2023-2024学年河南省开封市龙亭区重点学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省开封市龙亭区重点学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年河南省开封市龙亭区重点学校九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如果是一元二次方程，则(    )A.  B.  C.  D. 且2.抛物线的顶点坐标是(    )A.  B.  C.  D. 3.将抛物线先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得抛物线的解析式为(    )A.  B.
C.  D. 4.不解方程判断下列方程中无实数根的是(    )A.  B.
C.  D. 5.若关于的一元二次方程的根分别为，，则该方程可以为(    )A.  B.
C.  D. 6.如图，点，在二次函数的图象上，则方程解的一个近似值可能是(    )
A.  B.  C.  D. 7.关于的二次函数与的性质中，下列说法错误的是(    )A. 开口方向相同
B. 对称轴相同
C. 开口大小相同
D. 当时，随的增大而减小，随的增大而增大8.如果抛物线的顶点到轴的距离是，那么的值等于(    )A.  B.  C. 或 D. 或9.某商品原价为元，第一次涨价，第二次在第一次的基础上又涨价，设平均每次增长的百分数为，那么应满足的方程是(    )A.
B.
C.
D. 10.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.一元二次方程化成一般形式后的常数项是______ ．12.如果一条抛物线经过点和，那么该抛物线的对称轴是直线        ．13.若菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则该菱形的面积为______．14.已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： 则时，的取值范围是______ ．15.抛物线的对称轴直线抛物线与轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论中：；；关于的方程有两个不相等实数根；，正确的有______．
 三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.本小题分
解方程：．17.本小题分

如图，二次函数的图象经过、、三点．
观察图象，直接写出点、、的坐标，并求出抛物线的解析式为______ ；
该抛物线的顶点坐标为______ ；
观察图象知，当时，的取值范围是______ ．
18.本小题分
已知：矩形的两边、的长是关于的方程的两个实数根．
当为何值时，四边形为正方形？并说明理由；
若的长为，则矩形的对角线长为______ ．19.本小题分
已知关于的抛物线经过点，
求抛物线的解析式；
将该抛物线进行平移使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数解析式．20.本小题分
春秋旅行社为吸引市民组团去某景点旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过人，人均旅游费用元；如果人数超过人，每增加人，人均旅游费用将降低元，原人均旅游费用不得低于元，某单位组织员工去该景区旅游，共支付给春秋旅游社费用元，则该单位这次共有多少名员工去旅游．21.本小题分

某公园广场上新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置如图，喷水能力最强，水流从处喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度与水平距离之间满足二次函数关系式．
求水流喷出的最大高度是多少米？此时，最高处离喷水装置的水平距离为多少米？
现若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其它因素，花盆需至少离喷水装置多少米处，才不会被喷出的水流击中？
22.本小题分
某工艺品厂设计了一款每件成本为元的工艺品投放市场进行试销，经过市场调查，得出每天销售量件是每件售价元为正整数的一次函数，其部分对应数据如下表所示：每件售价元每天销售量件求关于的函数解析式；
若用元表示工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润，试求关于的函数解析式；
该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是多少元？23.本小题分
如图，已知抛物线过点，交轴于点和点点在点的左侧，抛物线的顶点为，对称轴交轴于点，连接．
直接写出的值，点的坐标和抛物线对称轴的表达式；
若点是抛物线对称轴上的点，当是等腰三角形时，求点的坐标；
点是抛物线上的动点，连接，，将沿所在的直线对折，点落在坐标平面内的点处．求当点恰好落在直线上时点的横坐标．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：是一元二次方程，
，
，
故选：．
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程求解即可．
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足个条件：
整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
只含有一个未知数；
未知数的最高次数是；
