2023-2024学年江苏省苏州外国语学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

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2023-2024学年江苏省苏州外国语学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列方程是一元二次方程的是(    )
A. ax2+bx+c=0 B. x2−y+1=0 C. x2=0 D. 1x2+x=2
2.已知三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程x2−7x+12=0的一个根，则这个三角形的周长是(    )
A. 12 B. 13 C. 12或13 D. 15
3.下列对二次函数y=−(x+1)2−3的图象描述不正确的是(    )
A. 开口向下 B. 顶点坐标为(−1,−3)
C. 与y轴相交于点(0,−3) D. 当x>1时，函数值y随x的增大而减小
4.在同一直角坐标系中，函数y=ax2+b与y=ax+b(a,b都不为0)的图象的相对位置可以是(    )
A. B.
C. D.
5.如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度(即CD的长)为(    )


A. 40米 B. 30米 C. 25米 D. 20米
6.定义[a,b,c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m−1,1+m,−2m]的函数的一些结论：①当m=3时，函数图象的顶点坐标是(−1,−8)；②当m>1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3；③当m<0时，函数在x>12时，y随x的增大而减小；④不论m取何值，函数图象经过两个定点．其中正确的结论有(    )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7.平面直角坐标系xOy中，P点坐标为(m,2n2−10)，且实数m，n满足2m−3n2+9=0则点P到原点O的距离的最小值为(    )
A. 35 10 B. 125 C. 65 3 D. 45 5
8.定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图，在正方形OABC中，点A(0,2)，点C(2,0)，则互异二次函数y=(x−m)2−m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是(    )



A. 4，−1
B. 5− 172，−1
C. 4，0
D. 5+ 172，−1
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9.已知一元二次方程x2−14x+48=0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______．
10.将关于x的一元二次方程x2−px+q=0变形为x2=px−q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3=x⋅x2=x(px−q)=…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”.已知：x2+x−1=0，且x>0.则x4−2x3+3x的值为______．
11.有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图，求抛物线的解析式是______．


12.若二次函数y=x2+bx−5的对称轴为直线x=2，则关于x的方程x2+bx−5=2x−13的解为______．
13.直线l1：y=kx+2与y轴交于点A，直线l1绕点A逆时针旋转45°得到直线l2，若直线l2与抛物线y=x2+3x+2有唯一的公共点，则k=______．
14.一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y=−112x2+23x+53，则这名男生抛实心球的成绩是______m.
15.已知函数y=(a−1)x2−2ax+a+2的图象与两坐标轴共有两个交点，则a的值为______．
16.已知抛物线y=−x2+5x−6，在1≤x≤5之间的部分记为图象T1，将图象T1沿直线x=1对折得到图象T2，图象T1和T2合成图象T.若过y轴上的点M(0,m)且与y轴垂直的直线l与图象T有且只有两个公共点，则m的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题6.0分)
解方程：
(1)2x2+4x−1=0；
(2)2x(x−1)=2x−1．
18.(本小题8.0分)
解某些高次方程或具有一定结构特点方程时，我们可以通过整体换元的方法，把方程转化为一元二次方程进行求解，从而达到降次或变复杂为简单的目的．
例如：解方程(x2−3)2−5(3−x2)+2=0，
如果设x2−3=y，∵x2−3=y，∴3−x2=−y，用y表示x后代入(x2−3)2−5(3−x2)+2=0得：y2+5y+2=0．
应用：请用换元法解下列各题：
(1)已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8，则x2+y2的值；
(2)解方程：x2+1x2+x+1x=0；
(3)已知a2+ab−b2=0(ab≠0)，求ab的值．
19.(本小题6.0分)
关于x的方程mx2+(m+2)x+m4=0有两个不相等的实数根
(1)求m的取值范围；
(2)是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
20.(本小题6.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx(a>0)经过原点O和点A(2,0)．

