人教版高中数学选择性必修第三册7.3离散型随机变量的数字特征同步精练（含解析）

这是一份人教版高中数学选择性必修第三册7.3离散型随机变量的数字特征同步精练（含解析），共22页。试卷主要包含了2D．2，2，E＝9等内容，欢迎下载使用。

人教版高中数学选择性必修第三册
7.3离散型随机变量的数字特征同步精练（原卷版）
【题组一 分布列均值与方差】
1．（2020·吉林长春市实验中学）若随机变量ξ的分布列：
ξ
1
2
4
P
0.4
0.3
0.3
那么E(5ξ+4)等于（ ）
A．15 B．11 C．2.2 D．2.3

2．（2020·全国高二单元测试）设ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P




又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于（ ）
A． B． C． D．

3．（2020·全国高二课时练习）设，则随机变量的分布列是：

0

1




则当在内增大时（ ）
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大


4．（2020·江苏省前黄高级中学高二期中）甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．表中射击比较稳定的运动员是(　　)
环数k
8
9
10
P(ξ＝k)
0.3
0.2
0.5
P(η＝k)
0.2
0.4
0.4
A．甲 B．乙
C．一样 D．无法比较

5．（多选）（2020·全国高二单元测试）已知X的分布列为
X
－1
0
1
P

a

则下列说法正确的有（ ）
A．P(X＝0)＝ B．E(X)＝－
C．D(X)＝ D．P(X＞－1)＝

6．（多选）（2020·全国高二单元测试）已知 0＜a＜，随机变量ξ的分布列如下．
ξ
－1
0
1
P

－a
a
当 a 增大时，（ ）
A．E(ξ)增大 B．E(ξ)减小 C．D(ξ)减小 D．D(ξ)增大

7．（多选）（2020·山东济宁市·高二期末）已知随机变量的分布列如下，且，则下列说法正确的是（ ）

1
2
3




A．， B．，
C． D．

8．（2020·全国高二课时练习）已知随机变量的分布列如下表；且，则________，_____________.

0
2






9．（2021·北京房山区·高二期末）设随机变量的分布列为：








则____；随机变量的数学期望____.

10．（2020·甘肃白银市）设随机变量的分布列为，为常数，则________．

11．（2020·四川乐山市）已知随机变量的分布列如下表所示，且，则________.


0
1






12．（2020·安徽省六安中学高二期末（理））已知的分布列


0
1




且，，则______.

13．（2021·湖南衡阳市八中高二期末）已知随机变量X的分布列如下：

0
1
3




若随机变量Y满足，则Y的方差___________.

【题组二 实际应用中的分布列与均值】
1．（2021·浙江金华市·高三期末）一个盒子里有2个黑球和3个白球，现从盒子里随机每次取出1个球，每个球被取出的可能性相等，取出后不放回，直到某种颜色的球全部取出．设取出黑球的个数，则__________，__________．

2．（2021·江苏南通市·高三期末）“双十一”是指每年的11月11日，以一些电子商务为代表，在全国范围内兴起的大型购物促销狂欢日.某商家在去年的“双十一”中开展促销活动：凡购物满5888元的顾客会随机获得A，B，C三种赠品中的一件，现恰有3名顾客的购物金额满5888元.设随机变量X表示获得赠品完全相同的顾客人数，则_________________，____________.

3．（2020·全国高二课时练习）一个袋子内装有若干个黑球、3个白球、2个红球（所有的球除颜色外其他均相同），从中一次性任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，用随机变量表示取2个球的总得分，已知得0分的概率为．
（1）求袋子内黑球的个数；
（2）求的分布列与均值．
4．（2019·全国高二课时练习）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.
（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）.




5．（2021·海林市）某产品有4件正品和2件次品混在了一起,现要把这2件次品找出来,为此每次随机抽取1件进行测试,测试后不放回,直至次品全部被找出为止.
(1)求“第1次和第2次都抽到次品”的概率;
(2)设所要测试的次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.



