数学九年级上册3.1 圆优秀课后练习题

3.1圆浙教版初中数学九年级上册同步练习

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在中，，，那么这个三角形的外接圆直径是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

2.如图，的直径，是的弦，，垂足为，：：，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

3.如图，在中，是边上的高，是的外接圆，连接若，，，则的长(    )

A.
B.
C.
D.

4.平面内有两点，，的半径为，若，则点与的位置关系是(    )

A. 点在外 B. 点在上 C. 点在内 D. 无法判断

5.一张直径为的半圆形卡纸，过直径的两端点剪掉一个三角形，以下四种裁剪图中，所标数据单位：长度不合理的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.如图，在中，，，以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是
(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.已知点在半径为的圆内，则点到圆心的距离可以是(    )

A.  B.  C.  D.

8.如图所示，小华从一个圆形场地的点出发，沿着与半径夹角为的方向行走，走到场地边缘后，再沿着与半径夹角为的方向折向行走按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧上，此时，则的度数是(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.如图，在的网格中，，，是三个格点，其中每个小正方形的边长均为，则的外心可能是(    )

A. 点
B. 点
C. 点
D. 点

10.已知与点在同一平面内，如果的直径为，线段的长为，则下列说法正确的是(    )

A. 点在上 B. 点在内
C. 点在外 D. 无法判断点与的位置关系

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.如图，在中，，，，以为圆心，为半径作，是上一动点，取线段的中点，连结，则的最大长度为          ．
 

12.等腰三角形的底边长为，其外接圆的半径长为，则三角形的面积是__________．

13.在中，，，则这个三角形的外接圆的半径是_______．

14.等腰三角形的底边长为，其外接圆的半径长为，则三角形的面积是___________．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.本小题分
我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆如图，将放在每个小正方形边长均为的网格中，点，，均落在格点上．

用无刻度的直尺画出的最小覆盖圆的圆心保留作图痕迹．
 

求最小覆盖圆的面积．

16.本小题分
如图，中，，为上一点，经过点，，，交于点，过点作，交于点．
求证：
；
．

17.本小题分

如图，在中，为的弦，，是直线上两点，求证：．

18.本小题分

如图，已知，是的两条半径，，分别为，上的两点，且求证：．

19.本小题分
如图，是的直径，平行四边形的一边在直径上，点在上．

如图，当点在上时，请你仅用无刻度的直尺在上取点，使于；
如图，当点在内时，请你仅用无刻度的直尺在上取点，使于．

20.本小题分

如图所示，的外接圆圆心在上，点是延长线上一点，于，交于，且．是的边上的中线．

求证：；

试判断与的位置关系，并证明你的结论．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】略

2.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
连接，先根据的直径，：：求出及的长，再根据勾股定理可求出的长，最后根据垂径定理即可得出结论．
【解答】
解：连接，

的直径，：：，
，，
，
，
．
故选：．

3.【答案】 

【解析】解：连接，过点作于，

，，
，
，
，，
，
，，

，
∽，
即，
解得：，
故选：．
连接，过点作于，根据勾股定理得出，，再由圆周角定理及垂径定理得出，，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
题目主要考查圆周角定理及垂径定理，勾股定理解三角形及相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．

4.【答案】 

【解析】解：的半径为，若，
，
点与的位置关系是点在内，
故选：．
已知圆的半径为，点到圆心的距离是，当时，点在内，当时，点在上，当时，点在外，根据以上内容判断即可．
本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆的半径为，点到圆心的距离是，当时，点在内，当时，点在上，当时，点在外．

5.【答案】 

【解析】解：、、图形中的三角形，满足三角形三边关系定理，且三角形三边长度合理，故A、、不符合题意；
D、如图，过作于，
，
，
，
，
在圆外，
三角形三边长度不合理，
故D不符合题意．
故选：．
由三角形三边关系定理，点和圆的位置关系即可判断．
本题考查三角形三边关系，等腰三角形的性质，勾股定理，点和圆的位置关系，关键是由等腰三角形的性质，勾股定理求出的长．

6.【答案】 

【解析】解：在中，由勾股定理得，
点在内且点在外，
，
故选C．
由勾股定理求出的长度，再由点在内且点在外求解．
本题考查点与圆的位置关系，解题关键是掌握勾股定理．

