初中数学浙教版九年级上册第4章 相似三角形4.3 相似三角形精品综合训练题

4.4两个相似三角形的判定浙教版初中数学九年级上册同步练习

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图，点为线段的中点，在上取点，分别以，，，为边向上作正方形，，，当时，若，，共线，则图中阴影部分的面积为(    )

 

A.  B.  C.  D.

2.如图，的弦交直径于，，：：，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

3.如图，在中，点、分别在边、上，，，能判断的是(    )

A.
B.
C.
D.

4.如图，等腰中，，点是外一点，分别以，为斜边作两个等腰直角和，并使点落在上，点落在的内部，连结若，则与的面积之比为(    )

A.
B.
C.
D.

5.如图，在中，是边上的高，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

6.如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.如图，∽，，与交于点，，，是的中点，连接，，若点是射线上的动点，下列结论：∽，∽，，，其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.在平面直角坐标系中，直线和，轴交于，两点，在第二象限内找一点，使和相似的三角形个数为
(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.如图，、分别是的边、上的点，若：：则：的值为(    )

A.        
B.
C.
D.

10.如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点，连接、，与相交于点给出下列结论：；；；其中正确的为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.如图，与交于点，要使∽，需要添加一个条件，这个条件可以是______ 写一个即可

12.如图，四边形是内接正方形，，高，则内接正方形边长______．
 

13.已知：如图，在中，，，是的外角平分线，交的延长线于点，那么______

14.如图，在中，，于点，，，则的长是______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.本小题分
如图，在中，点，，分别在，，边上，，．
求证：∽．
设，
若，求线段的长；
若的面积是，求的面积．

16.本小题分
如图，、相交于点，连接、，且，，，，求的长．

17.本小题分
已知：如图，中，，，为边上一点，求证：．
 

18.本小题分
如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．

 

求证：∽．

若，，求的长．

19.本小题分

如图，四边形内接于半圆，是直径，是的中点，延长，交于点．
求证：．
若，，求的长．

20.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴和轴的正半轴上，点的坐标为，点是边上的一动点不与、重合，联结、，过点作射线交的延长线于点，交边于点，．
当时，求直线的解析式；
设，，在点的运动过程中，是否存在，使的面积与的面积之和等于的面积？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
根据正方形的性质证明∽，设，则，，所以，解得，求出、，再根据图形可得正方形正方形DBEF正方形CDKL正方形BCIJ，进而可得结果．
【解答】
解：根据题意可知：，
∽，
，
点为线段的中点，，
，
设，
则，，
，
解得，
，，
正方形正方形DBEF正方形CDKL正方形BCIJ

．

2.【答案】 

【解析】解：连接，．

：：，
可以假设，，
，
，
，，
，，
∽，
，
，
，
负根已经舍去，
．
故选：．
连接，，设，，利用相似三角形的性质构建方程求解
本题考查垂径定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．

3.【答案】 

【解析】解：只有选项D正确，
理由是：，，，
，
，
∽，
，
，
根据选项A、、的条件都不能推出．
故选：．
先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出∽，根据相似推出，根据平行线的判定得出即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：如图，延长交于点．

在中，，
可以假设，，
是等腰直角三角形，
，，
，都是等腰直角三角形，
，，
，
∽，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
如图，延长交于点在中，，可以假设，，分别求出，的面积，可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．

5.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的性质和判定，关键是能根据相似得出比例式．求出，，推出∽，得出比例式，代入求出即可．
【解答】
解：，，
，
，
∽，
，
，，
，
，
故选A．

6.【答案】 

【解析】解：阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C.两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
D.两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，故本选项正确．
故选：．
此题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．

7.【答案】 

【解析】解：∽，
，
，
∽，
，
，
，
∽，故正确，
∽，∽，
，，
，
，
是的中点，则，
，
，
，故正确，
在中，，，
，
∽，
，
，
，
，故正确，
，
，
无法判断∽，故错误．
故选D．
首先证明∽，推出∽，再证明，可得正确，利用直角三角形斜边中线的性质即可判断正确．
本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查相似三角形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
根据相似三角形的相似条件，画出图形即可解决问题．
【解答】
解：如图，

