2023-2024学年江苏省苏州市虎丘区胥江实验中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市虎丘区胥江实验中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年江苏省苏州市虎丘区胥江实验中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列方程中，一定为一元二次方程的是(    )A.  B.  C.  D. 2.已知是一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是(    )A.  B.  C.  D. 3.若二次函数配方后为，则、的值分别为(    )A. ， B. ， C. ， D. ，4.已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    )A. 且 B. 且 C. 且 D. 5.点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是(    )A.  B.  C.  D. 6.将抛物线向右平移个单位．再向上平移个单位．得到的抛物线是(    )A.  B.
C.  D. 7.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    )A.  B.  C.  D. 8.如图是二次函数是常数，图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是对于下列说法：；；；为实数；当时，，其中正确的是(    )

 A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）9.若，则式子的值为______ ．10.在函数中，当时，随的增大而______填“增大”或“减小”11.设一元二次方程的两根分别是、，计算 ______ ．12.某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是____．13.二次函数的顶点坐标为______．14.已知正比例函数，那么它的图象经过______ 象限．15.二次函数的图象关于原点对称的图象的解析式是______ ．16.已知关于的二次函数，无论取何值，函数图象恒过定点，则点的坐标为______ ．17.如图，校运动会上，初三的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图建立平面直角坐标系．已知实心球运动的高度与水平距离之间的函数关系是则该同学此次投掷实心球的成绩是______

 18.关于的一元二次方程的两个不相等的实数根都在和之间不包括和，则的取值范围是______．三、解答题（本大题共8小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.本小题分
用适当的方法解下列方程：
；用配方法
；
；
；
．20.本小题分
实数使关于的方程有两个实数根，，若，求的值．21.本小题分
已知关于的方程．
求证：不论为何值，方程都有两个不相等的实数根；
若方程一根为，以此时方程两根为等腰三角形两边长，求此三角形的周长．22.本小题分
一款服装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价元，那么平均每天可多售出件．
设每件衣服降价元，则每天销售量增加______ 件，每件商品盈利______ 元用含的代数式表示；
每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利元；
商家能达到平均每天盈利元吗？请说明你的理由．23.本小题分
已知二次函数的图象以为顶点，且过点．
求该函数的关系式；
求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，、两点随图象移至、，求的面积．24.本小题分

如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，对称轴是直线，，，请解答下列问题；
求抛物线的函数解析式；
直接写出抛物线的顶点的坐标，并判断与的位置关系，不需要说明理由．
25.本小题分
定义：与坐标轴不重合的直线交坐标轴于、两点、不重合，若抛物线过点，点，则称此抛物线为直线的“友谊线”
若抛物线为直线的“友谊线”，且过点，求此抛物线的解析式；
已知直线的“友谊线”为，且直线与双曲线交于，，求线段的长；
若有直线，且，对任意的实数，一定存在其“友谊线”为抛物线：，求的取值范围．26.本小题分

如图，二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点．
求该函数的表达式；
点为该函数在第一象限内的图象上一点，过点作，垂足为点，连接．
求线段的最大值；
若以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：方程是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
C.方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.当时，方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．2.【答案】 【解析】解：设方程的另一根为，
是一元二次方程的一个根，
，
解得．
故选：．
设另一根是，直接利用根与系数的关系可得到关于的方程，则可求得答案．
本题有要考查根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．3.【答案】 【解析】解：，
又，
，
，．
故选D．
可将的右边运用完全平方公式展开，再与比较，即可得出、的值．
本题实际上考查了两个多项式相等的条件：它们同类项的系数对应相等．4.【答案】 【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
解得：且．
故选：．
先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是根的判别式及一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的根与的关系式解答此题的关键．5.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．
根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向下，在对称轴的右侧，随的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，与关于对称轴对称，可判断．
【解答】
解：，
对称轴为，
，在对称轴的右侧，随的增大而减小，
，
，
根据二次函数图象的对称性可知，与关于对称轴对称，
故，
故选D．6.【答案】 【解析】解：将抛物线向右平移个单位．再向上平移个单位．得到的抛物线是，
故选：．
根据图象右移减上移加，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，图象的平移规律是：左加右减，上加下减．7.【答案】 【解析】【分析】
本题考查二次函数和一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质．
先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．
【解答】
解：、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项错误；
B、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项正确；
C、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项错误．
故选：．8.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．简称：左同右异常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴判定与的关系以及；当时，；然后由图象确定当取何值时，．
【解答】
解：对称轴在轴右侧，
、异号，
，故正确；
对称轴，
；故正确；
，
，
当时，，
，故错误；
根据图示知，当时，二次函数有最大值；
此时，
所以有，
所以为实数．
故正确．
如图，当时，不只是大于．
故错误．
故选：．9.【答案】 【解析】解：，




