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初中数学浙教版七年级上册5.1 一元一次方程优秀课时作业
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这是一份初中数学浙教版七年级上册5.1 一元一次方程优秀课时作业，共20页。试卷主要包含了下列说法正确的是，若关于的方程，下列方程变形中，正确的是，，，是实数，，满足方程的整数x有个等内容，欢迎下载使用。
第5章 一元一次方程（B卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、单选题
1．下列方程中，以x＝2为解的方程是（ ）
A．2（x+2）＝0 B．3（x﹣1）＝9 C．4x﹣1＝3x D．3x+1＝2x+3
2．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．某商品因换季准备打折销售，如果按定价的七五折出售，将亏本35元，而按定价的九五折出售，将赚25元．设这种商品的定价为x元，可列方程为( )
A．75%x-35=95%x+25 B．75%x+35=95%x+25
C．75%x-35=95%x-25 D．75%x+35=95%x-25
4．某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20％．设把公顷旱地改为林地，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，宽为50cm的长方形图案由10个形状大小完全相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．若关于的方程（，为常数）的解是，则（ ）
A．方程的解是 B．方程的解是
C．方程的解是 D．方程的解是
7．下列方程变形中，正确的是（ ）
A．方程，未知数系数化为1，得
B．方程，移项，得
C．方程，去括号，得
D．方程，去分母，得
8．，，是实数，（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
9．为了鼓励市民节约用水，某区居民生活用水按阶梯式水价计费．居民在一年内用水在不同的定额范围内，执行不同的水价，其中水价＝供水价格＋污水处理费．具体价格如表：
类别
户年用水量（立方米）
水价（立方米）
供水价格
（元/立方米）
污水处理费
（元/立方米）
居民生活用水
一户一表
阶梯一
0--216（含）
1.90
1.00
阶梯二
216—300（含）
2.85
阶梯三
300以上
5.70
该区一居民家发现2020年7月份比6月份多用10立方米水，7月份水费为86.4元，比6月份多了55.6元，则该居民家7月份属阶梯二的用水量为（ ）
A．22立方米 B．18立方米 C．13立方米 D．12立方米
10．满足方程的整数x有（ ）个
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
评卷人
得分
二、填空题
11．一元一次方程x+=-3x，处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是x=5，那么处的常数是 ．
12．已知关于x的方程（m+6）x|m|﹣5+18＝0是一元一次方程，则m＝ ．
13．今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年前父亲的年龄比儿子年龄的4倍还大1岁，设今年儿子x岁，则可列方程为 ．
14．一个数与的积为9，则这个数是 ．
15．如果a，b为定值，那么关于x的方程，无论k为何值，它的解总是3，则a= ，b=
16．七年级（1）班有44名同学，其中会下围棋的有28人，会下中国象棋的有32人，这两种棋都不会下的人数比都会下的人数的还少1人，求这两种棋都会下的有多少人?若设这两种棋都会下的有人，根据题意可列出方程为 ．
17．有一个三位数，将这个三位数减去它的各位数字之和的两倍，得差为 261，则这个三位 数是 ．
18．我们知道在9点整时，时钟的分针与时针恰好互相垂直，那么从9点开始，到10点之前，经过 分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°．
评卷人
得分
三、解答题
19．解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)．
20．小慧解方程的过程如下所示：
解：去分母，得①
去括号，得②
移项，得③
合并同类项，得④
两边同除以7，得⑤
(1)她解答过程中错误的步骤是 ；
(2)请写出正确的解答过程．
21．一辆客车和一辆卡车都从地出发沿同一条公路匀速驶向地，客车的行驶速度为70千米/小时，卡车的行驶速度为60千米/小时，已知卡车提前1小时出发，结果两车同时到达地．
(1)求，两地的距离是多少？
(2)客车出发多少小时后，两车第一次相距20千米？
22．已知关于x的方程是一元一次方程．
(1)求k的值．
(2)若已知方程与方程的解互为相反数，求m的值．
(3)若已知方程与关于x的方程的解相同，求m的值．
23．如图，数轴上、两点表示的数分别为，，且点在点的左边，|a|=5，a+b=20，ab＜0．
（1）求a、b的值；
（2）现有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当时，求运动的时间．
（3）若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，同时数轴上另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动．经过多长时间，两动点在数轴上相距个单位长度？
24．为更好地营造“多读书、读好书、好读书”的书香校园氛围，学校图书馆向出版商邮购某系列图书．相关的书价折扣、邮费如下表所示．（注：总费用=总书价+总邮费）
数量
折扣
邮费
不超过10本
九折
7元
超过10本
八五折
优惠后总书价的10%
(1)已知书的单价为15元，需购书30本.
①若采用分次邮购，每次10本，共需总费用为 元；
②若采用一次性邮购，共需费用为 元.
