2023-2024学年福建省莆田市城厢区南门学校九年级（上）返校考数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省莆田市城厢区南门学校九年级（上）返校考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

2.如果某函数的图象如图所示，那么随的增大而(    )

A. 增大
B. 减小
C. 不变
D. 有时增大有时减小

3.如图，将两条宽度相同的纸条重叠在一起，使，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

4.如图，直线，和的夹角，且，则两平行线和之间的距离是(    )

A.  B.  C.  D.

5.方程可以配方为(    )

A.  B.  C.  D.

6.如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是(    )

 

A.  B.  C.  D.

7.随着中考结束，初三某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送了张照片，若该班有名同学，则根据题意可列出方程为(    )

A.  B.
C.  D.

8.方程的根的情况是(    )

A. 两实数根的和为 B. 两实数根的积为
C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根

9.如图，与位似，点为位似中心已知，的面积为，则的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

10.如图，在菱形中，对角线，相交于点，要在对角线上找两点，，使得四边形是菱形，现有如图所示的甲、乙两种方案，则正确的方案是(    )

 

A. 只有甲对 B. 只有乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.在平面直角坐标系中，将直线沿轴向上平移个单位后，所得直线的解析式为______ ．

12.设是方程的一个根，则的值为______ ．

13.在中，，若，则的值为______ ．

14.如图，是的中线，，分别是，的中点，连结若，则的长为______ ．

15.已知实数、满足，则 ______ ．

16.如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
计算：．

18.本小题分
解方程：．

19.本小题分
已知关于的一元二次方程．
若方程有实数根，求实数的取值范围；
若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．

20.本小题分

在平行四边形中，于点，点在上，且．
求证：四边形是矩形．
连接，若，，，则平行四边形的面积为______．

21.本小题分

如图，在矩形中，与相交于点．
求作的平分线，分别交、于点、；要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
在的条件下，若，求证：∽．

22.本小题分

某超市以每千克元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克元的价格销售，为了让顾客得到实惠现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量千克与每千克降价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
求与之间的函数关系式．
若超市要想获利元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？

23.本小题分
在学习镜面反射后，小明知道了当入射光线与镜面垂直时，反射光线将与入射光线重合，沿原路返回他利用此现象设计了一个测量物体高度的工具．

在一次实际测量过程中，小明测得测高工具与建筑物的水平距离米，请计算建筑物的高度结果精确到米，参考数据．

24.本小题分
定义：对于一次函数、，我们称函数为函数，的“组合函数”．
若，，试判断函数是否为函数，的“组合函数”，并说明理由；
设函数与的图象相交于点求点坐标用表示；
在的条件下，若，点在函数、的“组合函数”图象的上方，求的取值范围．

25.本小题分

已知正方形，在和边上各有一点，，且，连接，，分别取，的中点，，连接，，．

如图，连接．

求证：．

求的度数．

如图，将绕点旋转，当在正方形外部时，连接，试探究与的数量关系．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是，，，
故选：．
根据二次项系数、一次项系数、常数项的定义即可得出结果．
本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且，在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

2.【答案】 

【解析】解：如图所示，从左往右看，函数图象是下降的，
随的增大而减小，
故选：．
根据函数增减性定义，从左往右看，函数图象是下降的，即可确定随的增大而减小．
本题主要考查了函数的图象，观察函数图象发现函数图象的变化趋势是解决问题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，，
四边形是平行四边形，
，
故选：．
由题意可知，，则四边形是平行四边形，再由平行四边形性质即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，证明四边形为平行四边形是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：如图，作，
直线，和的夹角，
，
是等腰直角三角形，
．
故选：．
根据平行线性质可推出，构造等腰直角三角形即可解答出两平行线和之间的距离．
本题考查特殊角的三角函数值，熟悉特殊角的三角函数值是解本题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：原方程化为：，
所以，
故选：．
根据配方法即可求出答案．
本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．

6.【答案】 

【解析】解：

添加选项后，两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；
添加选项后，两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；
选项C中不是夹这个角的两边，所以不相似；
添加选项后，两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似．
故选：．
此题考查了相似三角形的判定：
如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
根据已知条件及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．

7.【答案】 

【解析】解：若该班有名同学，那么每名学生送照片张，全班应该送照片张，
则可列方程为．
故选：．
若该班有名同学，那么每名学生送照片张，全班应该送照片，那么根据题意可列得方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系是列出方程；弄清每名同学送出的照片是张是解决本题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：在方程中，，
方程没有实数根．
故选D．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此可得出方程没有实数根．
本题考查了根的判别式，熟练掌握“当时，方程无实数根”是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：因为与位似，：：，
所以：：，
又的面积为，
所以．
故选：．
根据位似图形的概念得到∽，再根据相似比为，与之比为相似比的平方．
本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的有关概念和性质是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，，
四边形是菱形，
故方案甲正确；
四边形是菱形，
，，，，
，是和的平分线，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
故方案乙正确．
故选：．
根据菱形的性质可得，，，然后根据给出的方案进行判定即可．
本题考查了菱形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，菱形的判定：四条边都相等的四边形是菱形菱形．对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形．一组邻边相等的平行四边形是菱形．

