高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算学案

6.2.3   向量的数乘运算

1.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量积的三条运算律，会利用实数与向量积的运算律进行有关的计算；

2.理解两个向量平行的充要条件，能根据条件两个向量是否平行；

1.教学重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；

2.教学难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。

1．定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个     ，这种运算叫做         ，记作      ．

2．规定：①|λa|＝       ，②当      时，λa的方向与a的方向     ；当λ<0时，λa的方向与a的方向       ；当λ＝0时，λa＝     ．

3．运算律：

设λ，μ为实数，则

(1)λ(μa)＝          ；

(2)(λ＋μ)a＝         ；

(3)λ(a＋b)＝      ．

特别地，我们有(－λ)a＝        ＝       ，λ(a－b)＝          ．

4．共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得        ．

5．向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝                。

一、探索新知

探究1：已知非零向量，作出和，它们的长度与方向分别是怎样的？

1.定义：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：

（1）         ；

（2）当时，的方向与的方向       ；当时，的方向与的方向     。

说明：（1）当时，。（2）。

2.向量数乘的运算律

探究2：求作向量和，，(为非零向量)，并进行比较。

向量数乘的运算律：

设、为任意向量，、为任意实数，则有：

（1）                 ；

（2）                   ；

（3）                        。

特别地，有

                          。

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。

注：向量的线性运算的结果仍为向量。

对于任意向量、及任意实数、,恒有                        。[来源:学科网ZXXK]

例1：计算

    (1)

    (2)

    (3)

注：向量与实数之间可以象多项式一样进行运算。

例2.如图，平行四边形的两条对角线相交于点M，且，用向量表示

探究3：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？

3.共线向量定理：

向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使              。

思考：为什么要是非零向量？可以是非零向量吗？

牛刀小试：

判断下列各小题的向量是否共线。

（1）

（2）

（3）。

例3.如图，已知任意两个非零向量，试作

，，你能判断A、B、C三点之间的位置关系，并证明你的猜想。

结论：证明（判断）A、B、C三点共线的方法：

且有公共点B,A、B、C三点           .

例4.已知是两个不共线的向量，向量共线，求实数t的值。

1．下列各式中不表示向量的是(　　)

A．0·a      B．a＋3b

C．|3a|       D．e(x，y∈R，且x≠y)

2．下列计算正确的个数是(　　)

①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；③(a＋2b)－(2b＋a)＝0.

A．0    B．1     C．2     D．3

3.－等于(　　)

A．a－b＋2c     B．5a－b＋2c       C．a＋b＋2c     D．5a＋b

4．O为平行四边形ABCD的中心，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1＝________．

5．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，证明：直线AD∥BC．

这节课你的收获是什么？

参考答案：

探究1.

，记作。即。的方向与的方向相同，。

类似地，，其方向与的方向相反，。

探究2.

例1.

例2.

探究3.当的方向相同；当的方向相反。

思考：若，则。可以是。

牛刀小试：（1）共线  （2）共线  （3） 不共线。

例3.

例4.

达标检测

1.【解析】　向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量．

【答案】　C

2.【解析】　因为(－3)·2a＝－6a故①正确；②中左＝2a＋2b－2b＋a＝3a成立，故②正确；③中左＝a＋2b－2b－a＝0≠0，故③错误．

【答案】　C

3.【解析】　－＝(3a－2a)＋＋(c＋c)＝a－b＋2c.故选A．

【答案】　A

4.【解析】　设点E为平行四边形ABCD的BC边中点，点F为AB边中点，则3e2－2e1＝＋＝＝.

【答案】　(或)

5.【证明】　∵＝＋＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，∴与共线．

又AD与BC不重合，∴直线AD∥BC．