．
故答案为：．
把代数式化为的形式，再把的值代入进行计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．10.【答案】增大 【解析】解：函数，
，抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大．
故答案为：增大．
直接利用二次函数的增减性进而分析得出答案．
此题主要考查了二次函数的性质，正确把握二次函数的增减性是以对称轴为界是解题关键．11.【答案】 【解析】解：元二次方程的两根分别是，，
、，
．
故答案为：．
由一元二次方程根与系数的关系得：、，然后再结合完全平方公式即可解答．
本题主要考考查了一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程的一般形式的根与系数的关系为：是一次项数，是常数项是解答本题的关键．12.【答案】 【解析】【分析】
本题考查数量平均变化率问题．原来的数量价格为，平均每次增长或降低的百分率为的话，经过第一次调整，就调整到，再经过第二次调整就是增长用“”，下降用“”．
设该药品平均每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率，则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解．
【解答】
解：设该药品平均每次降价的百分率为，
由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒元，
故，
解得或不合题意，舍去，
故该药品平均每次降价的百分率为．13.【答案】 【解析】解：二次函数，
抛物线的顶点坐标为．
故答案为：．
利用二次函数的顶点式，可确定顶点坐标．
本题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标可将解析式化成顶点式，也可以用顶点坐标公式．14.【答案】一、三 【解析】解：，
或，
又，
．
图象过一、三象限．
故答案为：一、三．
根据正比例函数的定义及解一元二次方程确定，再由正比例函数的性质求解即可．
本题主要考查正比例函数的概念及图象的性质，解一元二次方程，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键．15.【答案】 【解析】解：从抛物线上找三个点，，．
它们关于原点对称的点是，，．
设新函数的解析式为，则．
解得．
故所求解析式为：．
故答案为．
找出抛物线上三个点，然后求出关于原点对称的点代入所设新抛物线的方程即可求解．
本题考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题，解决本题的关键是得到所求抛物线上的三个点，这三个点是原抛物线上的关于原点对称的点．16.【答案】 【解析】解：，
当，即时，函数图象恒过定点，
此时，
定点的坐标为．
故答案为：．
把二次函数化简，再把含有的项提公因式，然后令的系数为求得横坐标，最后求出对应的纵坐标即可得到定点的坐标．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会根据函数的性质求解即可．17.【答案】 【解析】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，
令，则，
整理得：，
解得：，舍去，
该同学此次投掷实心球的成绩为，
故答案为：．
根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可．
本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，理解题意，能把二次函数问题转化为一元二次方程问题是解决问题的关键．18.【答案】 【解析】解：关于的一元二次方程的两个不相等的实数根
，
解得：
实数根都在和之间，
，
，
一元二次方程对应的二次函数图像开口向下，如图所示，

当时，
当 时，，
解得：，
，
故答案为：．
首先根据根的情况利用根的判别式解得的取值范围，然后根据根两个不相等的实数根都在和之间不包括和，结合函数图象确定其函数值的取值范围得的取值范围．
本题主要考查了一元二次方程根的情况及抛物线与轴的交点，数形结合确定当和当时函数值的取值范围是解答此题的关键．19.【答案】解：，
，
，；
，
，
或，
，；
，
，
，；
，
，
，；
，
，

或或或，
，，，． 【解析】利用平方根定义可解得方程的解；
用因式分解法即可；
用公式法即可；
用因式分解法即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，直接开平方法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．20.【答案】解：根据根与系数的关系得，，
，
，
，
即，
，
整理得，
解得，，
，
的值为或． 【解析】根据根与系数的关系得，，再把变形为，所以，接着解关于的方程，然后利用的取值范围确定的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．21.【答案】解：由题意可知：


