2023-2024学年辽宁省名校联盟高三上学期10月联合考试数学试卷及参考答案

2023-2024学年辽宁省名校联盟高三上学期10月联合考试

数学试题解析

1.已知集合，集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C 
【解答】由题意得集合
集合，所以所以
 

2.已知复数，则(    )

A.  B. 2i C. 0 D. 2

【答案】A 
【解答】因为，所以，
所以，
 

3.已知命题，是假命题，则实数m的取值范围为(    )

A.  B.
C.  D.

【答案】A 

【解析】由题意，命题p的否定“，”为真命题.
当时，恒成立;
当时，且，解得综上，

4.已知函数且在区间上单调递增，则a的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C 
【解答】由且，得为单调递减函数，
由复合函数单调性法则得，
又解得

5.在中，D，E分别是边BC和AC上的点，且，，BE与AD交于点F，记，，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】A 

【解析】解：如图，过点E作BC的平行线，交AD于点P，
由题得，故，所以，

故选A项.
 

6.2023年8月8日，第31届世界大学生夏季运动会成都世界大学生运动会完美收官.在倒计时100天时，成都大运会发布了官方体育图标——“十八墨宝”.这组“水墨熊猫”以大熊猫“奇一”为原型，将中国体育与中国书画、中国国宝的融合做到了极致.“十八般武艺”造就“十八墨宝”，花式演绎十八项体育竞技，代表了体操、游泳、羽毛球等18个成都大运会竞赛项目，深受广大人民喜爱.其中，射箭的水墨熊猫以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为2cm，弦长为8cm，则弓形的面积约为(    )参考数据：，
 

A.  B.  C.  D.

【答案】C 

【解答】由题意可得，，所以
设圆的半径为R，，，
在中，由勾股定理可得，，所以，，
因为，所以，，
所以，所以扇形面积
又的面积，
所以弓形的面积约为，故选

7.将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，下列说法正确的是(    )

A. 已知4号盒子为空盒子，其他盒子均有球，且每个小球的编号与盒子编号均不相同，则共有9种不同的放法
B. 把4个不同的小球换为4个相同的小球，恰有1个空盒，有9种不同的放法
C. 把4个不同的小球换为15个相同的小球，每个盒子的球数不少于其编号数，则共有52种不同的放法
D. 每个盒内至多放1个球，有24种不同的放法

【答案】D 
【解答】已知4号盒子为空盒子，其他盒子均有球，且每个小球的编号与盒子编号均不相同，则共有4号球与其他球同盒和4号球单独一盒2类情况，共有种不同的放法，故A项错误;
把4个不同的小球换为4个相同的小球，恰有1个空盒，有种不同的放法，故B项错误;
把4个不同的小球换为15个相同的小球，每个盒子的球数不少于其编号数，则共有种不同的放法，故C项错误;
每个盒内至多放1个球，有种不同的放法，故D项正确.故选D项.

8.已知函数满足，当时，且，若当时，有解，则a的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D 
【解答】取，且，则，
，
所以在R上单调递增，
所以当时，有解，即有解.
令，则，设，则在上单调递减，当，
即时，，所以故选D项.

9.已知，，，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

【答案】ABD 

【解答】解：，当且仅当时取等号，故A项正确;
，
所以，当且仅当，即，时取等号，故B项正确;
，当且仅当，即，时取等号，故C项错误;
因为，，，所以，，在时，，所以，故D项正确.
故选ABD项.

10.已知函数，若函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是(    )
 

A. 的最大值为3
B. 的图像关于点对称
C. 直线是曲线的一条切线
D. 若关于x的方程在区间上有2023个零点，则的最小值为

【答案】BCD 

【解答】由题意，的最大值为1，最小值为，
所以有，解得，
因为，，所以，
又，所以，，
函数的解析式为，故A项错误;
令，解得，
所以当时，的图像关于点对称，故B项正确;
设切点为，因为，
所以，切线方程为
所以
所以，满足题意，此时切点为，
切线为，故C项正确;
令，得，此时或，
所以，故D项正确.

11.如图，已知正方体的棱长为2，N为底面ABCD的中心，P为线段上的动点不包括两个端点，M为线段AP的中点，则(    )
 

A. CM与PN共面
B. 平面平面
C. 存在点P使得
D. 当P为线段的中点时，过A，M，N三点的平面截此正方体所得截面的面积为

【答案】AB 
【解答】对于A，连接PC，由正方体性质可得共线，
而PA，AC在所在的平面内，又点M在直线PA上，点N在直线AC上，
均在平面PAC上，故CM与PN共面，A正确；
对于B，由平面ABCD，平面ABCD，，
又，，、平面内
平面，又平面PAN，
平面平面，故B正确；
对于C，若存在P点使得，又，且，面BDP，面BDP，
所以面BDP，而平面，
则面BDP与平面重合，则P与重合即可，
但已知 P为线段上的动点不包括两个端点，推出矛盾，故C错误；
对于D，当 P为线段中点时，过P作，，
所以，连接，
又正方体中，，共面，面PKCA就是过 A， M， N三点的正方体的截面，
因为， ，，所以≌，
则，，所以四边形PKCA是等腰梯形，
由正方体的棱长为2，
则，，取PK的中点则为梯形的高，，截面的面积为，故D错误.
 

