2022-2023学年陕西省西安市铁一中学、滨河中学、铁一陆港中学三校联考九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省西安市铁一中学、滨河中学、铁一陆港中学三校联考九年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图中几何体的左视图为(    )

A.
B.
C.
D.

2.在中，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.若，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，以坐标原点为位似中心，作与位似的，使得与的相似比为，则点的对应点的坐标为(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

5.如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，则点到的距离为(    )

A.
B.
C.
D.

6.小明和小强晚上相约一起测量放学路上路灯的高度小明将一个长为米的木棒平行于地面放置在路灯下，小强测出此时木棒在路灯下影长为米，且木棒距离地面的距离为米，则路灯的高度为(    )

A.  B.  C.  D.

7.如图，、为的两条弦，的半径为，，，连接、，与交于点，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.已知抛物线为常数，且，关于抛物线的下列说法中，不正确的是(    )

A. 抛物线的对称轴为直线
B. 若，则抛物线与轴有两个交点，且交点在轴两侧
C. 若点，在抛物线上，且，，则
D. 若点在抛物线上，则

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.抛物线的顶点坐标是______．

10.正九边形的中心角为______ ．

11.，为一元二次方程的两根，则 ______ ．

12.九章算术中记载着这样的一个问题：“今有邑方，不知大小，各中开门出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何？”大意如下：如图，、为正方形一组对边的中点，中，、、、四点共线，，、、三点共线，且，，，，设正方形的边长为，请根据题意列方程，并将方程整理成一元二次方程的一般形式：______ ．

13.如图，、为反比例函数图象上两点，过作轴于点，过作轴于点，轴于点，、交于点，连接，若，：：，则 ______ ．

14.如图，中，点为延长线上一点，且，若，，则的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.本小题分
．

16.本小题分
解方程：．

17.本小题分

如图，在中，，于点，请用尺规作图法作出的内心保留作图痕迹，不写作法

18.本小题分

如图，▱，平分，平分，求证：四边形是矩形．

19.本小题分

已知一次函数与反比例函数图象交于，．
求反比例函数的表达式；
观察图象，请直接写出不等式的解集．

20.本小题分
某果园有棵橙子树，平均每棵树结个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是根据经验估计，每多种一棵橙子树，平均每棵树就会少结个橙子．
多种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量为个？
多种多少棵树，可以使总产量最高？最高多少个？

21.本小题分
年卡塔尔世界杯倍受世界各地人民的关注为了进一步普及和推广足球运动，发扬光大“足球精神”，某校初三年级体育组在体育第二课堂活动中安排了班级之间的足球比赛经过第一轮的比拼后，四个班级、、、进入半决赛半决赛中对阵班级按如下方式决定：准备四张一模一样的卡片，在卡片的正面写上四个班级的名字，将卡片背面朝上放在桌上，随机地从中依次无放回地抽取两张卡片，抽取到的两张卡片代表的班级比赛，剩余两个班级进行比赛．
求抽第一张卡片时，抽到班的概率；
请用树状图或者列表法求出半决赛中班与班进行比赛的概率．

22.本小题分

如图，小明家对面有一个山坡，一根电线杆直立在山坡上，小明想用学过的数学知识测量电线杆的高度，设计了如下方案：小明在家门口小广场点处，利用测倾器测得电线杆顶端的仰角，从点朝着方向走米到达点，测得电线杆顶端点的仰角，电线杆底端点的仰角，请根据以上数据计算出电线杆的高度已知：测倾器的高度，，，，结果保留根号．

23.本小题分

如图，为的直径，为弦，且于，为延长线上一点，恰好平分．
求证：与相切；
连接，若，求的值．

24.本小题分
已知抛物线：与轴交于、．
求抛物线的表达式；
将抛物线平移得到抛物线，其中点平移后的对应点记为，点平移后的对应的点记为，当以、、、为顶点的四边形为面积为的菱形，且抛物线顶点在轴的右侧时，求平移后得到的抛物线的表达式．

25.本小题分
如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的倍，我们称这样的三角形为倍角三角形，并称这两个角的公共边为底边．