，
，
，
不论为何值，方程都有两个不相等的实数根．
当代入，
，
原方程化为：，
或
若等腰三角形的腰为，则该三角形的周长为
若等腰三角形的腰为，则，不符合三角形的三边关系
该三角形的周长为。 【解析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于中等题型．22.【答案】   【解析】解：设每件衣服降价元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元．
故答案为：，；
设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又需要让利于顾客，
．
答：每件服装降价元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利元；
商家不能达到平均每天盈利元，理由如下：
设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：．
，
此方程无解，
即不可能每天盈利元．
根据每件服装降价元，那么平均每天可多售出件，可得结论；
设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合需要让利于顾客，即可得出每件服装应降价元；
商家不能达到平均每天盈利元，设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出此方程无解，即不可能每天盈利元．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．23.【答案】解：由顶点，可设函数关系式为，
将点代入解析式得：，
解得：．
则二次函数的关系式为：；

令，
得，
故图象与轴交点坐标为．
令，
得，
解得，．
故图象与轴交点坐标为和；

设抛物线与轴的交点为、在的左侧，
由知：，
当函数图象向右平移经过原点时，与重合，因此抛物线向右平移了个单位
故A，
． 【解析】设函数关系式为，将点坐标代入解析式，求出的值即可求得函数关系式；
分别令，，即可求得函数与轴、轴的交点坐标；
由可知：抛物线与轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出、的坐标．由于不规则，可用面积割补法求出的面积．
本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象交点、图形面积的求法等知识．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．24.【答案】解：对称轴是直线，，
，
根据题意得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
顶点坐标，，理由如下：
当时，，
顶点坐标，
当时，，
，
设直线的解析式为：，
把和代入得：，
解得：，
直线的解析式为：，
同理可得：直线的解析式为：，
． 【解析】利用待定系数法求抛物线的解析式；
根据对称轴求抛物线的顶点的坐标，利用待定系数法求直线和的解析式，由相等可知：．
本题考查了利用待定系数法求抛物线与直线的解析式，一次函数的解析式中的值确定两直线平行的位置关系，抛物线的顶点坐标，熟练掌握利用待定系数法求函数的解析式．25.【答案】解：直线与轴交点为，与轴交点为，
抛物线为直线的“友谊线”，
抛物线经过点，，
设抛物线解析式为，
抛物线又过点，
，
解得：，
抛物线解析式为；
令，则，
与轴的交点为，
令，则，
解得或，
与轴的交点为、，
直线与双曲线交于，，
直线经过第一、三象限，
直线的“友谊线”为，
直线经过点、，
，
解得：，
，
联立方程，
解得：或，
，，
；
直线，且，
，
令，，令，，
直线与轴的交点为，与轴的交点为，
直线的“友谊线”为抛物线：，
抛物线经过点，，
，
整理得：，
或，
当时，，此时与坐标轴的两个交点重合，不合题意；
即，
，即，
，
对任意的实数，直线的“友谊线”一定存在，
，
． 【解析】求出直线与坐标轴的两个交点，再将所求两个交点，与已知点代入抛物线解析求解即可；
求出与坐标轴的交点，再由直线与双曲线交于，，可知直线经过第一、三象限，从而确定直线经过、，求出直线的解析式，再联立方程求出与点的坐标即可求的长；
求出直线与坐标轴的两个交点，将两点代入，得到，当时，与坐标的两个交点重合，不合题意；则可知，由的存在性可知，得到，再由对任意的实数，直线的“友谊线”一定存在，则有，即可求出．
本题考查二次函数与一次函数的综合应用；理解定义，能够将一次函数、二次函数、反比例函数的图象及性质综合应用是解题的关键．26.【答案】解：抛物线解析式为，
即，
则，解得，
所以抛物线解析式为；

作轴于，交于，如图，
，
当时，，则，
设直线的解析式为，
把，得，解得，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
∽，
，即，
，
当时，线段的最大值为；
当时，∽，
此时，点和点关于直线对称，
此时点坐标为；
当时，∽，
，
，
而，
为等腰三角形，
，
，
解得，
此时点坐标为，
综上所述，满足条件的点坐标为或 【解析】设交点式，再展开可得到，解得，然后写出抛物线解析式；
作轴于，交于，如图，先利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，用表示出，再证明∽，利用相似比得到，然后利用二次函数的性质解决问题；
讨论：当时，∽，轴，利用对称性可确定此时点坐标；当时，∽，则，所以为等腰三角形，
则，利用两点间的距离公式得到，然后解方程求出得到此时点坐标．
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式．能运用相似比计算线段的长或表示线段之间的关系；能利用分类讨论的思想解决数学问题．