2023-2024学年福建省福州市仓山区时代中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州市仓山区时代中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列生活中的实例是旋转的是( )
A. 钟表的指针的转动B. 汽车在笔直的公路上行驶
C. 传送带上，瓶装饮料的移动D. 足球飞入球网中
2.在下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，把△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD，则旋转角是( )
A. ∠AOCB. ∠AODC. ∠AOBD. ∠BOC
4.已知⊙O中最长的弦长8cm，则⊙O的半径是( )
A. 2cmB. 4cmC. 8cmD. 16cm
5.用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是( )
A. 点在圆内B. 点在圆上C. 点在圆心上D. 点在圆上或圆内
6.如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=30°，则∠BOD的度数是( )
A. 75°
B. 70°
C. 65°
D. 60°
7.如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为( )
A. 2 3B. 2 2C. 5D. 2
8.如图，⊙O中，弦AB⊥CD于E，若∠A=30°，⊙O的半径等于6，则弧AC的长为( )
A. 6π
B. 4π
C. 5π
D. 8π
9.如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为( )
A. 6
B. 8
C. 5 2
D. 5 3
10.“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，早在1800多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积.如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.在平面直角坐标系中，点A(−2,−3)关于原点对称的点A′的坐标是______．
12.若圆锥的底面半径是5，母线长10，则侧面积是______ ．
13.如图所示，把图中的交通标志图案绕它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为______．
14.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=55°，则∠DCE= ．
15.如图，△ABC中，∠A=50°，若O为△ABC的内心，则∠BOC的度数为______ 度.
16.如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，且∠AOC=120°，⊙O的半径为2，P为圆上一动点，Q为AP的中点，则CQ的长的最大值是______．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8.0分)
如图，在△OAB中，OA=OB，⊙O与AB相切于点C.求证：AC=BC．
18.(本小题8.0分)
“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为多少？
19.(本小题8.0分)
探究圆的面积时，我们把圆面积转化为近似长方形面积，其实圆的面积还可以转化为三角形面积，如图，是一个由若干粗细一致的麻绳围成的圆形茶杯垫，沿半径剪开，展开后得到一个近似的三角形．
(1)这个三角形的底相当于圆的______ ，高相当于圆的______ ．
A.半径
B.直径
C.周长
D.周长的一半
(2)如果圆的半径是r，我们也可以推导出圆形的面积公式：
圆形的面积=三角形的面积=a×h÷2= ______ × ______ ÷2= ______ ．
20.(本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−3,4)，B(−5,2)，C(−2,1)．
(1)画出△ABC关于原点O中心对称的△A1B1C1；
(2)画出△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，并直接写出点A2，B2，C2的坐标．
21.(本小题8.0分)
如图，正三角形ABC的边长为8，点D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，4为半径作圆，求图中阴影部分的面积.(结果保留π)
22.(本小题10.0分)
如图，P为⊙O外一点.求作：过点P的⊙O的切线，并证明.(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
23.(本小题10.0分)
如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分∠BAE交BC于点F，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，求CF的长．
24.(本小题12.0分)
如图1，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．
(1)连接PF，请直接写出线段PF的长度的取值范围______ ．
(2)若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；
(3)判断CF与AC有怎样的位置关系并说明理由．
(说明：图2可以作为备用图)
25.(本小题14.0分)
如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在BC上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB−∠BFD=∠ACB，FG/​/AC交BC于点G，BE=FG，连结BD，DG.设∠ACB=α．