分别过点、点作、的平行线交于点，则与相似全等，
作，垂足为则与相似．
作交于，则与相似．
作垂足为，则与相似．
故选C．

9.【答案】 

【解析】解：：：，
：：，
：：，
，
∽，∽，
，
：，
故选：．
证明：：，得出：：，证明∽，∽，得到，由相似三角形的性质即可解决问题．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证出：：是解决问题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：为等边三角形，
，，
，
∽，
又，
，
，
，，
，
在中，，
，
又，
，
故正确；
，，
，
，
故正确；
，
∽，
，
又与同高，
，
又，不是中点，
，
，
故错误；
，
，
∽，
，
，
又，，
，
故正确，
故选：．
由是等边三角形，得，而，故正确；由，，可判定正确；由∽，得，由与同高，可知，则判定错误，由∽，得，则，可判定正确．
本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：根据图象可知，与为对顶角，
，
根据相似三角形的判定定理：两组角分别对应相等的两个三角形是相似三角形，
得到，即可证明∽．
故答案为：答案不唯一．
根据相似三角形的判定定理：两组角分别对应相等的两个三角形是相似三角形，即可得到答案．
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．

12.【答案】 

【解析】【分析】

此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，设正方形的边长为，根据已知条件可证得∽，由相似三角形的性质可得到，从而得到关于的方程，解方程求出的值即可．

【解答】 

解：设正方形的边长等于，
四边形是正方形，
，
∽，
，
，
解得：．
即．

故答案为．

13.【答案】 

【解析】解：
，
∽
：：
是的外角平分线，


：：
即：：
．
故答案为：．
根据平行线的性质可推得∽，再根据相似三角形的对应边成比例可得出一关系式：：，由外角平分线可推出，则可求解．
本题考查了平行线的性质及相似三角形的判定及性质，注意相似三角形中对应边成比例．

14.【答案】 

【解析】解：在中，，于点，
，，
∽，
，
，
，
，，
∽，
，
，
．
故答案为：．
直接利用射影定理进行计算即可．
本题考查了射影定理，熟练掌握射影定理是解答本题的关键．

15.【答案】解：证明：，
．
，
，
∽；
，
．
，
，
解得：；
，
．
，
∽，
，
． 

【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
由平行线的性质得出，，即可得出结论；
由平行线分线段成比例得出，即可得出结果；
先求出，易证∽，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．

16.【答案】解：，，
∽，
，
，，
，
的长为． 

【解析】此题考查相似三角形的判定与性质，关键是熟练掌握相似三角形的性质．先由，，证明∽，然后列比例式求出的长．

17.【答案】证明：在中，，，．，，，又，∽，． 

【解析】见答案

18.【答案】【小题】

证明：四边形是矩形，

，，．

，，

∽．

【小题】

是的中点，，．

，．

四边形是矩形，．

∽，，

．

【解析】 见答案
 见答案

19.【答案】证明：连接，

是的中点，
，
，，
是直径，
，
在与中，
，
≌，
，
；
解：连接，

由知，，
，
四边形内接于半圆，
，
，
，
，
，
为直径，
，
，
，，
∽，
，
，
，
≌，
，
． 

【解析】连接，根据是的中点，得，根据是直径，知，再利用证明≌，得，从而证明结论；
连接，利用两个角相等证明∽，得，可得的长，从而得出答案．
本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键．

20.【答案】解：由题意知，，，，，
，
，
，
∽，
：：，
设，则，
即，
解得，不合题意，舍去．
的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
，
直线的解析式为；
假设存在符合题意，
过作于点，交于点，则，
与面积之和等于的面积，
，
，，
，
∽，，即，
解得，
，
，
，
，
，
∽，
：：，即，
，的取值范围是；
但时，，
负值舍去，
在点的运动过程中，存在，使与面积之和等于的面积． 

【解析】根据相似三角形的判定定理证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，得到一元二次方程，解方程即可得到的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式；
过作于点，交于点，根据题意得到的面积矩形的面积，求出的长，根据相似三角形的性质求出，利用已知条件可以∽，从而得到：：，由此得到，利用相似三角形的性质得到，最后利用这个解析式计算即可求解．
本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及函数解析式的确定，掌握矩形的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．