(2)已知图书馆需购书的总数是10的整数倍，且超过10本．图书馆负责人发现分次邮购所需费用与一次性邮购所需费用相同，求书的单价是多少元？
25．在今年我区丁宅乡“首届草莓拼比大赛”活动期间，某草莓采摘基地制定了以下促销方案；若一次性购买超过400元，其中400元按九五折优惠，超过400元的部分按八折优惠．
（1）假设一次性购买的草莓原价是a超过400时，实际付款______元；（用含有a的代数式表示，并化简）
（2）若小聪家购买时一次性付款460元，则所购草莓的原价是多少元？
（3）小敏家在促销期间先后两次购买草莓，两次所购的原价之和为800元（第一次所购草莓原价高于和第二次），两次实际共付款740元，则小敏家两次所购草莓的原价分别是多少元？
26．小王和小李每天从地到地上班，小王坐公交车以的速度匀速行驶，小李开汽车以的速度匀速行驶．
(1)若他们同时从地出发，15分钟后，两人相距______；
(2)假设途中设有9个站点，，…，公交车在每个站点都停靠0.5分钟．
①若两车同时从地出发，则汽车比公交车早10.5分钟到达．求，两地的距离．
②若每相邻两个站点间（包含起点站和终点站）的距离相等，小王4：30坐公交车从地前往地，8分钟后小李开汽车也从地前往地，求小李追上小王的时刻．
参考答案：
1．D
【分析】根据一元一次方程的解的定义，即可求解．
【详解】解：A、当x＝2时，左边=2（2+2）＝8≠0，故本选项不符合题意；
B、当x＝2时，左边=3（2﹣1）＝3≠9，故本选项不符合题意；
C、当x＝2时，左边=4×2-1=7，右边=3×2=6，所以左边≠右边，故本选项不符合题意；
D、当x＝2时，左边=3×2+1=7，右边=2×2+3=7，所以左边=右边，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
2．B
【分析】根据等式的性质逐项判断即可．
【详解】解：若，则，故A选项错误；
若，则，B选项正确；
若，则，，故C选项错误；
若，当时，故D选项错误．
故答案为：B．
【点睛】此题考查了等式的性质，需要熟记：在等式两边同时加上或减去同一个值，等式依然成立；在等式两边同时乘以或除以（除数不为0）同一个值等式仍然成立；在等式有意义的前提下，在等式两边同时取任意次方（或开任意次方），等式仍然成立；在等式有意义的前提下，等式两边同时取倒数、相反数，等式仍然成立．
3．D
【分析】设这种商品的定价是x元．根据定价的7.5折出售将赔35元和定价的9.5折出售将赚25元，分别表示出进价，从而列方程求解．
【详解】解：设这种商品的定价是x元．
根据题意，得75%x+35=95%x-25．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，解题的关键是根据题意找到等量关系，这是列方程的关键．
4．B
【分析】设把x公顷旱地改为林地，根据旱地面积占林地面积的20%列出方程即可．
【详解】解：设把x公顷旱地改为林地，根据题意可得方程：54-x=20%（108+x）．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键是设出未知数以以改造后的旱地与林地的关系为等量关系列出方程．
5．A
【分析】设小长方形的宽为cm，长为cm，根据题意列方程组求解即可．
【详解】设小长方形的宽为cm，长为cm，根据题意得，解得，
一个小长方形的面积为，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，能够根据题意列出方程组并准确求解是解题的关键．
6．C
【分析】根据题意得，b为任意数，据此判断各选项即可．
【详解】解：∵关于的方程（，为常数）的解是，
∴，b为任意数
A.当时，方程无解，故此选项不正确；
B当b=0时，方程无解，故此选项不正确；
C. 方程的解是，正确；
D. 当b=-1时，方程无解，，故此选项不正确；
故选：C
【点睛】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值．
7．D
【分析】A、根据等式的性质1即可得到答案；B、根据等式的性质1即可得到答案；C、根据去括号法则即可得到答案；D、根据等式的性质，两边同时乘21，可得答案．
【详解】解：A. 方程，未知数系数化为1，两边同时乘以得，原选项计算错误，不符合题意；
B. 方程，移项得，原选项计算错误，不符合题意；
C. 方程，去括号，得，原选项计算错误，不符合题意；
D. 方程，去分母，得，正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1，求出解．
8．B
【分析】利用等式的基本性质判断即可．
【详解】A、如果，那么，不符合题意；
B、如果，那么，符合题意；
C、如果()，那么，不符合题意；
D、如果，那么，即，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解本题的关键．
9．D
【分析】根据题意，阶梯一、二、三阶段的水价，分别计算6、7月份用水量同在第一、二、三阶段时10方水的价格，得到7月份用水量跨二、三阶段，而六月份用水量在第二阶段，从而得到6月份用水量为8立方米，7月份用水量为18立方米，设7月份第二阶段用水量为立方米，则第三阶段用水量为立方米．根据题意列方程求解即可．
【详解】解：根据题意，阶梯一、二、三阶段的水价分别为：2.90/立方米、3.85/立方米、6.70元/立方米；
若6、7月份用水量同在第一阶段，则两月水费差应为元；
若6、7月份用水量同在第二阶段，则两月水费差应为元；
若6、7月份用水量同在第三阶段，则两月水费差应为元；
由于两实际水费差为55.6元，38.5＜55.6＜67，由题意可知，7月份用水量跨二、三阶段，而六月份用水量在第二阶段，易算出6月份用水量为立方米，则7月份用水量则为18立方米．
设7月份第二阶段用水量为立方米，则第三阶段用水量为立方米．
列出方程：；
解得：．
故选D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意确定6、7月份用水量所在阶梯，进而得到两个月的用水量是解题关键．
10．C
【分析】分类讨论：，，时，分别解方程求得答案.
【详解】当时，原方程为： ，得x=，不合题意舍去；
当时，原方程为： ，得x=，不合题意舍去；
当时，原方程为： ，得2=2，说明当时关系式恒成立，所以满足条件的整数解x有：0和1.
故选：C.
【点睛】此题考查解一元一次方程，需根据x的范围将绝对值符合去掉，再解出x的值.