(1)用含α的代数式表示∠BFD；
(2)求证：△BDE≌△FDG；
(3)如图2，AD为⊙O的直径．
①当AB的长为2时，求AC的长；
②当OF：OE=4：11时，求BDAD的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、钟表指针的运动，属于旋转：
B、行驶的汽车，属于平移：
C、传送带上，瓶装饮料的移动，属于平移：
D、足球飞入球网中，属于平移．
故选：A．
根据平移图形的特征，如图两个图形的大小、形状、方向不变，只是位置的不同，这两个图形就是平移：根据旋转图形的特征，如图两个图形的大小、形状不变，只是方向不变，只是位置的不同，这样的两个图形就是旋转，
本题是考查图形的平移与旋转的意义，关键是看方向是否改变，
2.【答案】B
【解析】解：A.该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.该图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D.该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的定义进行判断可得答案．
本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
3.【答案】A
【解析】解：如图，把△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD，
旋转角是∠AOC或∠BOD，
故选：A．
根据旋旋转角的定义即可判断；
本题考查旋转变换，旋转角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，
∴⊙O的半径为4cm．
故选：B．
⊙O最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．
本题考查弦，直径等知识，记住圆中的最长的弦就是直径是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是：点在圆上或圆内．
故选：D．
由于反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．由此即可解决问题．
本题主要考查了反证法的步骤，其中在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠BCD=30°，
∴∠BOD=2∠BCD=2×30°=60°．
故选：D．
根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案．
此题考查了圆周角定理．比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．
7.【答案】A
【解析】解：如图：连接OP，AO
∵大圆的弦AB是小圆的切线
∴OP⊥AB，
∴AP=PB=12AB
在Rt△APO中，AP= AO2−OP2= 3
∴AB=2 3
故选：A．
由题意可得OP⊥AB，AP=BP，根据勾股定理可得AP的长，即可求AB的长．
本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，熟练运用垂径定理是本题是关键．
8.【答案】B
【解析】解：连接OA、OC，
∵AB⊥CD，
∴∠AED=90°，
∴∠D=90°−∠DAE=60°，
由圆周角定理得，∠AOC=2∠D=120°，
∴弧AC的长=120π×6180=4π，
故选：B．
连接OA、OC，根据直角三角形的性质求出∠D，根据圆周角定理求出∠AOC，根据弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式l=nπr180是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查圆周角定理，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形．
延长AO交⊙O于点E，连接BE，由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD知∠BOE=∠COD，据此可得BE=CD=6，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．
【解答】解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，
则∠AOB+∠BOE=180°，
又∵∠AOB+∠COD=180°，
∴∠BOE=∠COD，
∴BE=CD=6，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴AB= AE2−BE2= 102−62=8，
故选B．
10.【答案】C
【解析】解：如图，过A作AC⊥OB于C，
∵圆的内接正十二边形的圆心角为360°12=30°，
∵OA=1，
∴AC=12OA=12，
∴S△OAB=12×1×12=14，
∴这个圆的内接正十二边形的面积为12×14=3，
故选：C．
如图，过A作AC⊥OB于C，得到圆的内接正十二边形的圆心角为360°12=30°，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】(2,3)
【解析】解：点A(−2,−3)关于原点对称的点A′的坐标是(2,3)，
故答案为：(2,3)．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
此题主要考查了两个点关于原点对称，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12.【答案】50π
【解析】解：这个圆锥的侧面积=12×2π×5×10=50π．
故答案为：50π．
由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式可直接计算出这个圆锥的侧面积．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