11.【答案】 

【解析】解：直线沿轴向上平移个单位后，所得直线的解析式．
故答案为：．
根据一次函数的平移可进行求解．
本题主要考查一次函数的平移，熟练掌握函数图象平移的方法“左加右减，上加下减”是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：由题意知，，
，
．
故答案为：．
由题意知，，则，代入求值即可．
本题考查了一元二次方程的解，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握方程的解的定义．

13.【答案】 

【解析】解：，
又，
，
或舍去，
故答案为：．
根据同一锐角的正弦与余弦的平方和为，即可求解．
本题考查了同角三角函数之间的关系，关键是掌握：对任一锐角，都有．

14.【答案】 

【解析】解：是的中线，，
，
，分别是，的中点，
是的中位线，
．
故答案为：．
根据三角形的中线的概念求出，根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：，
又，
，
．
故答案为：．
利用因式分解法解方程即可．
本题考查高次方程的解，解题的关键是学会利用因式分解法解方程．

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
四边形是矩形，
，，
，
≌，
，
，
如图，作点关于点的对称点，连接，

即为的最小值，
，，
，，
，
故答案为：．
先连接，将转化为，再利用将军饮马解决问题即可．
本题考查矩形的性质、勾股定理、将军饮马问题、全等三角形的判定与性质等内容，综合性较强，将转化为是解题的关键．

17.【答案】解：原式


． 

【解析】【分析】
直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而化简得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．

18.【答案】解：原方程可化为：，
或，
解得，，． 

【解析】先把方程化为两个因式积的形式，再求出的值即可．
本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，根据题意把方程化为两个因式积的形式是解答此题的关键．

19.【答案】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：；
方程两实数根分别为，，
，，
已知等式两边平方得：，
变形得：，
代入得：，
整理得：，即，
所以或，
解得：，舍去，
则实数的值为． 

【解析】根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于，求出的范围即可；
利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知等式计算即可求出的值．
此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．

20.【答案】 

【解析】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
解：四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由平行四边形的性质得，，再由，则，得四边形是平行四边形，然后由，得，即可得出结论；
先证四边形是平行四边形，得出，求出，再由平行四边形面积公式即可得出答案．
本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、平行四边形面积的计算等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．

21.【答案】解：如图所示：

证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
平分，
，
，
又，
∽． 

【解析】根据题意画出图形即可；
由矩形的性质可得，由等腰三角形的性质，由角平分线的性质可得，可得结论．
本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，基本作图，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

22.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
将，代入得：，
解得：，
与之间的函数关系式为．
故答案为：．
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要让顾客获得更大实惠，
．
答：这种干果每千克应降价元． 

【解析】观察函数图象，根据图象上点的坐标，利用待定系数法，即可求出与之间的函数关系式；
利用总利润每千克的销售利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要让顾客获得更大实惠，即可得出这种干果每千克应降价元．
本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：根据图中点的坐标，利用待定系数法求出与之间的函数关系式；根据各数量之间的关系，列式计算；找准等量关系，正确列出一元二次方程．

23.【答案】解：过点作垂线，垂足为，过点作垂线，垂足为，交于点．

，，且．
四边形为矩形．
，
又，且，
∽．
．
又，且为中点，
，．
又
．
，得，
又．
．
又，
所以．
故建筑物的高度约为米． 

【解析】通过过点作和的垂线，构造相似三角形，再把所得线段相加，即可求得的长．
本题考查了用相似三角形解决实际问题，理解题意以及构造出合适的相似三角形是解决本题的关键．

24.【答案】解：是函数，的“组合函数”，
理由：由函数，的“组合函数”为：，
把，代入上式，得，
函数是函数，的“组合函数”；
解方程组，得，
函数与的图象相交于点，
点的坐标为，
、的“组合函数”为，
，
，点在函数、的“组合函数”图象的上方，
，整理，得，
，，
的取值范围为． 

【解析】根据的定义新运算的运算规则即可求解；
根据函数图象有交点，联立方程组解方程组，表示出交点的坐标；
根据组合函数的解析式即可求解．
本题主要考查的是一次函数与一元一次不等式，整式的运算，定义新运算，理解定义新运算的运算法则，整式的混合运算是解题的关键．

25.【答案】解：证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
，、分别是的中点，
，，
，，
≌，
，
，
，
．
，理由如下：
如图，连接、，
、分别是、的中点，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，
． 

【解析】由正方形的性质得，，因为，所以，即可证明≌，得；
由，、分别是的中点，得，，则，，即可求得；
连接、，则，由，，点是的中点，得，，则，，由，，得，则，，即可证明∽，得，则，所以．
此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质、锐角三函数与角直角三角形等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．