【题组三 均值方差做决策】
1．（2019·全国高二课时练习）设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡寿命表1X(单位：小时)和Y的分布列分别如表1和表2所示：
X
900
1 000
1 100
P
0.1
0.8
0.1

Y
950
1 000
1 050
P
0.3
0.4
0.3
试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？



2．（2020·全国高二课时练习）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？



3．（2020·全国高二课时练习）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：
维修次数
0
1
2
3
台数
5
10
20
15
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．
（1）求X的分布列；
（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？



4．（2019·全国高二课时练习）某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2题的便可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成,2题不能完成;考生乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算均值;
(2)试从两位考生正确完成题数的均值及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力.




5．（2020·辽宁本溪市·高二月考）为倡导绿色出行，某市推出“新能源分时租赁汽车”业务.其中一款新能源分时租赁汽车每次租车收费标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/千米；②行驶时间不超过40分钟时，按0.12元/分计费；超过40分钟时，超出部分按0.20元/分计费.已知王先生家离上班地点15千米，每天租用该款汽车上､下班各一次.由于堵车､红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间是变量(单位：分).现统计其50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：
时间分




频数
2
18
20
10
将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分.
（1）写出王先生一次租车费用(单位：元)与用车时间(单位：分)的函数关系式；
（2）若王先生的公司每月发放1000元的车补，每月按22天计算，请估计：
①王先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班的平均用车时间(同一时段，用该区间的中点值做代表).
②王先生每月的车补能否足够上下班租用新能源分时租赁汽车，并说明理由.






人教版高中数学选择性必修第三册
7.3离散型随机变量的数字特征同步精练（解析版）
【题组一 分布列均值与方差】
1．（2020·吉林长春市实验中学）若随机变量ξ的分布列：
ξ
1
2
4
P
0.4
0.3
0.3
那么E(5ξ+4)等于（ ）
A．15 B．11 C．2.2 D．2.3
【答案】A
【解析】由已知，得：Eξ=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2，
∴E(5ξ+4)=5E(ξ)+4=5×2.2+4=15.故选：A.
2．（2020·全国高二单元测试）设ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P




又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.故选：D.
3．（2020·全国高二课时练习）设，则随机变量的分布列是：

0

1




则当在内增大时（ ）
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】D
【解析】由分布列得，
则，
则当在内增大时，先减小后增大.故选：D.
4．（2020·江苏省前黄高级中学高二期中）甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．表中射击比较稳定的运动员是(　　)
环数k
8
9
10
P(ξ＝k)
0.3
0.2
0.5
P(η＝k)
0.2
0.4
0.4
A．甲 B．乙
C．一样 D．无法比较
【答案】B
【解析】E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2，所以E(η)＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.56 5．（多选）（2020·全国高二单元测试）已知X的分布列为
X
－1
0
1
P

a

则下列说法正确的有（ ）
A．P(X＝0)＝ B．E(X)＝－
C．D(X)＝ D．P(X＞－1)＝
【答案】ABD
【解析】由分布列的性质可知＝1，即a＝.
∴P(X＝0)＝，故A正确；
E(X)＝，故B正确；
D(X)＝，故C错误；
P(X＞－1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝，故D正确．
故选：ABD.
6．（多选）（2020·全国高二单元测试）已知 0＜a＜，随机变量ξ的分布列如下．
ξ
－1
0
1
P

－a
a
当 a 增大时，（ ）
A．E(ξ)增大 B．E(ξ)减小 C．D(ξ)减小 D．D(ξ)增大
【答案】AD
【解析】0＜a＜，由随机变量ξ的分布列，得：E(ξ)＝a－，
∴当a 增大时，E(ξ)增大；
D(ξ)＝×＋×＋×a＝－a2＋a＋＝－＋，
∵0 7．（多选）（2020·山东济宁市·高二期末）已知随机变量的分布列如下，且，则下列说法正确的是（ ）

1
2
3




A．， B．，
C． D．
【答案】BC
【解析】依题意，
所以，结合，解得，所以B选项正确.
，所以C选项正确.
故选：BC
8．（2020·全国高二课时练习）已知随机变量的分布列如下表；且，则________，_____________.