7.【答案】 

【解析】解：点在半径为的圆内，
点到圆心的距离小于，
所以只有选项A符合，选项B、、都不符合；
故选：．
直接根据点与圆的位置关系进行判断．
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查的是圆的认识和等腰三角形的性质，连接，，利用圆的半径相等构造等腰三角形，利用等腰三角形的底角相等进而推出，再利用，可得的度数，即可得到的度数．
【解答】
解：连接，，如图所示，

由题意知，
，
，
，
，
，
，
在等腰三角形中，
．
故选A．

9.【答案】 

【解析】解：由图可知，是直角三角形，
的外心只能在斜边中点，
由此可知：的外心是点．
故选：．
由图可知，是直角三角形，于是得到的外心在斜边中点，进而可以解决问题．
本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握三角形的外心的性质是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】【分析】
直接根据点与圆的位置关系进行判断．
本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．
【解答】
解：的半径是，线段的长为，
即点到圆心的距离大于圆的半径，
点在外．
故选：．

11.【答案】 

【解析】略

12.【答案】或 

【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的外接圆和外心，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识点，解此题的关键是求出高的长度，此题用的数学思想是分类讨论思想．
如图和，由等腰三角形的外心在三角形的底边的高上，根据勾股定理求出的长，进一步求出的长，根据三角形的面积公式即可求出答案．
【解答】
解：连接或连接并延长交于，连接，
圆是等腰三角形的外接圆，是外心，且，
，，
有两种情况：
如图：

，由勾股定理得：，
即：，
；
如图：

同法可求，，
．
故答案为或．

13.【答案】或 

【解析】【分析】

本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．这个三角形的外接圆直径是斜边长，有两种情况情况：斜边是，即外接圆直径；斜边是，利用勾股定理求出外接圆直径即可求出此题．

【解答】

解：根据题意得，
斜边是时，即外接圆直径是，则半径为；
 斜边是时，即外接圆直径是，则半径为；
故答案为或．

14.【答案】或 

【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的外接圆和外心，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识点，解此题的关键是求出高的长度，此题用的数学思想是分类讨论思想．
如图和，由等腰三角形的外心在三角形的底边的高上，根据勾股定理求出的长，进一步求出的长，根据三角形的面积公式即可求出答案．
【解答】
解：连接或连接并延长交于，连接，
圆是等腰三角形的外接圆，是外心，且，
，，
有两种情况：
如图：

，由勾股定理得：，
即：，
；
如图：

同法可求，，
．
故答案为或．

15.【答案】【小题】

解：如图，点即为所求．

【小题】

半径，

最小覆盖圆的面积为．

【解析】 略
 略

16.【答案】证明：，
，
，
，
又，
，
；
如图，连接，

，，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
． 

【解析】利用等腰三角形的性质证明，利用平行线证明，利用同弧所对的圆周角相等，可得，即可得证；
如图，连接，利用平行线的性质及圆周角定理得出，再利用圆内接四边形的性质证明，从而可得结论．
本题考查平行四边形的判定，圆周角定理，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．

17.【答案】证明：连接，，则，
 

，，，

≌．

．

【解析】见答案

18.【答案】证明：，是的两条半径，．

又，．

在和中，

，．

【解析】见答案

19.【答案】解：如图，延长交于点，连接交于点，点即为所求；
延长交于，作直径，连接交于点，点即为所求．
 

【解析】如图中，延长交于点，连接交于点，因为是直径，所以，利用平行线的性质，可知．
如图中，延长交于，作直径，连接交于点，所以，利用平行线的性质，可知．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，圆的有关知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

20.【答案】见解析

  是  的切线，见解析

【解析】【分析】根据圆周角定理可得  ，则  ，而  ，根据等角的余角相等得到  ，然后根据“”判断  即可证明结论；

根据直角三角形斜边上的中线性质得  ，则  ，所以  ，而  ，于是得到  ，

即  ，然即可判定  是  的切线．

【详解】证明：  为  的直径，

  ，则  ，

  ，

  ，

  ，

  ，

在  和  中

 ，

  ，

  ．

解：  是  的切线．理由如下：

如图：连接  ，

  是  的边  上的中线，  ，

  ，

  ，

  ，

  ，

  ，

  ，

  ，

  ，

  ，

  ，

  是  的切线．

【点睛】本题主要考查了切线的判定定理、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解答本题的关键．