2023-2024学年湖北省天门市七校联考八年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年湖北省天门市七校联考八年级（上）月考数学试卷（9月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.一个三角形的一个内角等于另外两个内角的和，这个三角形是(    )

A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 何类三角形不能确定

2.如图，直线，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

3.如图，在中，已知点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分面积(    )

A.
B.
C.
D.

4.若一个正边形的每个外角为，则这个正边形的边数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.已知三角形的三边长为、、，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.如图，，，则下列结论错误的是(    )

A. ≌
B. ≌
C.
D.

7.如图，在中，，于点，，若，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

8.如图，在和中，，，与相交于点，与相交于点，与相交于点，有下列结论：；；；≌其中正确结论的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9.如图，，，欲证≌，则补充的条件中不正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.如图，中，点的坐标为，点的坐标为，如果要使与全等，那么符合条件的点有(    )

A. 一个
B. 两个
C. 三个
D. 四个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.若，，是的三边，请化简______．

12.如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点、分别是边、上，将沿着折叠压平，与重合，若，则______．

13.如图直角梯形中，，，，，，，则的面积为______．

 

14.如图所示，，，添加一个适当的条件，使≌，则需要添加的条件是______．

15.如图，轴于点，，，，，则点的坐标是______ ．

16.如图，点、、三点在同一直线上，且，，，若，则______

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

如图在和中，点、、、在同一条直线上有下面四个论断：，，，．
请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，进行证明．
条件是：______ ；
结论是：______ ；
证明：______ ．

18.本小题分
一根长的铁丝围成三角形．
若围成等腰三角形且腰长是底边长的倍，求腰长；
能否围成一边长为的等腰三角形．

19.本小题分

如图，在中，是角平分线，点在边上不与点，重合，与交于点．
若是中线，，，则与的周长差为______ ；
若，是高，求的度数；
若，是角平分线，求的度数．

20.本小题分
如图，在中，，，点是的中点．将一块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与、重合，连接、试猜想线段和的数量及位置关系，并证明你的猜想．

21.本小题分

如图，在中，，，于点，于点求证：
≌；
．

22.本小题分
如图，在和中，，，，点、、三点在同一直线上，连接交于点．
求证：≌；
猜想，有何特殊位置关系，并说明理由．
 

23.本小题分
如图，把一个直角三角形绕着顶点顺时针旋转，使得点旋转到边上的一点，点旋转到点的位置．，分别是，上的点，，延长与交于点．

求证：；
求出的度数．

24.本小题分
问题背景：
如图：在四边形中，，，，，分别是，上的点，且探究图中线段，，之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长到点，使，连接，先证明≌，再证明≌，可得出结论，他的结论应是______；

探索延伸：
如图，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：
如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．

25.本小题分
如图，在中，为锐角，点为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．
如果，，
当点在线段上时与点不重合，如图，线段、所在直线的位置关系为______，线段、的数量关系为______；
当点在线段的延长线上时，如图，中的结论是否仍然成立，并说明理由；
如果，是锐角，点在线段上，当满足什么条件时，点、不重合，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，又一个内角也等于另外两个内角的和，
由此可知这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补，
所以有一个内角一定是，故这个三角形是直角三角形．
故选：．
根据三角形的外角性质和已知条件可得：这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的；又因为外角与它相邻的内角互补，可得一个内角一定是，即可判断此三角形的形状．
本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是利用外角和内角的关系．

2.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
，
，
，
．
故选：．
由三角形的内角和可求得，再由平行线的性质可得，最后由对顶角相等即可判定的度数．
本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．

3.【答案】 

【解析】解：点为的中点，
，
点为的中点，
，
，
点为的中点，
，
即阴影部分的面积为．
故选：．
根据三角形面积公式由点为的中点得到，同理得到，则，然后再由点为的中点得到．
本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．

