湖南省衡阳市第九中学2023-2024学年九年级上学期数学第一次月考数学试题

2023年九中第一次月考

九年级数学

时量：120分钟  总分：120分

一．选择题（共12小题）

1．下列方程中，属于一元二次方程的是（    ）

A．        B．        C．        D．

2．要使式子有意义，a的取值范围是（    ）

A．        B．且        C．或        D．且

3．把方程化成的形式，则a，b，c的值分别为（    ）

A．1，，10        B．1，7，        C．1，，12        D．1，，2

4．将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（    ）

A．        B．        C．        D．

5．下列线段中，能成比例的是（    ）

A．、、、        B．、、、

C．、、、        D．、、、

6．电影《流浪地球2》于2023年1月22日在中国上映，第一天票房约4亿，以后每天票房按相同的增长率增长，前三天票房累计约10亿，若把增长率记作，则方程可以列为（    ）

A．           B．

C．        D．

7．如图，在中，，，，，则的长为（    ）

A．6        B．7        C．8        D．9

8．已知关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为（    ）

A．        B．1        C．        D．1或0

9．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ）

A．        B．        C．        D．

10．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（    ）

A．        B．        C．且        D．

11．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于的一元二次方程的两根，则n的值为（    ）

A．9        B．10        C．9或10        D．8或10

12．如图，已知在矩形ABCD中，E是边AD上的一点，F是AB上一点，，且，，矩形ABCD的周长为，则FC的长为（    ）

A．        B．        C．        D．

二．填空题（共6小题）

13．计算：________．

14．已知，且，则的值为________．

15．已知的整数部分为a，小数部分为b，则________．

16．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程的一个根，则菱形ABCD的周长为________．

17．已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于________．

18．在平面直角坐标系xOy中，记直线为l，点是直线l与y轴的交点，以为边作正方形，使点落在x轴正半轴上，作射线交直线l于点，以为边作正方形，使点落在x轴正半轴上，依次作下去，得到如图所示的图形，则点的坐标是________．

三．解答题（共8小题）

19．计算：（1）        （2）

20．先化简，再求值：，其中．

21．已知，，分别求下列代数式的值；

（1）；        （2）．

22．已知关于的一元二次方程．

（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；

（2）若该方程的两根、是某个等腰三角形的两边长，且该三角形的周长为10，试求m的值．

23．关于x的一元二次方程有实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值．

24．某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．

（1）若除丝绸花边外白色部分的面积为，求丝绸花边的宽度；

（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外还需支付各种费用2000元．根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司把单价降低多少元时，当日所获利润为10000元．

（3）当销售单价定为多少元时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？

25．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则把分别以，为横坐标和纵坐标得到的点称为该一元二次方程的“衍生点”．

（1）若方程为，则该方程的“衍生点”M的坐标为________．

（2）若关于x的一元二次方程的“友好点”为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．

（3）是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的“友好点”M始终在函数的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由．

26．如图，在中，，，．点P从点A开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．

（1）当t为何值时，的面积等于？

（2）当t为何值时，PQ的长度等于？

（3）若点P，Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，的面积等于？

参考答案

一．选择题（共12小题）

1．C．

【考点】一元二次方程的定义

【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程即可．

【解答】解：A．方程是分式方程，选项A不符合题意；

B．方程是二元二次方程，选项B不符合题意；

C．方程是一元二次方程，选项C符合题意；

D．方程是一元一次方程，选项D不符合题意．

2．D．

【考点】分式有意义的条件；7二次根式有意义的条件；

【分析】分子中二次根式的被开方数是非负数，而且分母不能为0，同时满足两个条件，求a的范围．

【解答】解：根据题意，得解得且．

3．A．

【考点】一元二次方程的一般形式

【分析】先把化简，然后根据一元二次方程的一般形式即可得到a、b、c的值．

【解答】解：，

，

，

，

则，，，

4．B．

【考点】解一元二次方程-配方法

【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边除以2，接着把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．

【解答】解：，

，

，

．

5．D．

【考点】比例线段

【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．

【解答】解：根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．

所给选项中，只有D符合，

6．D．

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程

【分析】第一天为4亿，根据增长率为x得出第二天为亿，第三天为亿，根据三天累计为10亿，即可得出关于x的一元二次方程．

【解答】解：设增长率为x，

根据题意得：．

7．C．

【考点】平行线分线段成比例

【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，利用比例性质求出AE，然后计算即可．

【解答】解：，

，即，，．

8．C．

【考点】一元二次方程的定义；一元二次方程的解

【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，一元二次方程的定义求解；把代入原方程即可求得m的值．

【解答】解：把代入方程，得，

解得；

整理得，

即，

．

9．A．

【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴

【分析】根据实数a，b在数轴上的位置确定a、b的符号，再根据二次根式的性质将二次根式进行化简即可．

【解答】解：由实数a，b在数轴上的位置可知，，

原式，

10．C．

【考点】一元二次方程的定义；根的判别式

【分析】因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以且，建立关于k的不等式组，解得k的取值范围即可．