11．-20
【分析】把x=5代入已知方程，可以列出关于的方程，通过解该方程可以求得处的数字．
【详解】解：把x=5代入方程，得5+=－15，
解得=-20．
故答案为：-20．
【点睛】此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，解题关键是掌握一元一次方程的解．
12．6
【分析】利用一元一次方程的定义，即含有一个未知数，并且未知数次数为1的整式方程判断即可．
【详解】解：关于x的方程（m+6）x|m|﹣5+18＝0是一元一次方程，
∴m+6≠0，|m|﹣5＝1，
解得m＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，准确计算是解题的关键．
13．
【分析】根据题意列出一元一次方程即可；
【详解】设今年儿子x岁，
根据题意可得：；
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列式是解题的关键．
14．
【分析】设这个数为，则根据题意列式计算即可．
【详解】解：设这个数为，
根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程，根据题意列出方程是解本题的关键．
15． 6
【分析】先去分母，将方程中含的整理在一起，然后根据方程的解与无关分别列出方程求解即可．
【详解】解：，
方程两边同乘以6去分母，得，
整理得：，
无论为何值，方程的解总是3，
，，
解得，，
故答案为：，6．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，化解方程得出关系式是解题的关键．
16．
【分析】根据题意，设这两种棋都会下的有人，则两种棋都不会下的人数为，根据会下围棋的人数加上会下中国象棋的人数，减去两种都会下的人数加上两种棋都不会下的人数等于总人数，列方程即可．
【详解】设这两种棋都会下的有人，则两种棋都不会下的人数为人，根据题意得，
故答案为：
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系是解题的关键．
17．297
【分析】设百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，则 计算可得98x+8y-z=261，首先判断98x的取值范围确定x的值，再判断8y的取值范围确定y的值，最后求出z即可．
【详解】解：设百位上的数为x,十位上的数为y，个位上的数为z，
则
∴98x+8y-z=261
98x=261-8y+z
∵0≤y<10, 0≤z<10
∴181<261-8y+z<271
∴181<98x <271
∵x取整数
∴x=2
同理可得y=9，z=7
故答案为297．
【点睛】本题考查了有理数的数字特征，解题的关键是判断数字的取值范围．
18．或30
【分析】利用分针的旋转速度是度/分钟，时针的旋转速度是0.5度/分钟，分两种情况讨论即可.
【详解】解：分针的旋转速度是度/分钟，时针的旋转速度是0.5度/分钟，设经过x分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°，
分两种情况：
如图：
此时，∠AOC=0.5x，∠BOD=6x，
则∠COD=∠AOB+∠BOD-∠AOC= 90°+6x-0.5x=105°，
解得x=；
如图：
此时，∠AOC=0.5x，∠BOD=360°-6x，
则∠COD=∠BOD-∠AOB+∠AOC=360°-6x -90°+0.5x=105°，
解得x=30；
综上，经过或30分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°，
故答案为：或30
【点睛】本题考查了钟表问题，解题时经常用到每两个数字之间的度数是30°，分钟每分钟转过的角度为6度，时钟每分钟转过的角度为0.5度．借助图形，更容易解决．同时考查一元一次方程的应用，得到时针所走路程和分针所走路程的等量关系是解决本题的关键．
19．(1)x＝2
(2)x＝5
(3)x＝−
【分析】（1）移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（3）去括号，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【详解】（1）解：x＝3x−4，
移项，得x−3x＝−4，
合并同类项，得−2x＝−4，
系数化成1，得x＝2；
（2）6−2（x−3）＝x−3，
去括号，得6−2x＋6＝x−3，
移项，得−2x−x＝−3−6−6，
合并同类项，得−3x＝−15，
系数化成1，得x＝5；
（3），
去分母，得6x−9＋3（9−x）＝2，
去括号，得6x−9＋27−3x＝2，
移项，得6x−3x＝2＋9−27，
合并同类项，得3x＝−16，
系数化成1，得x＝− ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
20．(1)①，②
(2)见解析
【分析】（1）根据等式的性质和去括号法则进行判断即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【详解】（1）解：她解答过程中错误的步骤是：①，②；
（2），
去分母，得3（3x−1）−2（x−1）＝6，
去括号，得9x−3−2x＋2＝6，
移项，得9x−2x＝6＋3−2，
合并同类项，得7x＝7
两边同除以7，得x＝1．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
21．(1)A，B两地的距离是420千米；
(2)客车出发4小时后，两车第一次相距20千米．
【分析】（1）设A，B两地的距离是x千米，利用时间=路程÷速度，结合卡车比客车多用1小时，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出A，B两地的距离；
（2）设客车出发y小时后，两车第一次相距20千米，利用路程=速度×时间，结合两车第一次相距20千米，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设A，B两地的距离是x千米，
依题意得：，
解得：x=420．
答：A，B两地的距离是420千米；
