第二天新增订单数为，
，故至少需要志愿者名.
故选：B
【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
5．（2019·全国·高考真题（理））关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数             ②f(x)在区间（,）单调递增
③f(x)在有4个零点       ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
【答案】C
【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．
【详解】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有
个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④       正确，故选C．
【点睛】画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C．

二、双空题
6．（2019·北京·高考真题（理））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
【答案】     130.     15.
【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值.
【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,
元时,李明得到的金额为,符合要求.
元时,有恒成立,即,即元.
所以的最大值为.
【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.
三、填空题
7．（2019·江苏·高考真题）设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.
【答案】.
【分析】分别考查函数和函数图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可.
【详解】当时，即
又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.
   
当时，函数与的图象有个交点；
当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.
综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.
【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.
四、解答题
8．（2019·江苏·高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥
AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．

（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；
（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．
【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+（百米）.
【分析】解：解法一：
（1）过A作，垂足为E.利用几何关系即可求得道路PB的长；
（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.
（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离．
解法二：
（1）建立空间直角坐标系，分别确定点P和点B的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB的长；
（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.
（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离．
【详解】解法一：
（1）过A作，垂足为E.
由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.
因为PB⊥AB，
所以.
所以.
因此道路PB的长为15（百米）.

（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，连结AD，由（1）知，
从而，所以∠BAD为锐角.
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此，Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP90°时，在中，.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）.
解法二：
（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.
以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.

因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.
因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.
从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为.
因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为，
直线PB的方程为.
所以P（−13，9），.
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4