二次项的系数不等于．2.【答案】 【解析】解：由，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为，
故选：．
已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
考查了二次函数的性质，将解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是．3.【答案】 【解析】解：抛物线先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得抛物线的解析式为．
故选：．
根据函数图象平移的法则解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．4.【答案】 【解析】分析
先将一元二次方程化为一般式，求出根的判别式，再判断即可解答．
详解
解：、整理得，，方程有两个不相等的实数根，故该选项不符合题意；
B、，，方程无实数根，故该选项符合题意；
C、，，方程有两个不相等的实数根，故该选项不符合题意；
D、整理得 ，方程有两个不相等的实数根，故该选项不符合题意．
故选B．
点评 
本题主要考查了根的判别式解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．5.【答案】 【解析】解：
或
，
故选A．
解此题可以采用排除法，各选择答案都很简单，解方程即可．也可根据根与系数的关系求解．
在解选择题是要注意方法的选择，有直接求解法，排除法等，在解题时要注意解题技巧与方法的积累．6.【答案】 【解析】解：由图象得：的解介于和之间，
故选：．
根据函数和方程的关系，结合图象求解．
本题考查了由图象求一元二次方程的解，理解函数和方程的关系是解题的关键．7.【答案】 【解析】解：二次函数的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是，当时，随的增大而减小；
二次函数的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是，当时，随的增大而增大；
故选项A符合题意，选项B、、不符合题意．
故选：．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8.【答案】 【解析】解：根据题意，
解得或．
故选：．
根据题意，知顶点的纵坐标是或，列出方程求出解则可．
本题考查了求顶点的纵坐标公式，比较简单．9.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
设平均每次增长的百分数为，根据“某商品原价为元，第一次涨价，第二次在第一次的基础上又涨价”，得到商品现在的价格，再根据“某商品原价为元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为”，得到商品现在关于的价格，整理后即可得到答案．
【解答】
解：设平均每次增长的百分数为，
某商品原价为元，第一次涨价，第二次在第一次的基础上又涨价，
商品现在的价格为：，
某商品原价为元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为，
商品现在的价格为：，
，
整理得：，
故选：．10.【答案】 【解析】【分析】
本题考查二次函数和一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质．
先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．
【解答】
解：、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项错误；
B、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项正确；
C、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项错误．
故选：．11.【答案】 【解析】解：将方程化为一般形式：
，
其中常数项为．
故答案为：．
根据一元二次方程的一般形式对应作答即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式的题目，熟练掌握一般形式是解题关键．12.【答案】 【解析】解：抛物线经过点和，
抛物线的对称轴为直线，
故答案为：．
由抛物线的对称性求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征．13.【答案】 【解析】解：，
，
或，
所以，，
菱形的一条对角线长为，
而菱形的对角线互相垂直平分，
菱形的边长为，
菱形的另一条对角线长为，
菱形的面积为．
故答案为：．
先利用因式分解法解方程得到，，再根据菱形的性质可判断，则利用勾股定理可计算出菱形的另一条对角线长为，然后根据菱形的面积公式计算．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了菱形的性质．14.【答案】． 【解析】解：由图表知，二次函数的顶点坐标是，
在对称轴的左侧，随的增大而减小，则当时，，
故答案为：．
根据图表知二次函数的顶点坐标是，可将二次函数的解析式设为顶点式，任取一点坐标代入即可求得二次函数的解析式，然后根据二次函数的性质填空．
本题考查了二次函数图象的单调性．本题侧重于二次函数的解析式的求法与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来．15.【答案】 【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
，所以正确；
与轴的一个交点在和之间，
由抛物线的对称性知，另一个交点在和之间，
时，，且，
即，
，所以错误；
抛物线与轴有两个交点，且顶点为，
抛物线与直线有两个交点，