(1)写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标；
(2)点(x1,y1)，(x2,y2)在抛物线上，若x1 (3)点B(−1,2)在该抛物线上，点C与点B关于抛物线的对称轴对称，求直线AC的函数关系式．
21.(本小题6.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm.点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动.当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动.设动点运动的时间为t(s)．
(1)试写出△PBQ的面积S(cm2)与t(s)之间的函数表达式；
(2)当t为何值时，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？

22.(本小题8.0分)
定义：在平面直角坐标系xOy中，若函数图象上的点P(x,y)满足x+y=a(其中x≥0，a为常数)，则称点P为函数图象的“a级和点”．
(1)若点(2,m)为反比例函数y=kx图象的“1级和点”，则m= ______ ，k= ______ ；
(2)若2≤a≤4时，直线y=kx+k+3上有“a级和点”，求k的取值范围；
(3)若抛物线y=(x−a)2−a2+3a−74的“a级和点”恰有一个，求a的取值范围．
23.(本小题6.0分)

某游乐场的圆形喷水池中心O有一喷水管OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系(单位长度为1m)，点A在y轴上，水柱所在的抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=−16(x−3)2+2．
(1)求喷水管高OA．
(2)身高为1.7m的小明站在距离喷水管4m的地方，他会被水喷到吗？

24.(本小题8.0分)
数学兴趣小组同学们对二次函数y=nx2−(n+3)x+3(n为正数)进行如下探究：
(1)同学们在探究中发现，该函数图象除与y轴交点不变外，还经过一个定点A，请写出A点坐标______ ；
(2)有同学研究后认为，该二次函数图象顶点不会落在第一象限，你认为是否正确，请说明理由；
(3)若抛物线与x轴有两个交点，且交点与顶点构成的三角形是直角三角形，请帮兴趣小组同学求出n的值．
25.(本小题8.0分)
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点，交y轴于C(0,3)，将该抛物线位于直线y=m(m为常数，m≥0)下方的部分沿直线y=m翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若m=0时，直线y=x+n与图象W有三个交点，求n的值；
(3)若直线y=x与图象W有四个交点，直接写出m的取值范围．

26.(本小题8.0分)
端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．
(1)求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
(2)当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
27.(本小题12.0分)
如图，在直角坐标系中，已知点B的坐标为(−2,0)，且OA=OC=8，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A，B，C三点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，E为AC直线上一动点，F为对称轴上一动点，当A，P，E，F四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求E点的坐标．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：
A、方程二次项系数可能为0，故错误；
B、方程含有两个未知数，故错误；
C、符合一元二次方程的定义，正确；
D、不是整式方程，故错误．
故选C．
本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
(1)未知数的最高次数是2；
(2)二次项系数不为0；
(3)是整式方程；
(4)含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2.【答案】B 
【解析】解：∵方程x2−7x+12=0可化成(x−4)(x−3)=0，
∴x=4或x=3，
∵3+3=6，不能构成三角形，舍去．
∴第三边的长为4．
故三角形的周长为：3+4+6=13．
故选：B．
先求出方程的根，再由三角形的三边关系确定出该三角形的边长，进而可得出结论．
本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程及三角形的三边关系，先根据题意求出x的值是解题的关键．
3.【答案】C 
【解析】解：A、∵a=−1<0，
∴抛物线的开口向下，正确，不合题意；
B、抛物线的顶点坐标是(−1,−3)，故本小题正确，不合题意；
C、令x=0，则y=−1−3=−4，
所以抛物线与y轴的交点坐标是(0,−4)，故不正确，符合题意；
D、抛物线的开口向下，对称轴为直线x=−1，
∴当x>−1时，函数值y随x的增大而减小，故本小题正确，不合题意；
故选：C．
根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，与y轴的交点，掌握其性质是解决此题关键．
4.【答案】A 
【解析】解：A、由抛物线可知，a<0，b<0.由直线可知，a<0，b<0，故本选项正确；
B、由抛物线可知a<0，由直线可知a>0，相矛盾，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a>0，b<0，由直线可知，a>0，b>0，相矛盾，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a>0，b>0，由直线可知，a<0，b>0，相矛盾，故本选项错误；
故选：A．
根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断．
本题考查了一次函数和二次函数的图象．解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象与系数的关系．
5.【答案】A 
【解析】解：以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系：

