初中浙教版3.7 正多边形精品练习

3.7正多边形浙教版初中数学九年级上册同步练习

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图，正五边形内接于，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

2.已知圆的半径是，则该圆的内接正六边形的面积是(    )

 

A.  B.  C.  D.

3.如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为的正六边形．则原来的纸带宽为
(    )
 

A.  B.  C.  D.

4.在年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案边长为的正六边形放在平面直角坐标系中，若与轴垂直，顶点的坐标为，则顶点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

5.如图，点是正六边形对角线上的一点，且，则正六边形的面积为(    )

A.
B.
C.
D. 随着点的变化而变化

6.如图，已知的内接正六边形的边心距，则该圆的内接正三角形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

7.如图，正六边形螺帽的扳手开口的值为，则(    )

A.
B.
C.
D.

8.如图，边长为的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，那么经过第次旋转后，顶点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

9.如图，在正五边形中，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

10.我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为
(    )
 

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.如图，在中，是的内接正六边形的一边，是的内接正十边形的一边，则          

 

12.如图，在正六边形中，，则它的边长是________．
 

13.如图，在正五边形中，是边的延长线，连接，则的度数是______．

14.如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的周长为，，则周长的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.本小题分

如图，正三角形内接于，若，求的半径．

16.本小题分

如图，点，分别是正五边形的边，上的点，且，交于点．

求证：≌；

求的度数．

17.本小题分
如图，小亮从点处出发，前进米后向右转，再前进米后又向右转，这样走次后恰好回到出发点处．

 

小亮走出的这个边形的每个内角是多少度这个边形的内角和是多少度

小亮走出的这个边形的周长是多少米

18.本小题分
下面是小董设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程．
已知：．
求作：的内接正三角形．
作法：如图，

作直径；
以为圆心，为半径作弧，与交于，两点；
连接，，．
所以就是所求的三角形．
根据小董设计的尺规作图过程，
使用直尺和圆规，补全图形；保留作图痕迹
完成下面的证明：
证明：在中，连接，，，，
，
为等边三角形______填推理的依据．
．
．
同理，
．
______填推理的依据．
是等边三角形．

19.本小题分

教材习题变式如图，正方形的剪去四个角后成为一个正八边形．

若正八边形的边长为，则剪去四个角的面积和为_____；

若正方形的边长为，求正八边形边长．

20.本小题分
如图，，，，，是上的等分点，连结，，，，，得到一个五角星图形和五边形．

 

求的度数．

连结，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：正五边形内接于，
，且，
，
故选B．
利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．
本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，以及圆周角定理．

2.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了正多边形和圆，解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．
根据正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，再根据等边三角形的边长，求出等边三角形的高，再根据面积公式即可得出答案．
【解答】
解：连接、，作于，

则，，
为等边三角形，
，
，，
，
，
正六边形的面积是：，
故选C．

3.【答案】 

【解析】解：边长为的正六边形由个边长为的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，六边形的边和纸带的宽构成含角的直角三角形，
所以原来的纸带宽度．
故选：．
根据正六边的性质，正六边形由个边长为的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，然后求出等边三角形的高即可．
本题考查正六边形的性质和等边三角形的性质．

4.【答案】 

【解析】解：如图，连接交于点，则点，
在中，，，
，，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的坐标为，
故选：．
根据正六边形的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可．
本题考查正多边形与圆，勾股定理，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确计算的前提，理解坐标与图形的性质是解决问题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：如图，连接、相交于点，则点是正六边形的中心，
六边形是正六边形，
，
，
，
，
同理，，
四边形是矩形，
，
由正六边形的性质可得，
，
，


，
故选：．
根据圆内接正六边形的性质得出四边形是矩形，进而得出，由面积之间的关系可得答案．
本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及矩形的判定和性质是正确解答的前提．