【解答】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，

，且，

解得且．

故答案为且．

11．B．

【考点】一元二次方程的解；根的判别式；等腰直角三角形

【分析】由三角形是等腰三角形，得到①，或，②①当，或时，得到方程的根，把代入即可得到结果；②当时，方程有两个相等的实数根，由可得结果．

【解答】解：三角形是等腰三角形，

①，或，②两种情况，

①当，或时，，b是关于x的一元二次方程的两根，，把代入得，，解得：，

当，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故不合题意，

②当时，方程有两个相等的实数根，

解得：，

12．C．

【考点】矩形的性质；等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质

【分析】根据矩形的性质证明，可得，再根据矩形的周长和DE的长求出．根据勾股定理即可求出FC的长．

【解答】解：在矩形ABCD中，，

，

，

，

，

，

在和中，

，，

矩形ABCD的周长，

，矩形ABCD的周长为，

，

解得．

在中，，，

根据勾股定理，得

，，

．

二．填空题（共6小题）

13．6．

【考点】二次根式的乘除法

【分析】利用二次根式性质将与进行化乘除，然后再写出最简结果即可

【解答】解：

14．12．

【考点】比例的性质

【分析】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用，得出答案．

【解答】解：，

设，，，，，解得：，故．

15．5．

【考点】二次根式的乘除法；估算无理数的大小

【分析】先将分母有理化，然后估算其结果在哪两个整数之间，从而确定a，b的值，然后代入则中计算即可．

【解答】解：，

，，

，，

，

16．16

【考点】三角形三边关系；一元二次方程的应用；菱形的性质

【分析】边AB的长是方程的一个根，解方程求得x的值，根据菱形ABCD的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD的周长．

【解答】解：解方程得：或4

对角线长为6，，不能构成三角形；菱形的边长为4．

菱形ABCD的周长为．

17．6070．

【考点】根与系数的关系

【分析】根据题意，得，进一步可得，根据根与系数的关系可得，，整体代入变形后的代数式即可求出代数式的值．

【解答】解：根据题意，得，

，，，

．

18．．

【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；规律型：点的坐标

【分析】根据一次函数的性质得出、等点的坐标，继而得知、等点的坐标，从中找出规律，求出点的坐标，进而得出结论．

【解答】解：把代入直线，可得：，

所以可得：点的坐标是

把代入直线，可得：，

所以可得：点的坐标是，

同理可得点的坐标是；点的坐标是；

由以上得出规律是的坐标为，

所以点的坐标是．

故答案为：．

三．解答题（共8小题）

19．计算：

【考点】零指数幂；二次根式的混合运算

【解答】解：（1）原式

（2）原式；

20．

【考点】分式的化简求值

【分析】先通分括号里面的，把除式的分子、分母因式分解，再把除法转化为乘法，约分后再代入求值．

【解答】解：

．

当时，原式．

21．6；6

【考点】分母有理化；二次根式的化简求值

【分析】（1）先将x、y进行分母有理化，得到，，再求出与xy的值，然后根据完全平方公式得出，再整体代入即可；

（2）将所求式子变形为，再整体代入即可．

【解答】解：（1），，

，，

；

（2），，

原式．

22．证明见解答；或．

【考点】根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质

【分析】（1）先计算出判别式的值为1，然后根据判别式的意义即可得到结论；

（2）利用求根公式可计算出，，然后讨论：若为腰，为底边，得，②若为腰，为底边，得，从而可得到对应的m的值．

【解答】（1）证明：

该方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：，

，，

①若为腰，为底边，得，；

②若为腰，为底边，得，；

23．；

【考点】一元二次方程的定义；一元二次方程的解；根的判别式

【分析】（1）利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可；

（2）先求出k的值，再代入方程，求出或，把或代入方程求出m的值即可．

【解答】解：（1）根据题意得，解得；

（2）是符合条件的最大整数，当时的最大整数值是2，

则关于x的方程是，解得：，，

一元二次方程与方程有一个相同的根，

当时，，解得；

而，所以舍去，

当时，，

解得，的值为．

24．；50元；75

【考点】一元二次方程的应用

【分析】（1）设出花边的宽，然后表示出花边的长，利用面积公式表示出其面积即可列出方程求解；

（2）设每件工艺品降价y元出售，则降价y元后可卖出的总件数为件，每件获得的利润为元，此时根据获得的利润卖出的总件数每件工艺品获得的利润，列出次方程，求解即可．

【解答】解：（1）设条带的宽度为，

根据题意，得．

整理，得，

解得，（舍去）．答：丝绸条带的宽度为．

（2）设每件工艺品降价y元出售，

由题意得：．

解得：．

所以售价为（元）．

答：当售价定为50元时能达到利润10000元．

（3）设利润为W，

则

当减价25元时，即定价75元时，利润最大为22500

25．；或；，．

【考点】解一元二次方程-因式分解法；根的判别式；根与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征

【分析】（1）求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点即可解决问题；

（2）①；先确定出点M的坐标，

②进而根据正方形四条边相等构建等式求值即可

（3）求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可；

【解答】解：（1），，

解得：，故方程的衍生点为．

（2），，解得：，，

当时，即；

，即

当时，即；

，即

当时；，即

综上；或

（3）存在．

直线，过定点，

两个根为，，

，，

，

26．t为5或7时；t为或4时；t为4或8时，

【考点】一元二次方程的应用

【分析】

（1）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据三角形的面积公式列方程即可；

（2）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据勾股定理列方程即可；

（3）根据题意表示出BP、BQ的长，再分三种情况，根据三角形的面积公式列方程即可．

【解答】解：根据题意知，．

（1）根据三角形的面积公式，得，

，，解得，．

故当t为5或7时，的面积等于．

（2）设t秒后，PQ的长度等于，根据勾股定理，得

，，解得，．

故当t为或4时，PQ的长度等于．

（3）当时，，即，

则，解得，．

当时，则，，，

则的面积，解得：或8（均舍去）；

当时，，，，

，故方程无实数根．

综上所述，当t为4或8时，的面积等于．