∴A(−40,0)，B(40,0)，E(0,200)，
设外侧抛物线的解析式为y=a(x+40)(x−40)，将(0,200)代入，得：
200=a(0+40)(0−40)，
解得：a=−18，
∴内侧抛物线的解析式为y=−18x2+200，
将y=150代入得：−18x2+200=150，
解得：x=±20，
∴C(−20,150)，D(20,150)，
∴CD=40m，
故选：A．
以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，再把y=150带入函数解析式则可知点C、D的横坐标，从而可得CD的长．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、熟练掌握待定系数法是解题的关键．
6.【答案】D 
【解析】【分析】
此题考查二次函数的性质，顶点坐标，抛物线与x轴的交点情况，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质和点的坐标特征是解题的关键．
①把m=3代入[m−1,1+m,−2m]，求得[a,b,c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
②首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
③令函数值为0，求得(m−1)x2+(1+m)x−2m=0，解得x1=−1，x2=2mm−1，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；
④根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．
【解答】
解：因为函数y=ax2+bx+c的特征数为[m−1,1+m,−2m]；
①当m=3时，y=2x2+4x−6=2(x+1)2−8，顶点坐标是(−1,−8)，此结论正确；
②当m>1时，令y=0，有(m−1)x2+(1+m)x−2m=0，解得，x1=−1，x2=2mm−1，
|x2−x1|=3m−1m−1>3，所以当m>1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3，此结论正确；
③当m<0时，y=(m−1)x2+(1+m)x−2m是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：x=−m+12(m−1)，在对称轴的左边y随x的增大而增大，
因为当m<0时，−m+12(m−1)=−m−1+22(m−1)=−12−1m−1>−12，即对称轴在x=−12右边，可能大于12，所以在x>12时，y随x的增大而减小，此结论正确，
④当x=1时，y=(m−1)x2+(1+m)x−2m=0即对任意m，函数图象都经过点(1,0)那么同样的：当x=−2时，y=(m−1)x2+(1+m)x−2m=−6，即对任意m，函数图象都经过一个点(−2,−6)，此结论正确．
根据上面的分析，①②③④是正确的．
故选：D．
7.【答案】B 
【解析】解：OP= m2+(2n2−10)2．
由2m−3n2+9=0，得n2=2m+93，将其代入上式，得
OP= m2+4(2m+93−5)2，经整理
OP= 259(m−4825)2+16−(4815)2≥ 16−(4815)2=125．
故选：B．
点P到原点O的距离OP= m2+(2n2−10)2，利用2m−3n2+9=0，解出n2，代入 m2+(2n2−10)2中，逐步整理，最后将被开方数配方，根据二次函数求最值的方法进行求解即可．
本题考查点的坐标，但计算整理过程非常复杂，要求有极强的计算能力，确保计算的正确性．
8.【答案】D 
【解析】【分析】
本题为二次函数综合题，考查了二次函数图象性质．解答关键是研究动点到达临界点时图形的变化，从而得到临界值．
画出图象，从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动，跟正方形有交点时，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．
【解答】
解：如图，由题意可得，互异二次函数y=(x−m)2−m的顶点(m,−m)在直线y=−x上运动，