0
2





【答案】 4
【解析】因为，所以.
因为，所以，.
.
故.故答案为：，4
9．（2021·北京房山区·高二期末）设随机变量的分布列为：








则____；随机变量的数学期望____.
【答案】
【解析】因为概率之和等于即，解得：，
所以，
故答案为：；.
10．（2020·甘肃白银市）设随机变量的分布列为，为常数，则________．
【答案】3
【解析】因为，
所以，
所以，
故．
故答案为：3
11．（2020·四川乐山市）已知随机变量的分布列如下表所示，且，则________.


0
1




【答案】3
【解析】因为，所以故答案为：3
12．（2020·安徽省六安中学高二期末（理））已知的分布列


0
1




且，，则______.
【答案】4
【解析】,
且，
，
即，
解得，
故答案为：4
13．（2021·湖南衡阳市八中高二期末）已知随机变量X的分布列如下：

0
1
3




若随机变量Y满足，则Y的方差___________.
【答案】9
【解析】由分布列的性质可知，，所以，
所以数学期望，
方差，
因为，所以，
故答案为：9．
【题组二 实际应用中的分布列与均值】
1．（2021·浙江金华市·高三期末）一个盒子里有2个黑球和3个白球，现从盒子里随机每次取出1个球，每个球被取出的可能性相等，取出后不放回，直到某种颜色的球全部取出．设取出黑球的个数，则__________，__________．
【答案】
【解析】，
表示取球3次，3次取白球，则，
表示取球4次，3次取白球，前3次中有1次取黑球，
则，
，
，
故.
故答案为：，.
2．（2021·江苏南通市·高三期末）“双十一”是指每年的11月11日，以一些电子商务为代表，在全国范围内兴起的大型购物促销狂欢日.某商家在去年的“双十一”中开展促销活动：凡购物满5888元的顾客会随机获得A，B，C三种赠品中的一件，现恰有3名顾客的购物金额满5888元.设随机变量X表示获得赠品完全相同的顾客人数，则_________________，____________.
【答案】
【解析】



故答案为：；.
3．（2020·全国高二课时练习）一个袋子内装有若干个黑球、3个白球、2个红球（所有的球除颜色外其他均相同），从中一次性任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，用随机变量表示取2个球的总得分，已知得0分的概率为．
（1）求袋子内黑球的个数；
（2）求的分布列与均值．
【答案】（1）有4个黑球；（2）分布列见解析，.
【解析】（1）设袋子内黑球的个数为，由条件知，当取得2个黑球时得0分，概率为，化简得，解得或（舍去），即袋子内有4个黑球．
（2）的所有可能取值为0,1,2,3,4，
，
，
，
，
，
的分布列为

0
1
2
3
4






．
4．（2019·全国高二课时练习）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.
（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）用表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，表示“第局甲获胜”，表示“第局乙获胜”.则，.


.
（2）
的可能取值为.

，

，


.
故的分布列为

2
3
4
5






所以.

5．（2021·海林市）某产品有4件正品和2件次品混在了一起,现要把这2件次品找出来,为此每次随机抽取1件进行测试,测试后不放回,直至次品全部被找出为止.
(1)求“第1次和第2次都抽到次品”的概率;
(2)设所要测试的次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】(1)设“第1次和第2次都抽到次品”为事件A,则P(A)==.
(2)X的所有可能取值为2,3,4,5.
P(X=2)=,P(X=3)==,P(X=4)=+=,
P(X=5)=+=.
X的分布列为
X
2
3
4
5
P




因此,E(X)=2×+3×+4×+5×=.
【题组三 均值方差做决策】
1．（2019·全国高二课时练习）设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡寿命表1X(单位：小时)和Y的分布列分别如表1和表2所示：
X
900
1 000
1 100
P
0.1
0.8
0.1