4.【答案】 

【解析】解：一个正边形的每一个外角都是，
，
故选：．
由多边形的外角和为，结合每个外角的度数，即可求出的值，此题得解．
本题考查了多边形的外角和，牢记多边形的外角和为是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：三角形的三边长为、、，
，
的取值范围是．
故选：．
根据三角形三边关系解答即可．
本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键，本题还要注意是最大边的条件．

6.【答案】 

【解析】解：在和中，
，
≌，故选项A正确，不合题意；
≌，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，故选项B正确，不合题意；
≌，
，故选项C正确，不合题意；
≌，
，证不出，
选项D错误，符合题意；
故选：．
利用判断选项，利用判断选项，再利用全等三角形的性质逐一选项判断、即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟记三角形全等判定方法：、、、是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：于，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故选：．
根据全等三角形的性质求出，求出，即可求出答案．
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出，全等三角形的判定定理有，，，．

8.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
在和，
，
≌，
，，，
故正确；
，
，
，
故错误；
如图，连接，

在和中，
，
≌，
，
，，
，
故正确；
在和，
，
≌故正确；
综上所述，正确的结论是，共有个．
故选：．
只要证明≌，≌，≌，根据全等三角形的性质即可判断．
本题考查了全等三角形的判定和性质，学会利用三次全等解决问题，属于中考常考题型．

9.【答案】 

【解析】解：


，，
在和中，

≌，是可以的；
，
在和中，

≌，是可以的；
，
在和中，

≌，是可以的；
故选C．
从已知看，已经有一边和一角相等，则添加一角或夹这角的另一边即可判定其全等，从选项看只有第三项符合题意，所以其为正确答案，其它选项是不能判定两三角形全等的．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

10.【答案】 

【解析】解：为公共边，点可以关于对称，即为其中一点，
点，关于的中点对称的点也合条件，即，也合条件，
故选：．
由于为公共边，可先找出关于对称的一点，再找出，两点关于的中点对称的点即可．
本题考查了全等三角形的性质及坐标与图形的性质；解题的关键为：了解全等三角形性质的基础上利用对称性解题．

11.【答案】 

【解析】解：、、是的三边，
，，．
即，，．

    
．
故答案为：．
根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即可确定绝对值符号内的式子的符号，从而去掉绝对值符号，然后进行化简即可．
本题考查了三角形的三边关系定理，以及绝对值的性质，正确运用定理：三角形两边之和大于第三边是关键．

12.【答案】 

【解析】解：是翻折变换而成，
，，，
，
．
故答案为：．
先根据图形翻折变化的性质得出≌，，，再根据三角形内角和定理即可求出及的度数，再根据平角的性质即可求出答案．
本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

13.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查梯形的性质和全等三角形的判定与性质的运用，矩形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．
作交延长线于，作于，利用三角形全等的性质，求出的高，然后得出三角形的面积．
【解答】
解：如图，作交延长线于，作于，则．

，，，，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
≌，
，
的面积．
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了三角形全等的判定；答案可有多种．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、添加时注意不能符合，，不能作为全等的判定方法．要使≌，已知一组边与一组角相等，再添加一组对边即可以利用判定其全等．
【解答】
解：添加
，


≌
需要添加的条件是，
故答案为．

15.【答案】 

【解析】解：轴于点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，，
，
，
故答案为：．
由轴于点，得，因为，所以，而，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，则，，，所以，于是得到问题的答案．
此题重点考查图形与坐标、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明≌是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
先证明≌，得出，，由三角形的外角的性质得出，再根据，即可求出．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解决问题的关键．

17.【答案】    ，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
 

【解析】解：条件：；
结论：；
证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
故答案为：；
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
根据全等三角形的判定定理选出条件，结论，并证明即可．
本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．本题是一道开放题，除去不能推出，其他的组合都可以．

18.【答案】解：设围成的等腰三角形的底边长为 ，则腰长为 ，
由题意得：，
解得：，
则，
该等腰三角形的腰长为；
当腰长为时，
则底边长为，
，
该等腰三角形不满足两边之大于第三边，故该等腰三角形不成立；
当底边为时，
则腰长为
、、满足三角形三边关系，
能围成一个腰长为的等腰三角形． 

