2023-2024学年北京师大附中九年级上学期月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年北京师大附中九年级上学期月考数学试卷（10月份）（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年北京师大附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题。（共20分，每题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项均只有一个。
1．（2分）抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（　　）
A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，﹣1）
2．（2分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+4＝0，配方正确的是（　　）
A．（x+3）2＝13 B．（x+3）2＝5 C．（x﹣3）2＝13 D．（x﹣3）2＝5
3．（2分）将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝3（x﹣1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2﹣2
4．（2分）如图，平面直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，3），点P为线段AB的中点（　　）

A． B．2 C． D．5
5．（2分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则x1+x2﹣x1•x2的值是（　　）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3
6．（2分）关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（　　）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
7．（2分）已知点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（4，y3）在抛物线y＝﹣（x﹣2）2+5上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2
8．（2分）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
8
3
0
﹣1
0
…
则当y＞8时，x的取值范围是（　　）
A．﹣1＜x＜5 B．0＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞5 D．x＜0或x＞3
9．（2分）二次函数y＝x2﹣bx+b的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝m（x﹣3）2+k与x轴交于（a，0），（b，0）两点，其中a＜b．将此抛物线向上平移（c，0），（d，0）两点，其中c＜d（　　）
A．当m＞0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣c
B．当m＞0时，a+b＞c+d，b﹣a＝d﹣c
C．当m＜0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣c
D．当m＜0时，a+b＞c+d，b﹣a＜d﹣c
二、填空题。（共16分，每题2分）
11．（2分）若关于x的函数y＝（a+1）x2﹣2x+3是二次函数，则a的取值范围是 　 　．
12．（2分）若x＝2是一元二次方程x2+3x+k＝0的一个根，则k的值为　 　．
13．（2分）请你写出一个二次函数 　 　满足以下条件：
①开口向下；
②与y轴交于点（0，﹣3）．
14．（2分）如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝x2+bx+c交于A，B两点，其中点A（2，﹣3）（5，0），不等式x2+bx+c＜mx+n的解集为 　 　．


15．（2分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且∠OCD＝90°，AC＝10，BD＝26　 　．
16．（2分）为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国．今年6月份盈利12000元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x，根据题意　 　．
17．（2分）已知抛物线y＝kx2﹣2（k﹣1）x+k+1，若抛物线关于y轴对称　 　，此时抛物线关于x轴对称的图象解析式为 　 　．
18．（2分）已知某函数的图象过A（2，﹣1），B（4，1）两点，下面有四个推断：
①若此函数的图象为直线，则此函数的图象经过（0，﹣3）；
②若此函数的图象为抛物线，且经过（1，﹣0.5），则该抛物线开口向下；
③若此函数的解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），且经过原点，则0＜h＜1；
④若此函数的解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），开口向下，且2＜h＜4．
所有合理推断的序号是 　 　．
三、解答题。（共64分，第19题8分，第20题-22题每题6分，第23题8分，第24-25题每题7分，第26-27题每题8分）
19．（8分）选择合适的方法解方程：
（1）x2﹣4＝0；
（2）x2﹣6x+8＝0．
20．（6分）已知二次函数y＝x2﹣6x+5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
​

21．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x+c的部分图象经过点A（0，﹣3），B（1，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围；
（3）将该抛物线向上平移 　 　个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点．

22．（6分）关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0．
（1）若该方程无实数根，求m的取值范围；
（2）给m取一个适当的值，使该方程有两个不同的实数根，并求出方程的两个根．
23．（8分）已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，3），顶点为T，与直线y＝kx﹣1交于A，其中点A坐标为（1，0）．
（1）求抛物线和直线解析式；
（2）直接写出抛物线y＝x2+bx+c关于x＝﹣1对称的抛物线的解析式；
（3）求△ABT的面积．
24．（7分）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，，从A处向外喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．王丽芳同学根据题意在图中建立如图所示的坐标系（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝ax2+bx+c（x＞0），已知水流的最高点到OA的水平距离是，最高点离水面是．
（1）求二次函数表达式；
（2）若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？