（2）解：设客车出发y小时后，两车第一次相距20千米，
依题意得：70y+20=60（y+1），
解得：y=4．
答：客车出发4小时后，两车第一次相距20千米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
22．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）利用一元一次方程的定义可知，，求解即可；
（2）求出已知方程与方程的解，令其相加为0，求解即可；
（3）求出知方程与的解，令其相等，求解即可．
【详解】（1）解：∵是一元一次方程，
∴，，解之得：；
（2）解：将代入，得，解之得：，
解方程，得，
∵它们的解互为相反数，
∴，解之得：；
（3）解：由（2）知已知方程的解为，
解方程，得，
∵它们的解相同，
∴，解之得：．
【点睛】本题考查一元一次方程的定义，解一元一次方程，一元一次方程的解．解题的关键是根据一元一次方程的定义求出k的值，再解方程，比较方程的解．
23．（1）的值是，的值是；（2）当时，点运动时间为秒或秒；（3）经过秒或秒的时间两动点在数轴上相距个单位长度．
【分析】（1）根据题意可以a、b的符号相反、可得a=-5，根据a+b=20可得b的值，本题得以解决；
（2）根据P点运动时间设未知数列方程即可求解；
（3）根据题意和分类讨论的数学思想可以解答本题．
【详解】解：（1）∵A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|=5，a+b=20，ab＜0，
∴a=-5，b=25，
即a的值是-5，b的值是25；
（2）∵a=-5，b=25，
∴AB=25-(-5)=30，
设P运动的时间为t秒，
根据题意，得
①当P点在A、B之间时，
3t=3（30-3t），
解得t=7.5；
②当P点在B点右侧时，
3t=3（3t-30），
解得t=15，
答：当PA=3PB时，P运动的时间为7.5或15秒；
（3）相遇前，两动点在数轴上相距10个单位长度，
依题意得：3t+2t+10=30，
解得：t=4；
相遇后，两动点在数轴上相距10个单位长度，
依题意得：3t+2t-10=30，
解得：t=8；
由上可得，经过4秒或8秒的时间两动点在数轴上相距10个单位长度．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的乘法、绝对值、数轴、有理数的加法，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答．
24．(1)①426；②420.75
(2)书的单价是20元
【分析】（1）①根据表格中不超过10本的方案，可以解答本题；②根据表格中超过10本的方案，可以解答本题；
（2）设书的单价为x元，购书数量10a本(a是大于1的正整数），根据题意两种方案的费用一样建立等式求解即可．
【详解】（1）解：①若采用分次邮购，每次10本，
根据题意有：（元），
②若采用一次性邮购，则
（元），
故答案为：426，420.75；
（2）解：设书的单价为x元，购书数量10a本(a是大于1的正整数），根据题意得：
，
即：，
解得：x=20，
答：书的单价是20元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程求解即可．
25．（1）0.8a+60；（2）500元；（3）第一次所购草莓的原价是600元，第二次所购草莓的原价是200元
【分析】（1）付费由两部分组成：（400×0.95）元+0.8（a-400）元；
（2）设所购草莓的原价是x元，根据销售优惠方案列出方程并解答；
（3）由第一次所购草莓的原价高于第二次，可得出第一次所购物品的原价超过400元且第二次所购物品的原价低于400元，设小敏第一次所购草莓的原价是b元，则第二次所购物品的原价是（800-b）元，根据促销方案列出关于b的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）由题意知，400×0.95+0.8（a-400）=0.8a+60，
故答案是：0.8a+60；
（2）设所购草莓的原价是x元，
由题意知，x＞400．
故0.8x+60=460．
解得x=500，
答：所购草莓的原价是500元；
（3）∵第一次所购草莓原价高于第二次，
∴第一次所购草莓的原价超过400元，第二次所购草莓的原价低于400元．
设第一次所购草莓的原价是b元，则第二次所购草莓的原价是（800-b）元，
由题意知，0.8b+60+（800-b）=740，
解得b=600，
则800-b=200．
答：第一次所购草莓的原价是600元，第二次所购草莓的原价是200元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，得到等量关系，列出方程．
26．(1)2.5
(2)①20km；②小李追上小王的时刻为4：48．
【分析】（1）先求出小王和小李在15分钟内的路程，然后求得两个间的距离；
（2）①先设A、B两地相距x千米，然后分别用含有x的式子表示两人从A地到B地的时间，再结合“汽车比公交车早10.5分钟到达”列出方程求解，即可得到A、B两地间的距离；
②先由①得到每两个站点间的距离，然后计算得到公交车在每两个站点间的时间，进而初步判断8分钟后公交车的位置，然后设时间为m分钟，再分段进行讨论即可．
【详解】（1）解：15分钟＝0.25小时，
∴小王的路程为40×0.25＝10（km），
小李的路程为50×0.25＝12.5（km），
∴两人间的距离为12.5﹣10＝2.5（km），
故答案为：2.5．
（2）解：①设两地距离为x千米，则小李的从A地到B地的时间为 小时，小王的时间为 小时，
∵汽车比公交车早10.5分钟到达，
∴，
解得：x＝20，
∴A、B两地相距20千米．
②由①得，A、B两地相距20千米，
∵每两个站点间的距离相等，
∴每两个站点间的距离为20÷10＝2（千米），
∴小王经过两个站点间的时间为2÷40＝0.05小时＝3分钟，
∵3+0.5+3+0.5＝7＜8，
∴8分钟时，公交车在P2与P3之间，
设小李经过m分钟追上小王，
当小李在P2与P3之间追上小王，即m≤2时，
，
解得：m＝28（舍）；
当小李在P3与P4之间追上小王，即2.5＜m≤5.5时，
，
解得：m＝26（舍）；