13.【答案】60°
【解析】解：∵360°÷3=120°，
∴旋转的角度是120°的整数倍，
∴旋转的角度至少是120°．
故答案为：60°．
根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．
本题考查利用旋转设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14.【答案】55°
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠DCE=∠A=55°．
故答案为：55°．
由圆内接四边形的性质，即可得到∠DCE=∠A=55°．
本题考查圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
15.【答案】115
【解析】解：∵∠A=50°，O为△ABC的内心，
∴∠BOC=90°+12∠A=115°．
根据三角形的内心是三角形角平分线的交点，结合三角形的内角和定理，得∠BOC=90°+12∠A=115°．
注意此题中的结论：若O是内心，则∠BOC=90°+12∠A.熟记公式可简化计算．
16.【答案】1+ 7
【解析】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．
∵AQ=QP，
∴OQ⊥PA，
∴∠AQO=90°，
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，
在Rt△OCH中，
∵∠COH=60°，OC=2，
∴OH=12OC=1，CH= 3，
在Rt△CKH中，CK= ( 3)2+22= 7，
∴CQ的最大值为1+ 7
如图，连接OQ，作CH⊥AB于H.首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题；
本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
17.【答案】证明：连接OC，
∵⊙O与AB相切于点C，
∴OC⊥AB，
∵OA=OB，
∴AC=BC．
【解析】连接OC，由切线的性质得出OC⊥AB，由等腰三角形的性质可得出结论．
本题考查了切线的性质和等腰三角形性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
18.【答案】解：如图，连接OA，
∵AB⊥CD，且AB=10，
∴AE=BE=5，
设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x，
∵CE=1，
∴OE=x−1，
在Rt△AOE中，根据勾股定理得
x2−(x−1)2=52，化简得x2−x2+2x−1=25，
即2x=26，
解得x=13，
∴CD=26寸．
答：直径CD的长为26寸．
【解析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE⊥AB得到点E为AB的中点，由AB=10可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案．
此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，做此类题时要多观察，多分析，才能发现线段之间的联系．
19.【答案】C A 2πr r πr2
【解析】解：(1)由图可知，这个三角形的底相当于圆的周长，高相当于圆的半径．
故选：C，A；
(2)当圆的半径为r时，
圆形的面积=三角形的面积=a×h÷2=2rπ×r÷2=πr2．
故答案为：2πr，r，πr2．
(1)根据题中的信息可以得出三角形的底相当于圆的周长，高相当于圆的半径；
(2)根据三角形的面积公式与圆的面积公式进行解答即可．
本题考查圆的面积，能够读懂题意，理解题意是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图：

△A1B1C1即为所求；
(2)如图：

△A2B2C2即为所求；
A2(−4,−3)，B2(−2,−5)，C2(−1,−2)．
【解析】(1)根据中心对称的定义作出A，B，C的对应点，再连成三角形即可；
(2)作出图形，观察可得A2，B2，C2的坐标．
本题考查作图−旋转作图，解题的关键是掌握网格的特征和中心对称的概念．
21.【答案】解：连接AD，则BD=CD，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC=8，
∴BD=CD=4，
即三个圆的半径都是4，
由勾股定理得：AD= AB2−BD2= 82−42=4 3，
∴阴影部分的面积S=S△ABC−3S扇形BFD=12×8×4 3−3×60π×42360=16 3−8π．
【解析】连接AD，根据等边三角形的性质得出AB=AC=BC=8，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，求出圆的半径为4，再分别求出△ABC的面积和三个扇形的面积即可．
本题考查了等边三角形的性质，扇形的面积公式等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
22.【答案】解：如图，PA、PB为⊙O的切线．

证明如下：连接OA、OB，如图，
∵OP为直径，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴PA、PB为⊙O的切线．
【解析】先作OP的垂直平分线，再以OP为直径作圆交⊙O于点A、B，则根据圆周角定理得到∠PAO=∠PBO=90°，所以OA⊥PA，OB⊥PB，然后根据切线的判定方法可判断PA、PB为⊙O的切线．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质．
23.【答案】解：∵正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，
∴DE=2，

∴AE= 42+22=2 5，
∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，