25．（7分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2（a＞0）．
（1）求该二次函数图象的对称轴；
（2）当﹣1≤x≤5时，函数图象的最高点为M，最低点为N，求点M和点N的坐标；
（3）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），当t+1＜x1＜t+2，t+3＜x2＜t+4时，均有y1≠y2，请结合图象，直接写出t的取值范围．
26．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在BC边上（不与点B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转90°，连接DE．
（1）根据题意补全图形，并证明：∠EAC＝∠ADC；
（2）取DE的中点F，连接CF，用等式表示线段CF与BD之间的数量关系
​

27．（8分）对于平面图形G1，G2和直线y＝kx+b（这里k，b均为常数），若它们同时满足以下两个条件：
a．对G1上任意一点（p，m），均有m≤kp+b；
b．对G2上任意一点（q，n），均有n≥kq+b．
则称直线y＝kx+b是图形G1，G2的“分界线”．
回答以下问题．
（1）如图1所示，在平面直角坐标系中有正方形ABCD和三角形EFG．例如：直线y＝﹣x是正方形ABCD和三角形EFG的一条“分界线”．
（i）在下列直线中，可以作为正方形ABCD和三角形EFG的“分界线”的是 　 　（填选项的标号）；
①y＝0；
②y＝x；
③y＝3x；
④y＝﹣x﹣1．
（ii）若直线y＝kx+1是正方形ABCD和三角形EFG的“分界线”，结合图形，求k的取值范围．
（2）如图2所示，在平面直角坐标系中有抛物线M：y＝﹣（x﹣t）2+2和正方形HIJK，正方形HIJK的顶点H的坐标为（t+2，0）．若直线y＝﹣2x﹣2是抛物线M和正方形HIJK的“分界线”






2023-2024学年北京师大附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题。（共20分，每题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项均只有一个。
1．【答案】B
【解答】解：因为y＝（x﹣3）2+8是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，的顶点坐标是（3．
故选：B．
2．【答案】D
【解答】解：∵x2﹣6x+8＝0，
∴x2﹣6x＝﹣4，
∴x2﹣7x+9＝﹣4+5，
（x﹣3）2＝5．
故选：D．
3．【答案】B
【解答】解：将抛物线y＝3x2先向左平移7个单位，再向下平移2个单位2﹣2．
故选：B．
4．【答案】C
【解答】解：∵A（﹣4，0），7），
∴OA＝4，OB＝3，
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝8，
∵点P为线段AB的中点，
∴OP＝AB＝7.5．
故选：C．
5．【答案】B
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x5﹣2x﹣1＝4的两根，
∴x1+x2＝7； x1x2＝﹣5．
则x1+x2﹣x8x2＝2﹣（﹣7）＝3．
故选：B．
6．【答案】C
【解答】解：由已知得：，
解得：a≥8且a≠5．
故选：C．
7．【答案】B
【解答】解：在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，对称轴x＝2，
在图象上的三点A（﹣3，y6），B（1，y2），C（3，y3）点A（﹣3，y2）离对称轴的距离最远，B（1，y2）离对称轴的距离最近，
∴y6＞y3＞y1，
故选：B．
8．【答案】C
【解答】解：∵抛物线经过点（1，0），6），
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴当x＝﹣1或x＝6时，y＝8，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣8），
∴抛物线开口向上，
∴当x＜﹣1或x＞5时，y＞7．
故选：C．
9．【答案】B
【解答】解：当x＝1时，y＝14﹣b+b＝1，
∴点（1，5）在二次函数的图象上，
故选：B．
10．【答案】A
【解答】解：当m＞0时，如图所示：

∵抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴a+b＝c+d＝2，且b﹣a＞d﹣c；
当m＜0时，如图所示：