当小李在P4与P5之间追上小王，即6＜m≤9时，
，
解得：m＝24（舍）；
当小李在P5与P6之间追上小王，即9.5＜m≤12.5时，
，
解得：m＝22（舍）；
当小李在P6与P7之间追上小王，即13＜m≤16时，
，
解得：m＝20（舍）；
当小李在P7与P8之间追上小王，即16.5＜m≤19.5时，
，
解得：m＝18；
∴经过18分钟，小李追上小王，
此时的时刻为4：48．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是会利用“路程＝速度×时间”进行相关时间和路程的表示和会将时间单位进行转化．
第5章 一元一次方程（B卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、单选题
1．下列方程中，以x＝2为解的方程是（ ）
A．2（x+2）＝0 B．3（x﹣1）＝9 C．4x﹣1＝3x D．3x+1＝2x+3
2．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．某商品因换季准备打折销售，如果按定价的七五折出售，将亏本35元，而按定价的九五折出售，将赚25元．设这种商品的定价为x元，可列方程为( )
A．75%x-35=95%x+25 B．75%x+35=95%x+25
C．75%x-35=95%x-25 D．75%x+35=95%x-25
4．某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20％．设把公顷旱地改为林地，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，宽为50cm的长方形图案由10个形状大小完全相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．若关于的方程（，为常数）的解是，则（ ）
A．方程的解是 B．方程的解是
C．方程的解是 D．方程的解是
7．下列方程变形中，正确的是（ ）
A．方程，未知数系数化为1，得
B．方程，移项，得
C．方程，去括号，得
D．方程，去分母，得
8．，，是实数，（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
9．为了鼓励市民节约用水，某区居民生活用水按阶梯式水价计费．居民在一年内用水在不同的定额范围内，执行不同的水价，其中水价＝供水价格＋污水处理费．具体价格如表：
类别
户年用水量（立方米）
水价（立方米）
供水价格
（元/立方米）
污水处理费
（元/立方米）
居民生活用水
一户一表
阶梯一
0--216（含）
1.90
1.00
阶梯二
216—300（含）
2.85
阶梯三
300以上
5.70
该区一居民家发现2020年7月份比6月份多用10立方米水，7月份水费为86.4元，比6月份多了55.6元，则该居民家7月份属阶梯二的用水量为（ ）
A．22立方米 B．18立方米 C．13立方米 D．12立方米
10．满足方程的整数x有（ ）个
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
评卷人
得分
二、填空题
11．一元一次方程x+=-3x，处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是x=5，那么处的常数是 ．
12．已知关于x的方程（m+6）x|m|﹣5+18＝0是一元一次方程，则m＝ ．
13．今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年前父亲的年龄比儿子年龄的4倍还大1岁，设今年儿子x岁，则可列方程为 ．
14．一个数与的积为9，则这个数是 ．
15．如果a，b为定值，那么关于x的方程，无论k为何值，它的解总是3，则a= ，b=
16．七年级（1）班有44名同学，其中会下围棋的有28人，会下中国象棋的有32人，这两种棋都不会下的人数比都会下的人数的还少1人，求这两种棋都会下的有多少人?若设这两种棋都会下的有人，根据题意可列出方程为 ．
17．有一个三位数，将这个三位数减去它的各位数字之和的两倍，得差为 261，则这个三位 数是 ．
18．我们知道在9点整时，时钟的分针与时针恰好互相垂直，那么从9点开始，到10点之前，经过 分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°．
评卷人
得分
三、解答题
19．解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)．
20．小慧解方程的过程如下所示：
解：去分母，得①
去括号，得②
移项，得③
合并同类项，得④
两边同除以7，得⑤
(1)她解答过程中错误的步骤是 ；
(2)请写出正确的解答过程．
21．一辆客车和一辆卡车都从地出发沿同一条公路匀速驶向地，客车的行驶速度为70千米/小时，卡车的行驶速度为60千米/小时，已知卡车提前1小时出发，结果两车同时到达地．
(1)求，两地的距离是多少？
(2)客车出发多少小时后，两车第一次相距20千米？
22．已知关于x的方程是一元一次方程．
(1)求k的值．
(2)若已知方程与方程的解互为相反数，求m的值．
(3)若已知方程与关于x的方程的解相同，求m的值．
23．如图，数轴上、两点表示的数分别为，，且点在点的左边，|a|=5，a+b=20，ab＜0．
（1）求a、b的值；
（2）现有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当时，求运动的时间．
（3）若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，同时数轴上另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动．经过多长时间，两动点在数轴上相距个单位长度？
24．为更好地营造“多读书、读好书、好读书”的书香校园氛围，学校图书馆向出版商邮购某系列图书．相关的书价折扣、邮费如下表所示．（注：总费用=总书价+总邮费）
数量
折扣
邮费
不超过10本
九折
7元
超过10本
八五折
优惠后总书价的10%
(1)已知书的单价为15元，需购书30本.
①若采用分次邮购，每次10本，共需总费用为 元；
②若采用一次性邮购，共需费用为 元.