【解析】设围成的等腰三角形的底边长为 ，则腰长常为 ，根据等腰三角形的周长为列出方程求解即可；
分腰长为或底边长为讨论，再依据三角形的三边关系判断不同情况下的等腰三角形是否成立即可．
本题主要考查一元一次方程的应用、等腰三角形的性质、三角形三边关系．三角形三边关系：三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．三角形的两边差小于第三边．在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．

19.【答案】 

【解析】解：是中线，
，
，，
的周长，的周长为，
．
故答案为：．
是的高，
，
，是的角平分线，
，
，
，
，
，是的角平分线，
，，
，
．
首先由是中线得，再分别求出和的周长，然后再求出它们的差即可；
先根据是的高得，再根据角平分线的定义求出，然后根据三角形的外角定理可得的度数；
先利用三角形的内角和定理求出，由此可根据据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理可求出的度数．
此题主要考查了三角形的内角和是定理，三角形的外角定理，三角形角平分线的定义，三角形高的定义，理解三角形角平分线的定义和三角形高的定义，灵活运用三角形的内角和定理进行角度的计算是解答此题的关键．

20.【答案】解：数量关系为：，位置关系是：．
证明：是直角三角形，，且有一个锐角是，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
在和中
，
≌，
，且，
，
． 

【解析】本题主要考查了全等三角形的判定与应用，证明线段相等的问题一般的解决方法是转化为证明三角形全等．数量关系为：，位置关系是：；利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰直角三角形的性质，即可证得：≌即可证明．

21.【答案】证明：于点，于点，，
，，
，
在和中，

≌．
解：由知，≌，
，，
，
，
． 

【解析】根据等角的余角相等得出，结合已知条件，直接证明≌；
根据全等三角形的性质得，，根据线段的和差关系即可求解．
本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．

22.【答案】证明：，
，即，
在和中，
，
≌，
，理由如下：
如图，设与于，

≌，
，
，，
，
． 

【解析】由“”可证≌；
由全等三角形的性质可得，由三角形内角和定理可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．

23.【答案】证明：在和中，
，
≌，
；

≌，
，
又，
，
． 

【解析】在和中，利用即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
根据全等三角形的对应角相等，以及三角形的内角和定理，即可证得，从而求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，正确证明三角形全等是关键．

24.【答案】解：问题背景：；
探索延伸：结论仍然成立；
理由：延长到点使连接，如图，

，

在和中，

≌，
，，
，
，
，
在和中，

≌，
，
，
；
实际应用：
如图，连接，延长、相交于点，

，，
，
又，，
符合探索延伸的条件，
结论成立，
即海里，
所以此时两舰艇之间的距离海里． 

【解析】【分析】
本题是三角形和四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形．
问题背景：延长到点使连接，即可证明≌，可得，再证明≌，可得，即可得出结论；
探索延伸：延长到点使连接，即可证明≌，可得，再证明≌，可得，即可证明结论；
实际应用：连接，延长、相交于点，与同理可得出结论，则可求出答案．
【解答】
解：问题背景：
如图，延长到点，使，连接，


证明如下：
在和中，

≌，
，，
，，
，
，
在和中，

≌，
，
，
．
故答案为 ；
探索延伸：见答案；
实际应用：见答案．

25.【答案】垂直  相等 

【解析】证明：正方形中，，
，
，
又，
≌，
，，
，即．
故答案为：垂直，相等；
解：当点在的延长线上时的结论仍成立．
由正方形得，度．
，
，
，
又，
≌，
，．
，，
，
，
度．
即．
解：当时，如图．
理由：过点作交的延长线于点，
则，
，，
，
，
，
同角的余角相等，，
≌，
，
，即．
在正方形中，根据得到≌，进而得到，进而推出，即；
 由正方形的性质可推出≌，所以，，结合，，得到，即；
当时，过点作交的延长线于点，则，可推出，所以，结合的证明过程即可完成本题．
本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，掌握判定两个三角形全等的一般方法是解答本题的关键．