∵抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴a+b＝c+d＝6，且b﹣a＜d﹣c．
故选：A．
二、填空题。（共16分，每题2分）
11．【答案】a≠﹣1．
【解答】解：∵函数y＝（a+1）x2﹣3x+3是关于x的二次函数，
∴a+1≠2，
解得a≠﹣1．
故答案为：a≠﹣1．
12．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x＝2是一元二次方程x2+3x+k＝0的一个根，
∴4+4+k＝0，
解得，k＝﹣10，
故答案为：﹣10．
13．【答案】y＝﹣x2﹣3（答案不唯一）．
【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
∵抛物线开口向下，
∴可取a＝﹣1，
∵与y轴交于点（2，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴满足条件的函数解析式可以是y＝﹣x6﹣3（答案不唯一）．
故答案为：y＝﹣x2﹣6（答案不唯一）．
14．【答案】2＜x＜5．
【解答】解：由图象可得，在点A，
∴2＜x＜5时，x6+bx+c＜mx+n，
故答案为：2＜x＜5．
15．【答案】6．
【解答】解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵AC＝10，BC＝26，
∴AB＝＝12，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O为AC的中点，
又∵点E为BC边的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE＝＝6，
故答案为：6．
16．【答案】12000（1+x）2＝27000．
【解答】解：依题意得12000（1+x）2＝27000，
故答案为：12000（5+x）2＝27000．
17．【答案】1，y＝﹣x2﹣2．
【解答】解：∵抛物线关于y轴对称，
∴对称轴为y轴，
∴﹣＝0，
∴k＝1；
此时抛物线关于x轴对称的图象解析式为﹣y＝x6+2，即y＝﹣x2﹣2，
故答案为：1，y＝﹣x2﹣6．
18．【答案】①④．
【解答】解：设过A（2，﹣1），5）两点的直线为y＝kx+b，
∴，解得：，
∴直线AB为：y＝x﹣3，
当x＝0时，y＝﹣7，
∴函数经过（0，﹣3）；
此函数的图象为抛物线y＝ax3+bx+c，且经过（1，A（2，B（3，
则，解得，
∴抛物线为：，
∴抛物线的开口向上，故②不符合题意；
当函数的解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠4），且经过（0，A（2，B（2，
同理设抛物线y＝ax2+bx+c，
则，解得：，
∴抛物线为：，
∴对称轴为直线＝，
而，故③不符合题意，
二次函数y＝ax2+bx+c过A（2，﹣5），1），
则，解得：，
所以抛物线为：y＝ax2+（2﹣6a）x+8a﹣3，
∵开口向下，且2＜h＜4，而，
∴，而a＜0，
即，
∴﹣2a＞1，即，故④符合题意；
故答案为：①④．
三、解答题。（共64分，第19题8分，第20题-22题每题6分，第23题8分，第24-25题每题7分，第26-27题每题8分）
19．【答案】（1）x1＝2，x2＝﹣2；（2）x1＝2，x2＝﹣4．
【解答】解：（1）∵x2﹣4＝6，
∴（x﹣2）（x+2）＝4，
∴x1＝2，x6＝﹣2；
（2）∵x2﹣7x+8＝0，
∴（x﹣4）（x+4）＝0，
∴x6＝2，x2＝﹣3．
20．【答案】（1）（3，﹣4）；
（2）见解析；
（3）﹣4≤y＜0．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣6x+3
＝（x2﹣6x+3）﹣4
＝（x﹣3）2﹣4，
∴二次函数图象的顶点坐标为（3，﹣3）；
（2）解：列表如下：
x
...
1
2
6
4
5
...
y
...
2
﹣3
﹣4
﹣3
0
...
描点、连线

