新高考数学一轮复习核心考点讲与练考点06 导数及其应用(含解析）

这是一份新高考数学一轮复习核心考点讲与练考点06 导数及其应用(含解析），共102页。试卷主要包含了导数的概念，导数的几何意义，常见函数的导数公式，导数的应用，已知直线等内容，欢迎下载使用。
考点06 导数及其应用（核心考点讲与练）

1．导数的概念
平均变化率瞬时变化率某点的导数在一点可导在区间上可导导函数
2．导数的几何意义：曲线过点的切线的斜率等于．
3．常见函数的导数公式：
（为常数）； ； ； ； ；
（，且）； ； （，且）．
4．两个函数的和、差、积、商的求导法则：
法则1 ．
法则2 ．
法则3 ．
5．导数的应用
⑴利用导数判断单调性；⑵利用导数研究函数的极值与最值．

1.导数研究不等式恒成立问题，求最值问题，关键是将已知不等式分离为两个易于处理的函数之间的不等关系，利用数形结合方法求得a,b满足的条件，得到后，再构造函数，利用导数求最大值.
2.导数研究函数的单调性，根据极值点求参数范围，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第二问解题的关键在于理解极值点的定义，结合符号分类讨论，将问题转化为在局部区间（为足够小的正数）上的函数的符号，在讨论过程中注重引用“隐零点”的问题，实现极值的求解.
3.研究函数的单调性及构造函数证明不等式，解含参数的不等式，通常需要从几个方面分类讨论：
（1）看函数最高次项系数是否为0，需分类讨论；
（2）若最高次项系数不为0，通常是二次函数，若二次函数开口定时，需根据判别式讨论无根或两根相等的情况；
（3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域的比较.
4.利用导数研究函数的极值点以及利用导数解决不等式恒成立时的参数的范围问题，有较强的综合性，要求明确导数与函数的单调性以及极值之间的关系并能灵活应用，解答的关键是构造函数，将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，其中要注意分类讨论.
5.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)考查数形结合思想的应用．
6.利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.


导数的概念和几何意义
一、单选题
1．（2021·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室一模（文））设函数在点处附近有定义，且为常数，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由导函数的定义可得选项.
【详解】解：因为为常数，所以，
故选：C.
2．（2022·贵州黔东南·一模（理））一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（       ）
A．5米/秒 B．8米/秒
C．14米/秒 D．16米/秒
【答案】C
【分析】求导得到，即得解.
【详解】解：由题得，
当时，，
故当时，该质点的瞬时速度为14米/秒．
故选：C
3．（2022·陕西·略阳县天津高级中学二模（理））若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出平行于直线且与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】设平行于直线且与曲线相切的切线对应切点为，

由，则，
令，
解得或（舍去），
故点P的坐标为，
故点P到直线的最小值为：.
故选：A.
4．（2022·广东深圳·二模）已知，若过点可以作曲线的三条切线，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设切点为，切线方程为，求出函数的导函数，即可得到，整理得，令，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极值，依题意有三个零点，即可得到不等式组，从而得解；
【详解】解：设切点为，切线方程为，由，所以，所以，
则，所以，
令，则，
因为，所以当或时，当时，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以当时取得极大值，当时取得极小值，即，，
依题意有三个零点，所以且，即；
故选：B
5．（2022·广东汕头·二模）已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，则t的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设切点，求得切线方程，根据切线过点，得到，再根据存在3条直线与曲线相切，则方程有三个不同根，利用导数法求解.
【详解】解：设切点，
因为，
则，，
所以切线方程为，
因为切线过点，
所以，
即，
令，
则，
令，得或，
当或时，，当时，，
所以当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，
因为存在3条直线与曲线相切，
所以方程有三个不同根，则，
故选：D
6．（2022·安徽合肥·二模（理））过平面内一点作曲线两条互相垂直的切线、 ，切点为、（、不重合），设直线、分别与轴交于点、，则下列结论正确的个数是（       ）
①、两点的横坐标之积为定值；             
②直线的斜率为定值；
③线段的长度为定值；                      
④三角形面积的取值范围为．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设点、的横坐标分别为、，且，分析可知或，利用导数的几何意义可判断①的正误；利用斜率公式可判断②的正误；求出点、的坐标，利用两点间的距离公式可判断③的正误；求出点的横坐标，利用三角形的面积公式可判断④的正误.
【详解】因为，
所以，当时，；当时，，
不妨设点、的横坐标分别为、，且，
若时，直线、的斜率分别为、，此时，不合乎题意；
若时，则直线、的斜率分别为、，此时，不合乎题意.
所以，或，则，，
由题意可得，可得，
若，则；若，则，不合乎题意，所以，，①对；
对于②，易知点、，
所以，直线的斜率为，②对；
对于③，直线的方程为，令可得，即点，
直线的方程为，令可得，即点，
所以，，③对；
对于④，联立可得，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，则当时，，
所以，，④错.
故选：C.
7．（2021·广西桂林·模拟预测（理））设是函数的导函数，若，且对，且总有，则下列选项正确的是（       ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题可得：在R上单调递增，并且的图象是向上凸，进而判断选项
【详解】由，得在R上单调递增
因为，所以，故A不正确；
对，且，总有，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，