(2)已知图书馆需购书的总数是10的整数倍，且超过10本．图书馆负责人发现分次邮购所需费用与一次性邮购所需费用相同，求书的单价是多少元？
25．在今年我区丁宅乡“首届草莓拼比大赛”活动期间，某草莓采摘基地制定了以下促销方案；若一次性购买超过400元，其中400元按九五折优惠，超过400元的部分按八折优惠．
（1）假设一次性购买的草莓原价是a超过400时，实际付款______元；（用含有a的代数式表示，并化简）
（2）若小聪家购买时一次性付款460元，则所购草莓的原价是多少元？
（3）小敏家在促销期间先后两次购买草莓，两次所购的原价之和为800元（第一次所购草莓原价高于和第二次），两次实际共付款740元，则小敏家两次所购草莓的原价分别是多少元？
26．小王和小李每天从地到地上班，小王坐公交车以的速度匀速行驶，小李开汽车以的速度匀速行驶．
(1)若他们同时从地出发，15分钟后，两人相距______；
(2)假设途中设有9个站点，，…，公交车在每个站点都停靠0.5分钟．
①若两车同时从地出发，则汽车比公交车早10.5分钟到达．求，两地的距离．
②若每相邻两个站点间（包含起点站和终点站）的距离相等，小王4：30坐公交车从地前往地，8分钟后小李开汽车也从地前往地，求小李追上小王的时刻．
参考答案：
1．D
【分析】根据一元一次方程的解的定义，即可求解．
【详解】解：A、当x＝2时，左边=2（2+2）＝8≠0，故本选项不符合题意；
B、当x＝2时，左边=3（2﹣1）＝3≠9，故本选项不符合题意；
C、当x＝2时，左边=4×2-1=7，右边=3×2=6，所以左边≠右边，故本选项不符合题意；
D、当x＝2时，左边=3×2+1=7，右边=2×2+3=7，所以左边=右边，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
2．B
【分析】根据等式的性质逐项判断即可．
【详解】解：若，则，故A选项错误；
若，则，B选项正确；
若，则，，故C选项错误；
若，当时，故D选项错误．
故答案为：B．
【点睛】此题考查了等式的性质，需要熟记：在等式两边同时加上或减去同一个值，等式依然成立；在等式两边同时乘以或除以（除数不为0）同一个值等式仍然成立；在等式有意义的前提下，在等式两边同时取任意次方（或开任意次方），等式仍然成立；在等式有意义的前提下，等式两边同时取倒数、相反数，等式仍然成立．
3．D
【分析】设这种商品的定价是x元．根据定价的7.5折出售将赔35元和定价的9.5折出售将赚25元，分别表示出进价，从而列方程求解．
【详解】解：设这种商品的定价是x元．
根据题意，得75%x+35=95%x-25．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，解题的关键是根据题意找到等量关系，这是列方程的关键．
4．B
【分析】设把x公顷旱地改为林地，根据旱地面积占林地面积的20%列出方程即可．
【详解】解：设把x公顷旱地改为林地，根据题意可得方程：54-x=20%（108+x）．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键是设出未知数以以改造后的旱地与林地的关系为等量关系列出方程．
5．A
【分析】设小长方形的宽为cm，长为cm，根据题意列方程组求解即可．
【详解】设小长方形的宽为cm，长为cm，根据题意得，解得，
一个小长方形的面积为，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，能够根据题意列出方程组并准确求解是解题的关键．
6．C
【分析】根据题意得，b为任意数，据此判断各选项即可．
【详解】解：∵关于的方程（，为常数）的解是，
∴，b为任意数
A.当时，方程无解，故此选项不正确；
B当b=0时，方程无解，故此选项不正确；
C. 方程的解是，正确；
D. 当b=-1时，方程无解，，故此选项不正确；
故选：C
【点睛】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值．
7．D
【分析】A、根据等式的性质1即可得到答案；B、根据等式的性质1即可得到答案；C、根据去括号法则即可得到答案；D、根据等式的性质，两边同时乘21，可得答案．
【详解】解：A. 方程，未知数系数化为1，两边同时乘以得，原选项计算错误，不符合题意；
B. 方程，移项得，原选项计算错误，不符合题意；
C. 方程，去括号，得，原选项计算错误，不符合题意；
D. 方程，去分母，得，正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1，求出解．
8．B
【分析】利用等式的基本性质判断即可．
【详解】A、如果，那么，不符合题意；
B、如果，那么，符合题意；
C、如果()，那么，不符合题意；
D、如果，那么，即，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解本题的关键．
9．D
【分析】根据题意，阶梯一、二、三阶段的水价，分别计算6、7月份用水量同在第一、二、三阶段时10方水的价格，得到7月份用水量跨二、三阶段，而六月份用水量在第二阶段，从而得到6月份用水量为8立方米，7月份用水量为18立方米，设7月份第二阶段用水量为立方米，则第三阶段用水量为立方米．根据题意列方程求解即可．
【详解】解：根据题意，阶梯一、二、三阶段的水价分别为：2.90/立方米、3.85/立方米、6.70元/立方米；
若6、7月份用水量同在第一阶段，则两月水费差应为元；
若6、7月份用水量同在第二阶段，则两月水费差应为元；
若6、7月份用水量同在第三阶段，则两月水费差应为元；
由于两实际水费差为55.6元，38.5＜55.6＜67，由题意可知，7月份用水量跨二、三阶段，而六月份用水量在第二阶段，易算出6月份用水量为立方米，则7月份用水量则为18立方米．
设7月份第二阶段用水量为立方米，则第三阶段用水量为立方米．
列出方程：；
解得：．
故选D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意确定6、7月份用水量所在阶梯，进而得到两个月的用水量是解题关键．
10．C
【分析】分类讨论：，，时，分别解方程求得答案.
【详解】当时，原方程为： ，得x=，不合题意舍去；
当时，原方程为： ，得x=，不合题意舍去；
当时，原方程为： ，得2=2，说明当时关系式恒成立，所以满足条件的整数解x有：0和1.
故选：C.
【点睛】此题考查解一元一次方程，需根据x的范围将绝对值符合去掉，再解出x的值.