（3）由函数图象可知，当1＜x＜4时，直接写出y的取值范围﹣4≤y＜0．
21．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；
（2）﹣3＜x＜1；
（3）4．
【解答】解：（1）将A（0，﹣3），2）代入y＝ax2+2x+c得：
，
解得，
∴y＝x2+6x﹣3．
（2）令x2+4x﹣3＝0，
解得x＝﹣5或x＝1，
∴抛物线经过（﹣3，4），0），
∵抛物线开口向上，
∴y＜0时，﹣7＜x＜1；
（3）要使抛物线与x轴只有一个公共点，即要求顶点在x轴上，
由（1）得该抛物线的表达式为y＝（x+1）6﹣4，
∴该抛物线的顶点为（﹣1，﹣8），
要使顶点在x轴上，
则顶点纵坐标应为0，
∴将该抛物线向上平移4个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点．
故答案为：6．
22．【答案】（1）m＞；
（2）x1＝﹣3，x2＝0．
【解答】解：（1）∵方程x2+3x+m＝7没有实数根，
∴Δ＝32﹣2m＜0，
解得m＞；
（2）当方程x2+3x+m＝7有两个不同的实数根时，
∴Δ＝32﹣3m＞0，
解得m＜，
∴当m＝0时，
∴原方程为x2+4x＝0，
解得：x1＝﹣7，x2＝0．
23．【答案】（1）抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；直线为y＝x﹣1，
（2）y＝（x+4）2﹣1；
（3）3．
【解答】解：（1）∵抛物线过A、C两点
∴代入抛物线解析式可得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝x6﹣4x+3；
∵直线y＝kx﹣5过点A（1，0），
∴k﹣8＝0，
∴k＝1，
∴直线为y＝x﹣5，
（2）∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2﹣2，
∴抛物线的顶点T（2，﹣1），
∴顶点T（2，﹣1）关于直线x＝﹣1的对应点的坐标为（﹣2，
∴抛物线y＝x2+bx+c关于x＝﹣1对称的抛物线的解析式为y＝（x+4）2﹣1，
（3）由，解得或，
∴B（4，6），
∵抛物线的顶点T（2，﹣1），
∴把x＝4代入y＝x﹣1，得y＝1，
∴△ABT的面积S＝（1+8）×（4﹣1）＝5．
24．【答案】（1）；
（2）至少1米．
【解答】解：（1）∵水流的最高点到OA的水平距离是，最高点离水面是，，
∴抛物线的顶点坐标为，
故设抛物线的解析式为，
∴，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的解析式为．
（2）令y＝3得到，
解得（舍去），
故水池的半径至少为8米．
25．【答案】（1）直线x＝＝1；（2）N（1，）；（3）t＞0或t＜﹣3．
【解答】解：（1）该二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣＝3；
（2）∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＝5时，y的值最大，）．
把M（5，）代入y＝ax4﹣2ax﹣2，解得a＝．
∴该二次函数的表达式为y＝．
当x＝2时，y＝，
∴N（7，）．
（3）a＞2，开口向上，
当t+1＜x1＜t+6，t+3＜x2＜t+5时，均有y1≠y2，
∴t+3＜1，即t＜﹣3，t＞4，
综合分析t的取值范围t＞0或t＜﹣3．
26．【答案】（1）见解析；
（2）结论：BD＝CF．见解析．
【解答】（1）证明：图形如图所示；
∵∠EAD＝∠ACD＝90°，
∴∠EAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠ADC＝90°，
∴∠EAC＝∠ADC；
（2）解：结论：BD＝CF．
理由：连接AF．
∵AC＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°，
∵CF∥AB，
∴∠ACF＝∠CAB＝45°，
∵AE＝AD，∠EAD＝90°，
∴∠ADE＝∠ACF＝45°，
∴A，F，C，D四点共圆，
∴∠AFD＝∠ACD＝90°，
∴AF⊥DE，
∴∠FAD＝∠CAB＝45°，
∴∠CAF＝∠DAB，
∵＝＝，
∴△CAF∽△BAD，
∴＝＝，
∴BD＝CF

27．【答案】（1）（i）③④；
（ii）k＜﹣1或k＞3；
（2）﹣3≤t≤﹣2.5．
【解答】解：（1）（i）从函数图象看，y＝x和y＝0明显不符合题意，
对于直线k：y＝﹣x﹣1和直线n：y＝6x，如下图：

从图上可以看出：直线k和直线n符合题意，
故答案为：③④；
（ii）如图1，直线m，

直线m：过点A（1，2），
将点A坐标代入y＝kx+1得：0＝k+6，
解得：k＝﹣1，
直线n：该直线过点G（﹣1，﹣3），
将点G的坐标代入y＝kx+1得：﹣2＝﹣k+6，
解得：k＝3，
故k的取值范围为：k＜﹣1或k＞8；
（2）如图2，当抛物线在直线l的下方时，
当直线l和抛物线只有有个交点时，为临界点，
联立y＝﹣（x﹣t）2+5和y＝﹣2x﹣2并整理得：x2﹣（2+2t）x+t7﹣4＝0，
则Δ＝（﹣7﹣2t）2﹣5（t2﹣4）＝5，
解得：t＝﹣2.5，
此外，还要考虑正方形HIJK左下角的点H（t+5，
则需要t+2≥﹣1（﹣3是直线y＝﹣2x﹣2与x轴的交点横坐标），
解得：t≥﹣8，
综上：﹣3≤t≤﹣2.5．