由表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，
随着x的增大，的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，
所以，故B不正确；
，表示点与点连线的斜率，
由图可知，所以D正确，C不正确．
故选：D．
二、多选题
8．（2020·山东青岛·模拟预测）已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数可能的取值（       ）
A． B．3 C． D．
【答案】AC
【分析】本题先求导函数并根据题意建立关于的方程，再根据根的分布求的取值范围，最后判断得到答案即可.
【详解】解：∵ ，
∴ ，
可令切点的横坐标为，且，
可得切线斜率即，
由题意，可得关于的方程有两个不等的正根，
且可知，
则，即，
解得：，
所以的取值可能为，.
故选：AC.
【点睛】本题考查求导函数，导数的几何意义，根的分布，是中档题.
9．（2021·全国·模拟预测）已知，（且），则（       ）
A．当时，函数的最小值为2
B．当时，的图象与的图象相切
C．若，则方程恰有两个不同的实数根
D．若方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是
【答案】BCD
【分析】当时，令，由导数求得函数的单调性与最值，可判定A错误；由题意转化为函数的图象与直线相切，结合导数的几何意义得到，可判定B正确；由函数与的图象关于直线对称，得到方程恰有两个不同的实数根，可判定C正确；令，得到，设，利用导数求得函数的单调性，得到存在唯一的零点；分类讨论，即可求解.
【详解】对于A中，当时，，
令，则，可得在上单调递增，
令，则，在上单调递减，在上单调递增，
由于，因此，
故，故A错误．
对于B中，当时，由于函数的图象与函数的图象关于直线对称，
所以要使函数的图象与函数的图象相切，则函数的图象与直线相切，设切点坐标为，则，且，
因此，得，故，故B正确；
对于C中，由选项B可知，当时，的图象与直线相切，
当时，的图象与直线有两个交点，
由函数的图象与的图象关于直线对称可知，
方程恰有两个不同的实数根，故C正确；
对于D中，当时，令，
则函数，
设，则，
设，则，
令，得，当时，，
当时，，在上单调递减，在上单调递增，
故，
当时，，故，单调递增，
又由，，故存在唯一的零点；
当时，，又，，，，
因此存在，，使得，，
当时，，当时，，
当时，，故在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，又，
，，，
因此在，，上各存在一个零点，
故时，方程恰有三个不同的实数根，故D正确．
故选：BCD.
三、填空题
10．（2022·湖南永州·三模）已知直线:，函数，若存在切线与关于直线对称，则__________．
【答案】
【分析】先求与关于直线对称的直线，再利用切点是切线与曲线的公共点以及导数的几何意义即可求解
【详解】在直线：上取两点，
点，关于对称的点分别为，
点关于直线对称的点为）
设直线关于直线对称的直线为，则过点，
则，直线的方程为，即
由得,
因为函数存在切线与关于直线对称，即存在切线方程为
设切点为，则
解得
故答案为：
11．（2021·福建厦门·三模）已知函数，若，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【分析】先根据分段函数解析式画出函数图象，利用数形结合的思想结合利用导数求函数斜率从而求出答案.
【详解】因为，
当时，，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，,
当时，，当时，，此时单调递增．
图象如图所示:

令，将向右平移至与相切，此刻取最大值，即，得到，，
将代入
∴，（舍去）；
将向左平移至与相切，此刻取最小值，即，得到，，
将代入，
∴，（舍去）；
∴.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查由分段函数解不等式，在解题中尤为注重数形结合思想的应用何利用导数求函数某点的斜率，以及答案的取舍.
四、解答题
12．（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）已知函数f（x）=（x-m）（x-n）2，m∈R.
(1)若函数f（x）在点A（m，f（m））处的切线与在点B（m+1，f（m+1））处的切线平行，求此切线的斜率；
(2)若函数f（x）满足：①m