12.已知函数有且仅有一个极值点，且该极值点为1，则t的值不可能为(    )

A.  B.  C.  D. 1

【答案】BCD 
【解答】由题意，函数的定义域为，
，
因为恰有一个极值点为1，所以在区间内无解，
即在区间内无解，
令函数，则，
所以函数在区间内单调递增，
当时，，所以

13.已知向量，，若，，则__________.

【答案】 

【解答】由题意得，，，
所以，
所以，解得或
当时，，不符合题意；当时，所以

14.已知等比数列满足，公比为q，前n项和为，令，若为递增数列，则q的取值范围为__________.

【答案】 
【解答】由题意得当时，，
由得，
即，即，即且且当时符合题意.
所以q的取值范围为

15.已知函数且关于x的方程有7个不同实数解，则实数m的取值范围为__________.

【答案】 
【解答】由题意，的图像如图所示，
因为有7个不同实数解，设，
则方程有2个不等实根
，且或，
当，时，，满足题意;
当时，，解得综上，
 

16.若对任意，，当时，，则a的取值范围为__________.

【答案】 
【解答】因为，所以，
所以两边取对数得
因为，所以，所以
设，则满足在上单调递减，
因为，所以在上单调递减，在内单调递增，
所以，即a的取值范围为

17.已知函数的最大值为

求的最小正周期及单调递减区间;

将的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的，得到的图象，求满足的x的取值集合.

【答案】解：


因为的最大值为，所以，
所以，的最小正周期
令，解得，
所以的单调递减区间为
将的图象向右平移个单位长度得到的图象，再将横坐标缩短为原来的，得到
若，则，令，
解得
综上，满足的x的取值集合为 

18.已知各项均为正数的数列，满足：，，

求数列，的通项公式;

求数列的前n项和

【答案】解：由，得，
又，所以当时，，
所以，又，符合上式，，
所以又，所以"
由知，所以，
，
故，所以 

19.已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M在边AB上，，，且，__________.

在①为的一条中线;②为的一条角平分线;③为的一条高线这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答.

求边长

若外接圆的面积为，内切圆的面积为，求的值.

【答案】解：由题意，，所以，所以，
所以因为，所以，
所以，即
因为，所以，又，所以
选择①若CM为的中线，设，
所以，，因为，
所以，所以，，
解得舍或，所以
选择②若CM为的角平分线，则，
在中，由余弦定理得，所以，
又，所以在中，求得，
所以
选择③若CM为的高线，则，因为，所以
所以，所以，所以，所以
设外接圆的半径为R，由正弦定理可得，解得，
所以由题意，，所以的周长，
的面积设内切圆的半径为r，
则，解得，，所以 

20.如图，在斜三棱柱中，点D在底面ABC上的射影恰好是AB的中点，且，

证明：平面平面

求直线CD与平面BCFE所成角的正弦值

【答案】解：取AB的中点O，连接DO，即点D在底面ABC上的射影为O，

则平面ABC，又平面ABC，则，
又，，DO，平面ABED，则平面ABED，
又平面DBC，所以平面平面ABED；
取AC的中点M，连接OM，
以O为原点，分别以OA，OM，OD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，
则，，，，，
则，，，
设平面BCFE的法向量为，
则，令，则，
设直线CD与平面BCFE所成角为，则⟨⟩
 

21.第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛.已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和，其中
甲、乙、丙三人中，哪个人进入决赛的可能性更大?
如果甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求p的值;
在的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为，求的分布列.

【答案】解：由题意可得，记甲、乙、丙三人进入决赛的事件分别为A，B，C，
甲进入决赛的概率，
乙进入决赛的概率，
丙进入决赛的概率
综上，乙进入决赛的概率最大.
设事件D表示甲、乙、丙三人中恰好有两人进入决赛，
则
，
解得或，又，所以
在的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为，的取值范围是，
则甲、乙、丙三人进入决赛的概率分别为，，，
，，
，，
所以的分布列为

22.已知函数

求证：当时，

求证：

【答案】证明：设，则，
所以在内单调递增，所以，即
由题意，，
只需证在区间内恒成立.
设，，
设，在区间内单调递减，
，，，使得，
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，
又，，，，使得，
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减.
因为，，所以在区间内恒成立.
综上，当时，得证.
因为，所以，由可得
令，所以，
所以，，，，，
所以
对，，所以，
所以
--，
所以得证.设，

则，在区间上单调递减，所以
令，，所以，，所以，，，
所以
综上，