11．-20
【分析】把x=5代入已知方程，可以列出关于的方程，通过解该方程可以求得处的数字．
【详解】解：把x=5代入方程，得5+=－15，
解得=-20．
故答案为：-20．
【点睛】此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，解题关键是掌握一元一次方程的解．
12．6
【分析】利用一元一次方程的定义，即含有一个未知数，并且未知数次数为1的整式方程判断即可．
【详解】解：关于x的方程（m+6）x|m|﹣5+18＝0是一元一次方程，
∴m+6≠0，|m|﹣5＝1，
解得m＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，准确计算是解题的关键．
13．
【分析】根据题意列出一元一次方程即可；
【详解】设今年儿子x岁，
根据题意可得：；
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列式是解题的关键．
14．
【分析】设这个数为，则根据题意列式计算即可．
【详解】解：设这个数为，
根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程，根据题意列出方程是解本题的关键．
15． 6
【分析】先去分母，将方程中含的整理在一起，然后根据方程的解与无关分别列出方程求解即可．
【详解】解：，
方程两边同乘以6去分母，得，
整理得：，
无论为何值，方程的解总是3，
，，
解得，，
故答案为：，6．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，化解方程得出关系式是解题的关键．
16．
【分析】根据题意，设这两种棋都会下的有人，则两种棋都不会下的人数为，根据会下围棋的人数加上会下中国象棋的人数，减去两种都会下的人数加上两种棋都不会下的人数等于总人数，列方程即可．
【详解】设这两种棋都会下的有人，则两种棋都不会下的人数为人，根据题意得，
故答案为：
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系是解题的关键．
17．297
【分析】设百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，则 计算可得98x+8y-z=261，首先判断98x的取值范围确定x的值，再判断8y的取值范围确定y的值，最后求出z即可．
【详解】解：设百位上的数为x,十位上的数为y，个位上的数为z，
则
∴98x+8y-z=261
98x=261-8y+z
∵0≤y<10, 0≤z<10
∴181<261-8y+z<271
∴181<98x <271
∵x取整数
∴x=2
同理可得y=9，z=7
故答案为297．
【点睛】本题考查了有理数的数字特征，解题的关键是判断数字的取值范围．
18．或30
【分析】利用分针的旋转速度是度/分钟，时针的旋转速度是0.5度/分钟，分两种情况讨论即可.
【详解】解：分针的旋转速度是度/分钟，时针的旋转速度是0.5度/分钟，设经过x分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°，
分两种情况：
如图：
此时，∠AOC=0.5x，∠BOD=6x，
则∠COD=∠AOB+∠BOD-∠AOC= 90°+6x-0.5x=105°，
解得x=；
如图：
此时，∠AOC=0.5x，∠BOD=360°-6x，
则∠COD=∠BOD-∠AOB+∠AOC=360°-6x -90°+0.5x=105°，
解得x=30；
综上，经过或30分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°，
故答案为：或30
【点睛】本题考查了钟表问题，解题时经常用到每两个数字之间的度数是30°，分钟每分钟转过的角度为6度，时钟每分钟转过的角度为0.5度．借助图形，更容易解决．同时考查一元一次方程的应用，得到时针所走路程和分针所走路程的等量关系是解决本题的关键．
19．(1)x＝2
(2)x＝5
(3)x＝−
【分析】（1）移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（3）去括号，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【详解】（1）解：x＝3x−4，
移项，得x−3x＝−4，
合并同类项，得−2x＝−4，
系数化成1，得x＝2；
（2）6−2（x−3）＝x−3，
去括号，得6−2x＋6＝x−3，
移项，得−2x−x＝−3−6−6，
合并同类项，得−3x＝−15，
系数化成1，得x＝5；
（3），
去分母，得6x−9＋3（9−x）＝2，
去括号，得6x−9＋27−3x＝2，
移项，得6x−3x＝2＋9−27，
合并同类项，得3x＝−16，
系数化成1，得x＝− ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
20．(1)①，②
(2)见解析
【分析】（1）根据等式的性质和去括号法则进行判断即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【详解】（1）解：她解答过程中错误的步骤是：①，②；
（2），
去分母，得3（3x−1）−2（x−1）＝6，
去括号，得9x−3−2x＋2＝6，
移项，得9x−2x＝6＋3−2，
合并同类项，得7x＝7
两边同除以7，得x＝1．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
21．(1)A，B两地的距离是420千米；
(2)客车出发4小时后，两车第一次相距20千米．
【分析】（1）设A，B两地的距离是x千米，利用时间=路程÷速度，结合卡车比客车多用1小时，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出A，B两地的距离；
（2）设客车出发y小时后，两车第一次相距20千米，利用路程=速度×时间，结合两车第一次相距20千米，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设A，B两地的距离是x千米，
依题意得：，
解得：x=420．
答：A，B两地的距离是420千米；
（2）解：设客车出发y小时后，两车第一次相距20千米，
依题意得：70y+20=60（y+1），
解得：y=4．
答：客车出发4小时后，两车第一次相距20千米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