Y
950
1 000
1 050
P
0.3
0.4
0.3
试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？
【答案】乙厂生产的灯泡质量较好.
【解析】由期望的定义，得
E(X)＝900×0.1＋1 000×0.8＋1 100×0.1＝1 000，
E(Y)＝950×0.3＋1 000×0.4＋1 050×0.3＝1 000.
两家灯泡厂生产的灯泡寿命的期望值相等，需进一步考查哪家工厂灯泡的质量比较稳定，即比较其方差．
由方差的定义，得D(X)＝(900－1 000)2×0.1＋(1 000－1 000)2×0.8＋(1 100－1 000)2×0.1＝2 000，
D(Y)＝(950－1 000)2×0.3＋(1 000－1 000)2×0.4＋(1 050－1 000)2×0.3＝1 500.
因为D(X)＞D(Y)，所以乙厂生产的灯泡质量比甲厂稳定，即乙厂生产的灯泡质量较好．
2．（2020·全国高二课时练习）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？
【答案】（1）分布列见解析；（2）300．
【解析】（1）由题意知，所有的可能取值为200，300，500，由表格数据知
，，．
因此的分布列为

200
300
500

0.2
0.4
0.4
（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑
当时，若最高气温不低于25，则；
若最高气温位于区间，则；
若最高气温低于20，则
因此
当时，若最高气温不低于20，则，
若最高气温低于20，则，
因此
所以时，的数学期望达到最大值，最大值为520元．
3．（2020·全国高二课时练习）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：
维修次数
0
1
2
3
台数
5
10
20
15
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．
（1）求X的分布列；
（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）选择延保方案二较合算
【解析】（Ⅰ）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，
，，，
，，
，，
∴的分布列为

0
1
2
3
4
5
6









（Ⅱ）选择延保一，所需费用元的分布列为：

7000
9000
11000
13000
15000







（元）.
选择延保二，所需费用元的分布列为：

10000
11000
12000





（元）.
∵，∴该医院选择延保方案二较合算.
4．（2019·全国高二课时练习）某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2题的便可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成,2题不能完成;考生乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算均值;
(2)试从两位考生正确完成题数的均值及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力.
【答案】（1）； （2）可以判断甲的实验操作能力较强..
【解析】(1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ,η,
则ξ取值分别为1,2,3;η取值分别为0,1,2,3.
P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,
∴考生甲正确完成题数的概率分布列为
ξ
1
2
3
P




Eξ=1+2+3=2.
∵P(η=0)=,
同理P(η=1)=,P(η=2)=,P(η=3)=,
∴考生乙正确完成题数的概率分布列为
η
0
1
2
3
P




Eη=0+1+2+3=2.
(2)∵P(ξ≥2)==0.8,P(η≥2)=0.74,∴P(ξ≥2)>P(η≥2).
从做对题数的均值考察,两人水平相当;从至少完成2题的概率考察,甲获得通过的可能性大.
因此可以判断甲的实验操作能力较强.
5．（2020·辽宁本溪市·高二月考）为倡导绿色出行，某市推出“新能源分时租赁汽车”业务.其中一款新能源分时租赁汽车每次租车收费标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/千米；②行驶时间不超过40分钟时，按0.12元/分计费；超过40分钟时，超出部分按0.20元/分计费.已知王先生家离上班地点15千米，每天租用该款汽车上､下班各一次.由于堵车､红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间是变量(单位：分).现统计其50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：
时间分




频数
2
18
20
10
将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分.
（1）写出王先生一次租车费用(单位：元)与用车时间(单位：分)的函数关系式；
（2）若王先生的公司每月发放1000元的车补，每月按22天计算，请估计：
①王先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班的平均用车时间(同一时段，用该区间的中点值做代表).
②王先生每月的车补能否足够上下班租用新能源分时租赁汽车，并说明理由.
【答案】（1）；（2）①(分)；②王先生每月的车补足够上､下班租用新能源分时租赁汽车，理由见解析.
【解析】（1）当时，，
当时，，
所以；
（2）①王先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均用时
(分)，
②法一：每次上下班的平均租车费用约为元，
则每月均用费为：(元)(元)，
由此估计王先生每月的车补足够上､下班租用新能源分时租赁汽车；
法二：每次上下班的平均租车费用约为

则每月均用费为：(元)元，
由此估计王先生每月的车补足够上､下班租用新能源分时租赁汽车.