在正方形OABC中，点A(0,2)，点C(2,0)，
∴B(2,2)，
从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，
∴只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．
当互异二次函数y=(x−m)2−m经过点A(0,2)时，m=2或m=−1；
当互异二次函数y=(x−m)2−m经过点B(2,2)时，m=5− 172或m=5+ 172．
∴互异二次函数y=(x−m)2−m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是5+ 172，−1．
故选：D．
9.【答案】20 
【解析】解：令菱形的对角线分别为：x1，x2，
∵一元二次方程x2−14x+48=0的两个根是菱形的两条对角线长，
∴x1+x2=14，x1x2=48，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴菱形的边长为： (x12)2+(x22)2
= x12+x224
= (x1+x2)2−2x1x24
= 142−2×484
= 196−964
=5，
则菱形的周长为：4×5=20．
故答案为：20．
令菱形的对角线分别为：x1，x2，由根与系数的关系可得x1+x2=14，x1x2=48，再由菱形的性质：菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求得菱形的边长，从而可求解．
本题主要考查根与系数的关系，菱形的性质，解答的关键是熟记根与系数的关系及菱形的性质：对角线互相垂直平分．
10.【答案】6−2 5 
【解析】解：∵x2+x−1=0，
∴x2+x=1，x2=1−x．
∴x4−2x3+3x
=x4+x3−3x3+3x
=x2(x2+x)−3x⋅x2+3x
=x2−3x(1−x)+3x
=1−x−3x+3x2+3x
=1−x−3x+3(1−x)+3x
=1−x−3x+3−3x+3x
=4−4x．
∵方程x2+x−1=0，且x>0的解为：x=−1+ 52．
∴原式=4−4⋅−1+ 52
=4−2(−1+ 5)
=4+2−2 5
=6−2 5．
故答案为：6−2 5．
先求得x2=−x+1，再代入x4−2x3+3x得到原式=4−4x，然后解方程x2−x+1=0求出x，再代入求值即可．
本题考查了整式的变形和解一元二次方程，读懂题意理解“降次法”是解决本题的关键．
11.【答案】y=−0.04x2+1.6x 
【解析】解：设解析式是：y=a(x−20)2+16，
根据题意得：400a+16=0，
解得a=−0.04．
∴函数关系式y=−0.04(x−20)2+16，
即y=−0.04x2+1.6x．
故答案为：y=−0.04x2+1.6x．
根据图象得到：顶点坐标是(20,16)，因而可以利用顶点式求解析式．
利用待定系数法求二次函数解析式，如果已知三点坐标可以利用一般式求解；若已知对称轴或顶点坐标利用顶点式求解比较简单．
12.【答案】x1=2，x2=4 
【解析】解：∵二次函数y=x2+bx−5的对称轴为直线x=2，
∴−b2=2，
解得b=−4，
则x2+bx−5=2x−13可化为x2−4x−5=2x−13，
即x2−6x+8=0，
解得x1=2，x2=4．
故答案为x1=2，x2=4．
本题主要考查二次函数与一元二次方程．
根据对称轴求得b，再解一元二次方程即可得解．
13.【答案】1或12． 
【解析】解：由y=kx+2，y=x2+3x+2可得直线l2与抛物线交于点A(0,2)，
①直线l2与y轴重合满足题意，则直线l1与y轴夹角为45°，如图，

∵OB=2，∠ABO=45°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴OA=OB=2，
∴点B坐标为(−2,0)，
将(−2,0)代入y=kx+2得0=−2k+2，
解得k=1．
②设直线l2解析式为y=mx+2，
令mx+2=x2+3x+2，
Δ=(3−m)2，
当m=3时满足题意．
∴y=3x+2，
把y=0代入y=3x+2得x=−23，
∴直线l2与x轴交点D坐标为(−23,0)，即OD=23，
作DE⊥AD交直线y=kx+2于点E，过点E作EF⊥x轴于点F，