6.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接、，过作于，

多边形是正六边形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，．
．
故选：．
连接、，过作于，证出是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．
本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过作于点，
则，
由题意得：，
，，
，
，
故选：．
连接，过作于点，则，由等腰三角形的性质得，即可得出结论．
本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握正六边形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接，把绕点顺时针旋转至，过点作轴于点，过点作轴于点，
在正六边形中，，，
，，
，，
，
，
，
将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，
次一个循环，
，，
经过第次旋转后，顶点的坐标在的位置，
，，
，，
，
≌，
，，
，
经过第次旋转后，顶点的坐标，
故选：．
如图，连接，把绕点顺时针旋转至，过点作轴于点，过点作轴于点，经过第次旋转后，顶点在的位置，先求出点的坐标，再证明≌即可．
本题考查正多边形与圆，掌握坐标与图形变化旋转等知识，学会探究规律的方法是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：正五边形的对角线、相交于点，
，
，
，
，，
，
，
，，
∽，
，
，
即，
，
解得取正值，
故选：．
根据正五边形的性质、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质得出，代入求解即可．
本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质以及一元二次方程，掌握正多边形和圆的性质以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．

10.【答案】 

【解析】【分析】根据题意可得  ，则  ，再根据平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦可得  ，  ，再根据  可得  是等边三角形，则  ，最后结合三角函数即可求解．

【详解】解：连接  ，交  于点，连接  ，

六边形  是  的内接正六边形，

  ，  ，

  ，

  经过圆心，

  ，  ，

  ，

  ，

  是等边三角形，

  ，

在  中，  ，  ，  ，

  ，

  ，

故选C．

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、三角函数综合和圆周角定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．

11.【答案】 

【解析】连结，，，如图．

是内接正六边形的一边，

，

．

是内接正十边形的一边，

．

，
，

．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点．

正六边形中，每个内角为，
，，
，
，，
即边长为．
故答案为．
过点作于点，正六边形中，每个内角为，即，，于是，，
本题考查了正多边形，熟练运用正多边形的内角和公式是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：因为五边形是正五边形，
所以，，
所以，
所以，
故答案为：．
根据正五边形的性质和内角和为，求得每个内角的度数为，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．
本题考查了正五边形．解题的关键是掌握正五边形的性质：各边相等，各角相等，内角和为熟记定义是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：的周长为，则圆的半径为，则，
由正方形的性质，知点是点关于的对称点，
过点作，且使，
连接交于点，取，连接、，则点、为所求点，
理由：，且，
四边形为平行四边形，
，
的周长为最小，
，
的周长的最小值为，
故答案为：．
由正方形的性质，知点是点关于的对称点，过点作，且使，连接交于点，取，连接、，则点、为所求点，进而求解．
本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点、的位置是本题解题的关键．

15.【答案】解：过点作于点，连接，
正三角形内接于，
点即是三角形内心也是外心，
，，
，
解得：，
即的半径为． 

【解析】利用等边三角形的性质得出点既是三角形内心也是外心，进而求出，，再利用锐角函数关系得出即可．
此题主要考查了正多边形和圆，利用正多边形内外心的特殊关系得出，是解题关键．

16.【答案】证明：五边形是正五边形，
，，
在和中，

≌；
解：≌，
，
，
．
即的度数为． 

【解析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正五边形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
利用正五边形的性质得出，，再利用全等三角形的判定得出即可；
利用全等三角形的性质得出，根据，进而得出即可得出答案．

17.【答案】【小题】

这个边形每个内角度数为．多边形外角和为，，解得，这个边形的内角和是

．

【小题】

米．

小亮走出的这个边形的周长是米．

【解析】 略
 略

18.【答案】解：如图，即为所求；


证明：在中，连接，，，，
，
为等边三角形三条边都相等的三角形是等边三角形．
．
．
同理，
．
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，
是等边三角形． 

【解析】本题考查了作图复杂作图，等边三角形的判定，圆心角、弦的关系，掌握圆心角与弦的关系是解题的关键．
利用画圆的方法作出、两点，从而得到；
在中，连接，，，，利用等边三角形的判定方法得到为等边三角形，则，接着分别计算出然后根据圆心角、弧、弦的关系得到，从而判断是等边三角形．

19.【答案】解：正方形剪去四个角后成为一个正八边形，根据正八边形每个内角为度，
，
设剪去边长，可得：
，
解得：负值舍去
则剪去的四个角的面积和为
故答案为：
设正八边形的边长为，则剪掉的等腰直角三角形的直角边为
正方形的边长为

解得，
正八边形的边长为． 

【解析】见答案．

20.【答案】【小题】

，，，，是上的等分点，

，

．

【小题】

如图，
同可得．

，

，

，

，，

，

，
．
 

【解析】 见答案
 见答案