例如：若中，，则为以边为底边的倍角三角形．
问题提出
已知为倍角三角形，且．
如图，若为的角平分线，则图中相等的线段有______ ，图中相似三角形有______ ；
如图，若的中垂线交边于点，连接，则图中等腰三角形有______ ．
问题解决
如图，现有一块梯形板材，，，，，工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，使得点在梯形的边上，且为以为底边的倍角三角形工人师傅在这块板材上的作法如下：
作的中垂线交于点；
在上方的直线上截取，连接并延长，交于点；
连接，得．
请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的想法．
是否存在其它满足要求的？若存在，请画出图形并求出的长；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意知，题中几何体的左视图为．
故选：．
根据三视图的知识得出结论即可．
本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
，
，
故选：．
在中，利用锐角三角函数的定义求出，然后利用勾股定理求出，最后利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
本题考查了同角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
根据已知条件得出，再代入要求的式子进行计算，即可得出答案．
此题考查了比例的性质，熟练掌握两内项之积等于两外向之积是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：以坐标原点为位似中心，作与位似的，使得与的相似比为，
点的对应点的坐标为或．
故选：．
直接利用位似图形的性质，利用如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，即可得出答案．
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．

5.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，，
，，，，
，
，
设点到的距离是，则菱形的高是，
，
，
，
点到的距离是，
故选：．
先由菱形的性质求得，，，再根据勾股定理求得，设点到的距离是，由，得，即可求得，得到问题的答案．
此题重点考查菱形的性质、菱形的面积公式、勾股定理的应用、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，根据勾股定理求出菱形的边长是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：如图所示，米，米，米，
设的长为米，
，
∽，
，
即，
解得，
即路灯的高度为米．
故选：．
根据题意画出相应的图形，将题目中的数据转化为图形中的边的长度．然后根据相似三角形的判定和性质，即可求得的长，从而可以写出路灯的高度．
本题考查相似三角形的应用、中心投影，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接、、、、，
则，
，，
是等边三角形，是等腰直角三角形，
，，
，，
，
故选：．
连接、、、、，证是等边三角形，是等腰直角三角形，得，，再由圆周角定理得，，然后由三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：，
对称轴为直线，
故A正确，不符合题意；
令，则，
设，是方程的两个根，
，
，，
，
与异号，
方程有两个异号的实数根，
抛物线与轴有两个交点，且交点在轴两侧，
故B正确，不符合题意；
点，在抛物线上，且，，
点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
，
故C正确，不符合题意；
若点在抛物线上，则，
抛物线对称轴为，
，且，
，
故D错误，符合题意，
故选：．
根据函数解析式求出对称轴即可判断；设，是方程的两个根，由根与系数的关系得出，根据，，可以得出两根异号，从而判断；根据，和函数性质可以判断；根据抛物线对称轴和抛物线开口方向可以得出，再根据可以判断．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质等知识，关键是对二次函数的性质以及二次函数与方程根的关系的应用．

9.【答案】 

【解析】解：为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为，
故答案为：
已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
考查二次函数的性质，将解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是．

10.【答案】 

【解析】解：设正九边形的中心角为，
正九边形的个中心角的和为，且每个中心角都相等，
，
解得，
正九边形的中心角为，
故答案为：．
设正九边形的中心角为，由正九边形的个中心角的和为，且每个中心角都相等列方程得，解方程求出的值即可．
此题重点考查正多边形和圆、正多边形的中心角的定义等知识，根据一个正多边形的每个中心角都相等且所有中心角的和为列方程是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：，为一元二次方程的两根，
，，
．
故答案为：．
利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：设正方形的边长为，
、为正方形一组对边的中点，
，
，，
，
，
，
∽，
，
即，
整理得．
故答案为：．
根据题意，可知∽，根据相似三角形的对应边成比例即可得到结论．
本题主要考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程．

13.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，

轴，轴，轴，
四边形和四边形为矩形，
设，
则，，
：：，
，，
，
，
，
，
点，在反比例函数图象上，
，
，
即，
反比例函数图象经过第二象限，
．
过点作轴于点，设，根据题意可得，，由：：可得，，再由可得，则，根据反比例函数系数的几何意义得，即，得到，由图可知反比例函数图象经过第二象限，以此即可确定的值．
本题主要考查反比例函数中的几何意义、矩形的性质，熟练掌握在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值是解题关键．