∵∠EAD=45°，
∴AD=DE，
∵∠ADO+∠EDF=90°，∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠EDF，
又∵∠EFD=∠AOD=90°，
在△EFD和△DOA中，
AD=DE∠DAO=∠EDF∠AOD=∠EFD
∴△EFD≌△DOA(AAS)，
∴FD=AO=2，EF=DO=23，
∴OF=FD+AO=83，
∴点E坐标为(−83,23).
将(−83,23)代入y=kx+2得23=−83k+2，
解得k=12．
故答案为：1或12．
根据直线解析式可得l1，l2都经过点(0,2)，分别讨论直线l2与y轴重合或与抛物线相切两种情况，通过添加辅助线构造全等三角形可求出直线y=kx+2上的点坐标，进而求解．
本题考查二次函数与一次函数交点问题，解题关键是掌握函数与方程的关系，通过添加辅助线分类讨论求解．
14.【答案】10 
【解析】解：∵一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y=−112x2+23x+53，
∴当y=0，则0=−112x2+23x+53，
解得：x1=10，x2=−2，
∴这名男生抛实心球的成绩为10m，
故答案为：10．
首先使y=0，进而得出求出该男生掷实心球的距离，于是得到这名男生抛实心球的成绩．
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出该男生掷实心球距离是解题关键．
15.【答案】1，2或−2 
【解析】解：∵函数y=(a−1)x2−2ax+a+2的图象与两坐标轴共有两个交点，
∴当a−1=0时，得a=1，此时y=−2x+1与两坐标轴两个交点，
当a−1≠0时，则a+2≠0(−2a)2−4(a−1)(a+2)=0或a+2=0(−2a)2−4(a−1)(a+2)>0，
解得，a=2或a=−2，
由上可得，a的值是1，2或−2，
故答案为：1，2或−2．
根据函数y=(a−1)x2−2ax+a+2的图象与两坐标轴共有两个交点，可知该函数可能为一次函数，也可能为二次函数，然后分类讨论即可求得a的值，本题得以解决．
本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的思想解答．
16.【答案】m=14或−6≤m<−2 
【解析】解：∵y=−x2+5x−6=−(x2−5x)−6=−(x2−5x+254)+254−6=−(x−52)2+14，
∴抛物线的对称轴为直线x=52，顶点为(52,14)，
∴当x=1时，y=−2，当x=5时，y=−6，
∴在1≤x≤5时，y的最大值为14，最小值为−6，
∵在1≤x≤5之间的部分记为图象T1，将图象T1沿直线x=1对折得到图象T2，图象T1和T2合成图象T，
∴画出图形如图所示：
，
∵若过y轴上的点M(0,m)且与y轴垂直的直线l与图象T有且只有两个公共点，
∴由图象可知：m=14或−6≤m<−2，
∴m的取值范围为：m=14或−6≤m<−2
故答案为：m=14或−6≤m<−2．
将抛物线化为顶点式可得抛物线的对称轴为直线x=52，顶点为(52,14)，分别求出x=1和x=5时y的值，从而可得在1≤x≤5时，y的最大值为14，最小值为−6，根据题意画出图象T，再根据若过y轴上的点M(0,m)且与y轴垂直的直线l与图象T有且只有两个公共点，结合图象即可得到答案．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．
17.【答案】解：(1)2x2+4x−1=0，
x2+2x=12，
x2+2x+1=32，
(x+1)2=32，
x+1=± 62，
所以x1=−1+ 62，x2=−1− 62，
(2)2x(x−1)=2x−1，
2x2−2x−2x=−1，
x2−2x=−12，
x2−2x+1=12，
(x−1)2=12，
x−1=± 22，
所以x1=1+ 22，x2=1− 22． 
【解析】(1)先利用配方法得到(x+1)2=32，然后利用直接开平方法解方程；
(2)先利用配方法得到(x−1)2=12，然后利用直接开平方法解方程．
本题考查了解一元二次方程−配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
18.【答案】解：(1)设x2+y2=m，
原方程化为：(m+1)(m+3)=8，
m2+4m−5=0，
b2−4ac=36>0，
∴方程有两个不想等的实数根，
解得m1=−5，m2=1，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2=1．
(2)设x+1x=m，
原方程化为：m2+m−2=0，
(m+2)(m−1)=0，
m+2=0或m−1=0，
m1=−2或m2=1．
∴x+1x=−2，
x2+2x+1=0，
(x+1)2=0，
x1=x2=−1，
经检验是原方程的解，
∴x=−1．
x+1x=1，
x2+x+1=0，
b2−4ab<0，
∴此方程无解．
综上所述，x=−1．
(3)原方程化为：a2b2+abb2−1=0，
(ab)2+ab−1=0，
∴ab=−1± 52，
∴ab=−1+ 52，ab=−1− 52． 
【解析】(1)设x2+y2=m，方程变形后用求根公式求解，再根据x2+y2≥0，这个条件确定最后结果；
(2)设x+1x=m，方程变形后用十字相乘法求m，代入设的条件求出x；
(3)首先等式两边都除以b2，把原方程转化为一元二次方程，解出即可．
本题考查了换元法求解，掌握如何换元是解题关键．
19.【答案】解：(1)由△=(m+2)2−4m⋅m4>0，得m>−1
又∵m≠0
∴m的取值范围为m>−1且m≠0；(5分)