22．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）利用一元一次方程的定义可知，，求解即可；
（2）求出已知方程与方程的解，令其相加为0，求解即可；
（3）求出知方程与的解，令其相等，求解即可．
【详解】（1）解：∵是一元一次方程，
∴，，解之得：；
（2）解：将代入，得，解之得：，
解方程，得，
∵它们的解互为相反数，
∴，解之得：；
（3）解：由（2）知已知方程的解为，
解方程，得，
∵它们的解相同，
∴，解之得：．
【点睛】本题考查一元一次方程的定义，解一元一次方程，一元一次方程的解．解题的关键是根据一元一次方程的定义求出k的值，再解方程，比较方程的解．
23．（1）的值是，的值是；（2）当时，点运动时间为秒或秒；（3）经过秒或秒的时间两动点在数轴上相距个单位长度．
【分析】（1）根据题意可以a、b的符号相反、可得a=-5，根据a+b=20可得b的值，本题得以解决；
（2）根据P点运动时间设未知数列方程即可求解；
（3）根据题意和分类讨论的数学思想可以解答本题．
【详解】解：（1）∵A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|=5，a+b=20，ab＜0，
∴a=-5，b=25，
即a的值是-5，b的值是25；
（2）∵a=-5，b=25，
∴AB=25-(-5)=30，
设P运动的时间为t秒，
根据题意，得
①当P点在A、B之间时，
3t=3（30-3t），
解得t=7.5；
②当P点在B点右侧时，
3t=3（3t-30），
解得t=15，
答：当PA=3PB时，P运动的时间为7.5或15秒；
（3）相遇前，两动点在数轴上相距10个单位长度，
依题意得：3t+2t+10=30，
解得：t=4；
相遇后，两动点在数轴上相距10个单位长度，
依题意得：3t+2t-10=30，
解得：t=8；
由上可得，经过4秒或8秒的时间两动点在数轴上相距10个单位长度．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的乘法、绝对值、数轴、有理数的加法，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答．
24．(1)①426；②420.75
(2)书的单价是20元
【分析】（1）①根据表格中不超过10本的方案，可以解答本题；②根据表格中超过10本的方案，可以解答本题；
（2）设书的单价为x元，购书数量10a本(a是大于1的正整数），根据题意两种方案的费用一样建立等式求解即可．
【详解】（1）解：①若采用分次邮购，每次10本，
根据题意有：（元），
②若采用一次性邮购，则
（元），
故答案为：426，420.75；
（2）解：设书的单价为x元，购书数量10a本(a是大于1的正整数），根据题意得：
，
即：，
解得：x=20，
答：书的单价是20元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程求解即可．
25．（1）0.8a+60；（2）500元；（3）第一次所购草莓的原价是600元，第二次所购草莓的原价是200元
【分析】（1）付费由两部分组成：（400×0.95）元+0.8（a-400）元；
（2）设所购草莓的原价是x元，根据销售优惠方案列出方程并解答；
（3）由第一次所购草莓的原价高于第二次，可得出第一次所购物品的原价超过400元且第二次所购物品的原价低于400元，设小敏第一次所购草莓的原价是b元，则第二次所购物品的原价是（800-b）元，根据促销方案列出关于b的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）由题意知，400×0.95+0.8（a-400）=0.8a+60，
故答案是：0.8a+60；
（2）设所购草莓的原价是x元，
由题意知，x＞400．
故0.8x+60=460．
解得x=500，
答：所购草莓的原价是500元；
（3）∵第一次所购草莓原价高于第二次，
∴第一次所购草莓的原价超过400元，第二次所购草莓的原价低于400元．
设第一次所购草莓的原价是b元，则第二次所购草莓的原价是（800-b）元，
由题意知，0.8b+60+（800-b）=740，
解得b=600，
则800-b=200．
答：第一次所购草莓的原价是600元，第二次所购草莓的原价是200元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，得到等量关系，列出方程．
26．(1)2.5
(2)①20km；②小李追上小王的时刻为4：48．
【分析】（1）先求出小王和小李在15分钟内的路程，然后求得两个间的距离；
（2）①先设A、B两地相距x千米，然后分别用含有x的式子表示两人从A地到B地的时间，再结合“汽车比公交车早10.5分钟到达”列出方程求解，即可得到A、B两地间的距离；
②先由①得到每两个站点间的距离，然后计算得到公交车在每两个站点间的时间，进而初步判断8分钟后公交车的位置，然后设时间为m分钟，再分段进行讨论即可．
【详解】（1）解：15分钟＝0.25小时，
∴小王的路程为40×0.25＝10（km），
小李的路程为50×0.25＝12.5（km），
∴两人间的距离为12.5﹣10＝2.5（km），
故答案为：2.5．
（2）解：①设两地距离为x千米，则小李的从A地到B地的时间为 小时，小王的时间为 小时，
∵汽车比公交车早10.5分钟到达，
∴，
解得：x＝20，
∴A、B两地相距20千米．
②由①得，A、B两地相距20千米，
∵每两个站点间的距离相等，
∴每两个站点间的距离为20÷10＝2（千米），
∴小王经过两个站点间的时间为2÷40＝0.05小时＝3分钟，
∵3+0.5+3+0.5＝7＜8，
∴8分钟时，公交车在P2与P3之间，
设小李经过m分钟追上小王，
当小李在P2与P3之间追上小王，即m≤2时，
，
解得：m＝28（舍）；
当小李在P3与P4之间追上小王，即2.5＜m≤5.5时，
，
解得：m＝26（舍）；
当小李在P4与P5之间追上小王，即6＜m≤9时，
，
解得：m＝24（舍）；
当小李在P5与P6之间追上小王，即9.5＜m≤12.5时，
，
解得：m＝22（舍）；
当小李在P6与P7之间追上小王，即13＜m≤16时，
，
解得：m＝20（舍）；
当小李在P7与P8之间追上小王，即16.5＜m≤19.5时，
，
解得：m＝18；
∴经过18分钟，小李追上小王，
此时的时刻为4：48．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是会利用“路程＝速度×时间”进行相关时间和路程的表示和会将时间单位进行转化．
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