14.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
∽，
，，
，
，
，
，
最大时，最大，则最大，
经过点、、三点画，
，
，
，
是等边三角形，
，
在中，当为直径时，最大为，此时，，
最大为：，
故答案为：．
根据“两角对应相等的两三角形相似”得出∽，根据相似三角形的性质推出，根据线段的和差求出，当最大时，最大，则最大，经过点、、三点画，根据圆周角定理及等边三角形的判定推出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，根据当为直径时，最大求解即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．

15.【答案】解：


． 

【解析】把特殊角的三角函数值，代入进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．

16.【答案】解：，
，
则，
或，
解得，． 

【解析】利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

17.【答案】解：如图，点即为所求．
 

【解析】作平分，交于点，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

18.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
平分，平分，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
平行四边形是矩形． 

【解析】先证四边形是平行四边形，再证，然后由矩形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．

19.【答案】解：，在反比例函数图象上，
，
解得，
，
，
反比例函数；
由图象知：不等式的解集是或． 

【解析】由，在反比例函数图象上，得，即可得出，的坐标，即可求出函数关系式；
直接观察图象即可．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与不等式的关系，利用数形结合思想是解题的关键．

20.【答案】解：设果园多种棵橙子树，可以使橙子的总产量为个，
根据题意得：，
解得，，
答：多种棵或棵橙子树，可以使橙子的总产量为个；
设果园多种棵橙子树时，可使橙子的总产量为个，
则，
，
当时，最大，最大值为，
答：多种棵树，可以使总产量最高，最高个． 

【解析】设果园多种棵橙子树，根据每棵树的产量橙子树列出方程，解方程即可；
设果园多种棵橙子树时，可使橙子的总产量为个，根据每棵树的产量橙子树总产量列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
本题考查二次函数和一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用函数的思想解答．

21.【答案】解：有、、、四张卡片，
抽到班的概率为；
列表如下：

共有种等可能的结果，其中抽到班和班进行比赛的结果有种，
半决赛中班与班进行比赛的概率为． 

【解析】根据概率公式直接得出答案；
根据题意先画列表列求出所有等可能结果数，根据概率公式求解即可．
本题考查了用列表法或树状图法求概率，注意是放回实验还是不放回实验是解题的关键．

22.【答案】解：作交延长线于，设米，

，，
，
，
，
，
米，
，米，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
电线杆的高度是米． 

【解析】作交延长线于，设米，由条件推出米，米，米，由是等腰直角三角形，即可列出关于的方程，求出即可．
本题考查解直角三角形，关键是由条件推出，列出关于的方程．

23.【答案】证明：连接、则，
，
于，
，
平分，
，
，
经过的半径的外端，且，
与相切．
解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值是． 

【解析】连接，则，由于，得，而，则，即可证明与相切；
由等腰三角形的“三线合一”得，由，得，所以，则，所以，则，即可求得．
此题重点考查切线的判定、等腰三角形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

24.【答案】解：将点、代入中，
，
解得，
；
过点作轴交于点，
、，
，
由平移可知，，
四边形是菱形，且面积为，
，
在中，，
抛物线向右平移个单位长，向上或向下平移个单位长，
，
平移后的抛物线解析式为或． 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
根据菱形的性质和面积，求出抛物线向右平移个单位长，向上或向下平移个单位长，即可求平移后的函数解析式．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，函数图象平移的性质是解题的关键．

25.【答案】  ∽  和 

【解析】解：如图，
为的角平分线，
，
，
，
，∽；
故答案为：，∽；
如图，由垂直平分线的性质可知，，
，
，
，
，
；
等腰三角形有和；
故答案为：和．
裁得的型部件符合要求，理由如下：
如图，垂直平分，，
，
，
；
如图，作，其中，，，则，作交的延长线于点，

过点作于点，
，，，，
∽，
：：即：：，
设，则，
，
，即，
解得舍或；
；
如图，过点作于点，

四边形是矩形，，
，
，
，
；
，即；
裁得的型部件符合要求；
存在，如图，作平分交于点，连接并延长交于点，即为所求．

如图，根据倍角三角形的定义可知，，所以，∽；
由等腰三角形的定义可得出结论；
根据题意可知，；作，其中，，，则，作交的延长线于点，过点作于点，可得出；由直角三角形的性质可得；所以，即；由此可得结论
存在，作平分交于点，连接并延长交于点，即为所求．
本题属于三角形背景下新定义类问题，涉及相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角函数的定义等相关知识，根据图形求出的正切值是解题关键．