(2)不存在符合条件的实数m.(6分)
设方程两根为x1，x2则x1+x2=−m+2mx1x2=141x1+1x2=0，
解得m=−2，此时△<0．
∴原方程无解，故不存在．(12分) 
【解析】(1)利用方程有两根不相等的实数根可以得到△=(m+2)2−4m⋅m4>0，解得m的取值范围即可；
(2)假设存在，然后利用根的判别式求得m的值，根据m的值是否能使得一元二次方程有实数根作出判断即可．
本题考查了根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是利用方程的根的情况得到m的取值范围．
20.【答案】解：(1)根据图示，

由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴是直线x=1．
与x轴的交点坐标(0,0)(2,0)．
(2)抛物线的对称轴是直线x=1．
根据图示知，当x<1时，y随x的增大而减小，
所以，当x1y2；
(3)∵对称轴是直线x=1，点B(−1,2)在该抛物线上，
点C与点B关于抛物线的对称轴对称，
∴点C的坐标是(3,2)．
设直线AC的关系式为y=kx+b(k≠0).则
0=2k+b2=3k+b,
解得k=2b=−4．
∴直线AC的函数关系式是：y=2x−4． 
【解析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．解答该题时，需要熟悉二次函数图象的对称性．
(1)根据图示可以直接写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标；
(2)根据抛物线的对称轴与x轴的交点坐标可以求得该抛物线的对称轴是直线x=1，然后根据函数图象的增减性进行解题；
(3)根据已知条件可以求得点C的坐标是(3,2)，所以根据点A、C的坐标来求直线AC的函数关系式．
21.【答案】解：(1)由题意得：PB=(6−t)cm，BQ=2tcm，
S△PBQ=12BQ⋅PB=12×2t(6−t)=−t2+6t；
S=−t2+6t；
(2)∵S=−t2+6t=−(t−3)2+9，
∴当t=3s时，△PBQ的面积最大，最大值是9cm2． 
【解析】(1)利用两点运动的速度表示出PB，BQ的长，进而表示出△PBQ的面积即可；
(2)利用配方法求出函数顶点坐标即可得出答案．
此题是三角形和二次函数的综合题，主要考查了动点运动问题，三角形的面积，二次函数的应用，难度适中，正确表示出PB，BQ的长是解题关键．
22.【答案】−1  −2 
【解析】解：(1)∵点(2,m)为反比例函数y=kx图象的“1级和点”，
∴m+2=1，
解得m=−1，
∴点(2,−1)在反比例函数y=kx图象上，
∴k=−2，
故答案为：−1，−2；
(2)当y=kx+k+3过点(0,2)时，k+3=2，
解得k=−1，
当y=kx+k+3过点(0,4)时，k+3=4，
解得k=1，
∴−1≤k≤1；
(3)①当抛物线y=(x−a)2−a2+3a−74与直线y=−x+a有一个交点时，
(x−a)2−a2+3a−74=−x+a，整理得，x2−(2a−1)x+2a−74=0，
当Δ=0时，(2a−1)2−4(2a−74)=0，
解得a=1或a=2；
②当抛物线y=(x−a)2−a2+3a−74过点(0,a)时，a=78，
∴当a<78时抛物线y=(x−a)2−a2+3a−74的“a级和点”恰有一个，
综上所述：当a=1或a=2或a<78时，抛物线y=(x−a)2−a2+3a−74的“a级和点”恰有一个．
(1)根据新定义，可得方程m+2=1，求出m的值即可求解；
(2)当y=kx+k+3过点(0,2)时，k=−1；当y=kx+k+3过点(0,4)时，k=1；由此确定k的取值范围即可；
(3)分两种情况讨论：①当抛物线y=(x−a)2−a2+3a−74与直线y=−x+a有一个交点时，可得方程(x−a)2−a2+3a−74=−x+a，根据Δ=0，求出a=1或a=2；②当抛物线y=(x−a)2−a2+3a−74过点(0,a)时，a=78，则当a<78时抛物线y=(x−a)2−a2+3a−74的“a级和点”恰有一个．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解“a级和点”的定义，满足“a级和点”的点都在直线y=−x+a上是解题的关键．
23.【答案】解：(1)当x=0时，y=−16×(0−3)2+2=12，
∴点A的坐标为(0,12)，
∴喷水管高OA为12m.
(2)对于y=−16(x−3)2+2，
令x=4，则y=−(4−3)2+2=116>1.7，
∴小明不会被水喷到． 
【解析】(1)当x=0时，代入求解即可；
(2)令x=4，得出y值，与身高比较即可．
题目主要考查二次函数的应用，理解题意，求出相应的函数值比较是解题关键．
24.【答案】(1,0) 
【解析】解：(1)y=nx2−(n+3)x+3=n(x2−x)−3x+3，
当x2−x=0时，函数过定点，即x=0或1，
当x=0时，y=3，当x=1时，y=0，
即函数图象除与y轴交点(0,3)不变，还有点A为(1,0)，
故答案为：(1,0)；