∴AG=AE=2 5，BG=DE=2，∠3=∠4，∠GAE=90°，∠ABG=∠D=90°，
而∠ABC=90°，
∴点G在CB的延长线上，
∵AF平分∠BAE交BC于点F，
∴∠1=∠2，
∴∠2+∠4=∠1+∠3，即∠GAF=∠DAF，
∵∠DAF=∠AFG，
∴∠GAF=∠AFG，
∴GA=GF，
∴GF=GA=AE=2 5，
∴CF=CG−GF=4+2−2 5=6−2 5．
故答案为：6−2 5．
【解析】利用勾股定理计算出AE=2 5，再根据旋转的性质得到AG=AE=2 5，BG=DE=2，∠3=∠4，∠GAE=90°，∠ABG=∠D=90°，于是可判断点G在CB的延长线上，接着证明FA平分∠GAD得到GA=GF=AE，然后计算CG−GF就可得到CF的长．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和勾股定理．
24.【答案】6≤PF≤10
【解析】解：(1)连接DE，
∵四边形DPEF是矩形，
∴PF=DE，
当E与C重合时，DE最小为6，
当E与B重合时，DE最大为 62+82=10，
∴6≤PF≤10，
故答案为：6≤PF≤10；
(2)在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，
∴DC=AB=6，
∴AC= AD2+DC2=10，
要使△PCD为等腰三角形，
①当CP=CD时，AP=AC−CP=10−6=4，
②当PD=PC时，∠PDC=∠PCD，
∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，
∴∠PAD=∠PDA，
∴PD=PA，
∴PA=PC，
∴AP=12AC=5，
③当DP=DC时，如图，过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ=CQ，
∵△ADC=12AD⋅DC=12AC⋅DQ，
∴DQ=AD⋅DCAC=245，
∴CQ= DC2−DQ2=185，
∴PC=2CQ=365，
∴AP=AC−PC=145，
∴若△PCD是等腰三角形时，AP的长为4或5或145；
(3)CF⊥AC，理由如下：
如图，连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，
∵四边形ABCD与四边形PEFD是矩形，
∴∠ADC=∠PDF=90°，
∴∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF，
∴∠ADP=∠CDF，
∵∠BCD=90°，OE=OD，
∴OC=12ED，
在矩形PEFD中，PF=DE，
∴OC=12PF，
∵OP=OF=12PF，
∴OC=OP=OF，
∴∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，
∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°，
∴2∠OCP+2∠OCF=180°，
∴∠PCF=90°，
∴CF⊥AC．
(1)连接DE，由矩形的性质知PF=DE，只有求出DE的最小值和最大值即可；
(2)当CP=CD时，AP=AC−CP=10−6=4，当PD=PC时，利用三角形内角和定理可知AP=PD=PC=5，当DP=DC时，过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ=CQ，首先利用等积法求出DQ的长，再利用勾股定理求出CQ，从而解决问题；
(3)连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，利用直角三角形斜边上中线的性质可知OC=12DE=12PF，从而可得答案．
本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵∠AFB−∠BFD=∠ACB=α①，
又∵∠AFB+∠BFD=180°②，
②−①，得2∠BFD=180°−α，
∴∠BFD=90°−α2；
(2)由(1)得∠BFD=90°−α2，
∵∠ADB=∠ACB=α，
∴∠FBD=180°−∠ADB−∠BFD=90°−α2，
∴DB=DF，
∵FG/​/AC，
∴∠CAD=∠DFG，
∵∠CAD=∠DBE，
∴∠DFG=∠DBE，
在△BDE和△FDG中，
DB=DF∠DFG=∠DBEBE=FG，
∴△BDE≌△FDG(SAS)；
(3)①∵△BDE≌△FDG，
∴∠FDG=∠BDE=α，
∴∠BDG=∠BDF+∠EDG=2α，
∵DE=DG，
∴∠DGE=12(180°−∠FDG)=90°−α2，
∴∠DBG=180°−∠BDG−∠DGE=90°−3α2，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠ABC=∠ABD−∠DBG=3α2，
∴AC与AB所对的圆心角度数之比为3：2，
∴AC与AB的长度之比为3：2，
∵AB的长为2，
∴AC的长为3；
②连接OB，作BM⊥AD于M，

由题意知，△BDF和△BEF都是等腰三角形，
∴EM=MF，
设OE=11，OF=4，
设DE=m，则OB=m+11，OM=3.5，BD=m+15，DM=m+7.5，
∴OB2−OM2=BD2−DM2，
即(m+11)2−3.52=(m+15)2−(m+7.5)2，
解得m=5或m=−12(舍去)，
∴cs∠BDM=MDBD=BDAD=58．
即BDAD=58．
【解析】(1)联立∠AFB−∠BFD=∠ACB=α，∠AFB+∠BFD=180°，即可得出∠BFD的度数；
(2)根据角的关系得出DB=DF，推出∠DFG=∠DBE，又BE=FG，即可根据SAS证明△BDE≌△FDG；
(3)①用α表示出∠ABC的度数，根据度数比等于弧长比计算弧长即可；
②连接OB，作BM⊥AD于M，设OE=11，OF=4，设DE=m，则OB=m+11，OM=3.5，BD=m+15，DM=m+7.5，求出m=5，则可得出答案．
本题主要考查圆的综合题，熟练掌握圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识是解题的关键．