关于的方程有两个不相等实数根，所以正确；
抛物线的顶点坐标为，
，
，
，
，
，
，
，
，所以正确；
故答案为．
根据抛物线的对称轴可判断；由抛物线与轴的交点及抛物线的对称性以及由时可判断，由抛物线与轴有两个交点，且顶点为，即可判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为得到，即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于：抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．16.【答案】解：
提取公因式得：，
化简得：，
即或，
解得：，． 【解析】把方程左边提取公因式后，变为两因式相乘的形式，根据两数相乘为，这两数中至少有一个为，即可化为两个一元一次方程，求出原方程的两根．
此题主要考查了运用分解因式法解一元二次方程，其步骤是：利用移项的方法将方程右边化为，然后将方程左边分解为两个一次因式的乘积，最后令每一个因式分别为得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解即为原方程的解．17.【答案】    或 【解析】解：因为的图象经过，，三点，
，
解得：，，，
因此，这个二次函数的解析式是．
故答案为：．
，
顶点坐标．
故答案为：．
观察图象可知，当或时，．
故答案为：或．
将、、三点分别代入一般式，然后解方程组即可解决；
利用配方法解决问题即可；
观察图象，看函数的图象与的交点，然后确定取何值时，．
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数图象的知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18.【答案】 【解析】解：当为时，四边形为正方形．
理由如下：
当时，矩形为正方形，
此时，即，
解得，
即时，四边形为正方形；
设，
根据根与系数的关系得，，
即，，
得，
解得，
即，
矩形的对角线长为．
故答案为：．
利用正方形的判定方法得到时，矩形为正方形，则根据根的判别式的意义得到，然后解关于的方程即可；
设，利用根与系数的关系得，，通过解方程组得到，然后利用勾股定理计算矩形的对角线长．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了矩形的性质．19.【答案】解：抛物线经过点，，
，
解得，
抛物线的解析式为：；
由知，
其顶点坐标为，
将抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度后，其顶点恰好落在原点；
平移后的函数解析式为． 【解析】把点，代入抛物线求出、的值，进而可得出其解析式；
把中的抛物线化为顶点式的形式，再由函数图象平移的法则即可得出结论．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．20.【答案】解：设该单位这次共有名员工去旅游，则人均旅游费用为元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：该单位这次共有名员工去旅游． 【解析】设该单位这次共有名员工去旅游，由元，，可得出超过人，则人均旅游费用为元，利用总费用人均费用旅游人数，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合人均旅游费用不得低于元，即可确定结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21.【答案】解：由化为顶点式可得：，
顶点为：，
，
开口向下，
故最大高度为，且最高处离喷水装置的水平距离为米；
由知该函数顶点式为：，
若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其它因素，花盆不会被喷出的水流击中时，
只需求时即可，
，
解得：或舍，
，
花盆需至少离喷水装置米处． 【解析】将化为顶点式，顶点坐标，故最大高度为，最高处离喷水装置的水平距离为米；
由，求出时的值即可．
本题考查二次函数的顶点式，以及二次函数的应用，理解题意是关键．22.【答案】解：设，
由表可知：当时，，当时，，
则，解得：，
关于的函数解析式为：；
由题意可得：
，
关于的函数解析式为：；
，
当或时，代入，
可得：，
该工艺品每件售价为元或元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是元． 【解析】根据表格中数据利用待定系数法求解；
利用利润销售量售价成本即可表示出；
根据中解析式求出当为何值，二次函数取最大值即可．
本题考查了求一次函数表达式，二次函数的实际应用，解题的关键是弄清题中所含的数量关系，正确列出相应表达式．23.【答案】解：抛物线过点，
，
，
抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线；
如图，由知，抛物线的对称轴为，
，
，
，
，，
是等腰三角形，
当时，
，
，
，
当时，
，
，
，
当时，
，
，，
即满足条件的点的坐标为或或或；
如图，
由知，抛物线的解析式为，
，
令，则，
或，
点，
直线的解析式为，
过点作轴于，过点作于，
，
由知，，
由折叠知，，，
≌，
，，
设点，
，，
，，
点，
点在直线上，
，
点在抛物线上，
，
联立解得，或，
即点的横坐标为或． 【解析】将点坐标代入抛物线解析式中，即可得出结论；
分三种情况：直接利用等腰三角形的性质，即可得出结论；
先判断出≌，得出，，进而得出，，确定出点，将点的坐标代入直线的解析式中，和点代入抛物线解析式中，联立方程组，求解即可得出结论．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．