(2)正确，理由：
由抛物线的表达式知，抛物线的顶点坐标为：(n+32n,3−(n+3)24n)，
∵n为正数，则n+32n>0，即对称轴在y轴右侧，
而3−(n+3)24n)=−(n−3)24n≤0，即顶点不在第一象限；

(3)由(2)可大致画出抛物线的图象如下：

设抛物线和x轴的另外一个交点为B，抛物线对称轴交x轴于点H，顶点为D(n+32n,3−(n+3)24n)，
令y=nx2−(n+3)x+3=0，则x=1或3n，
则点B的坐标为(3n,0)，则AB=|1−3n|=2AH，
由题意知，三角形ABD是等腰直角三角形，且∠ADB为直角，
则HD=AH，
即(n+3)24n−2=12=|1−3n|，
解得：n=3(舍去)或1或5，
即n=1或5．
(1)由y=nx2−(n+3)x+3=n(x2−x)−3x+3，当x2−x=0时，函数过定点，即x=0或1，即可求解；
(2)求出抛物线的顶点坐标为：(n+32n,3−(n+3)24n)，即可求解；
(3)由题意知，三角形ABD是等腰直角三角形，且∠ADB为直角，则HD=AH，即(n+3)24n−2=12=|1−3n|，即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质、等腰直角三角形的性质等，其中(3)，绝对值的运用是解题的重点．
25.【答案】解：(1)由题意得a+b+c=09a+3b+c=0c=3，解得a=1b=−4c=3，
∴该抛物线的表达式为y=x2−4x+3；
(2)m=0时，由图象得直线y=x+n与图象W有三个交点时，存在两种情况：
①当直线y=x+n过点A时，与图象W有三个交点，此时n=−1；
②当直线y=x+n与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，
x+n=−x2+4x−3，
x2−3x+n+3=0，
Δ=(−3)2−4×1×(n+3)=0，
∴n=−34，
综上，n的值是−1或−34；
(3)将该抛物线位于直线y=m(m为常数，m≥0)下方的部分沿直线y=m翻折，得到y=−x2+4x−3+2m，
令x=−x2+4x−3+2m，则x2−3x+3−2m=0，
Δ=(−3)2−4×1×(3−2m)=0，
∴m=38，
由y=xy=x2−4x+3，解得x=y=5± 132，
∴若直线y=x与图象W有四个交点，m的取值范围是38 【解析】(1)利用待定系数法即可求得；
(2)利用数形结合找出当y=x+n经过点A或者y=x+n与y=x2−4x+3相切时，直线y=x+n与新图象恰好有三个不同的交点，①当直线y=x+n经过点A(1,0)时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出n值；②当y=x+n与y=x2−4x+3相切时，联立一次函数解析式和抛物线解析式，利用根的判别式Δ=0，即可求出n值．综上即可得出结论；
(3)求得直线y=x与y=x2−4x+3的交点，以及当y=x+n与y=−x2+4x−3+2m相切时m的值，即可求得m的取值范围．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，翻折的性质，两函数交点问题以及根的判别式，解题的关键是：(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)利用数形结合找出直线y=x+n与新图象恰好有三个不同的交点的情况；(3)找出直线y=x与新图象y=−x2+4x−3+2m恰好有三个不同的交点以及直线y=x与y=x2−4x+3的交点是关键．
26.【答案】解：(1)A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，
根据题意得，100x+150y=7000180x+120y=8100，
解得x=25y=30，
答：A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；
(2)设B品牌粽子每袋的销售价降低a元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，利润为w元，
根据题意得，w=(54−a−30)(20+5a)=−5a2+100a+480=−5(a−10)2+980，
∵−5<0，
∴当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元． 
【解析】(1)A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，根据两次进货情况，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)根据：利润=(每台实际售价−每台进价)×销售量，列函数关系式，配方成二次函数的顶点式可得函数的最大值；
本题主要考查二元一次方程组及二次函数的实际应用，理解题意准确抓住相等关系，据此列出方程或函数关系式是解题的关键．
27.【答案】解：(1)∵B的坐标为(−2,0)，
∴OB=2，
∴OA=OC=8，
故点A、C的坐标分别为(8,0)、(0,−8)；
而抛物线的表达式可写为：y=a(x+2)(x−8)=a(x2−6x−16)，
把C(0,−8)代入得：−16a=−8，
解得：a=12，
故抛物线的表达式为：y=12x2−3x−8；
(2)∵直线CA过点C，
∴设其函数表达式为：y=kx−8，
将点A坐标代入上式并解得：k=1，
故直线CA的表达式为：y=x−8，
过点P作y轴的平行线交AC于点H，

∵OA=OC=8，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∵PH//y轴，
∴∠PHD=∠OCA=45°，
设点P(m,12m2−3m−8)，则点H(m,m−8)，
∴PD=HPsin∠PHD= 22(m−8−12m2+3m+8)=− 22(m−4)2+4 2≤4 2，
∴当m=4时，其最大值为4 2，此时点P(4,−12)；
(3)设点E(t,t−8)，点F(3,n)，
当AP是对角线时，由中点坐标公式得：4+8=t+3，
解得：t=9，
则点E(9,1)；
当AE或AF是对角线时，由中点坐标公式得：t+8=4+3或8+3=t+4，
解得：t=−1或7，
则点E(−1,−9)或(7,−1)；
综上，点E的坐标为：(9,1)或(−1,−9)或(7,−1)． 
【解析】(1)根据B点坐标及OA=OC=4OB结合图象即可确定A点，C点的坐标，可将抛物线的表达式写成两点式，然后代入C点坐标即可求出解析式；
(2)求出直线CA的解析式，过点P作y轴的平行线交AC于点H，求出∠PHD=∠OCA=45°，写出PD的表达式根据二次函数的性质求最值即可；
(3)当AP是对角线时，由中点坐标公式列出等式即可求解；当AE或AF是对角线时，同理可解．
本题主要考查二次函数的综合题，涉及到待定系数法求解析式、二次函数和平行四边形的性质等，分类求解是解题的关键．