2022-2023学年广东省惠州市惠阳区白石实验学校七年级（下）寒假收心数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省惠州市惠阳区白石实验学校七年级（下）寒假收心数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.长方形的周长为厘米，长比宽多厘米，设宽为，依题意列方程，下列正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.在下列方程中，是一元一次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度单位：与无人机上升的时间单位：之间的关系如图所示．下列说法正确的是(    )

A. 时，两架无人机都上升了
B. 时，两架无人机的高度差为
C. 乙无人机上升的速度为
D. 时，甲无人机距离地面的高度是
 

6.如果数，，满足，，那么下列不等式正确的是(    )

A.  B.
C. 当，时， D. 当，时，

7.已知，，，表示个不同的正整数，满足，其中，则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.若，则我们把称为的“哈利数”，如的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，，依此类推，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.冰箱冷冻室的温度为，此时房屋内的温度为，则房屋内的温度比冰箱冷冻室的温度高(    )

A.  B.  C.  D.

10.如图，小明将自己用的一副三角板摆成如图形状，如果，那么等于(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11.在数轴上，如果点所表示的数是，那么到点距离等于个单位的点所表示的数是______ ．

12.一件商品如果按原价的八折销售，仍可获得的利润．已知该商品的成本价是元，设该商品原价为元，那么根据题意可列方程______．

13.在数轴上，如果点所表示的数是，那么到点距离等于个单位的点所表示的数是______ ．

14.一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为______ ．

15.所有绝对值小于的整数的和是______ ．

16.观察分析下列方程：；；，请利用他们所蕴含的规律，写出这一组方程中的第个方程是______．

17.甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌．规定每人最多两种取法，甲每次取张或张，乙每次取张或张是常数，经统计，甲共取了次，乙共取了次，并且乙至少取了一次张牌，最终两人所取牌的总张数恰好相等，那么纸牌最少有______张．

三、解答题（本大题共8小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.本小题分
计算：．

19.本小题分
计算：．

20.本小题分
超市规定某品牌矿泉水销售方法如下：

学校举行运动会时，六班集体购买这个品牌的矿泉水，由于天气炎热，第一次买的水不够喝，又买了一次第一次多于第二次已知两次共购买水瓶，共付元．
如果六班第一次直接买瓶水，可以少付多少钱？
求这个班级第一次和第二次分别购买多少瓶水？

21.本小题分
阅读理解，并回答问题：
已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如：，，
填空： ______ ；若，则的取值范围是______ ．
某市的出租车收费标准规定如下：以内包括收费元，超过后，每行驶，加收元不足的按计算，用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算：
当单位：千米时，元；
当单位：千米时， ______ 元用符号来取整

22.本小题分
为观看世界杯决赛，名球迷分别乘坐两辆小汽车于某日凌晨一起赶往飞机场，其中一辆小汽车在距机场千米的地方出了故障，此时距规定到达机场的时间仅剩分钟，但唯一可以使用的交通工具只剩一辆小汽车，连司机在内限坐人这辆汽车分两批送这人去机场，平均速度千米时．
方案一：小汽车送走第一批人后，第二批人在原地等待汽车返回接送，那么所有人赶到机场共需______ 分钟，______ 能不能在规定时间内赶到机场；
方案二：小汽车送走第一批人的同时，第二批人以千米时的平均速度往机场方向步行，等途中遇到返回的汽车时再上车前行，那么所有人赶到机场共需______ 小时，______ 能不能在规定时间内赶到机场．

23.本小题分
在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下单位：千米：，，，，，，，．
请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离地多少千米？
救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处______千米；
若冲锋舟每千米耗油升，油箱容量为升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？

24.本小题分
已知射线，从点处再引两射、，使，求的度数．
已知，，，锐角的度数是______ ．

25.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，矩形的对称中心为坐标原点，轴于点点在点的左侧，经过、两点的函数的图象记为，函数的图象记为，其中是常数，图象、合起来得到的图象记为设矩形的周长为．
当点的横坐标为时，求的值；
求与之间的函数关系式；
当与矩形恰好有两个公共点时，求的值；
设在上最高点的纵坐标为，当时，直接写出的取值范围．
 

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C符合题意；
，
选项D不符合题意，
故选：．
运用实数乘方的运算法则对各选项进行逐一计算、辨别．
此题考查了实数的乘方运算能力，关键是能准确确定结果的符号．

2.【答案】 

【解析】解：选项：原式，计算错误，不合题意；
选项：原式，计算正确，符合题意；
选项：原式，计算错误，不合题意；
选项：原式，计算错误，不合题意．
故选：．
A、根据有理数乘方的运算计算判断即可；
B、根据相反数的定义判断即可；
C、根据有理数乘方的运算计算判断即可；
D、根据相反数的定义及有理数乘方的运算计算判断即可．
此题考查的是有理数的乘方、相反数，掌握其运算法则是解决此题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：设宽为厘米，则长为厘米，
由题意可得：，
故选：．
设宽为厘米，则长为厘米，然后根据长方形的周长宽长列出方程即可．
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．

4.【答案】 

【解析】解：是二元二次方程，故本选项不符合题意；
B.未知数的最高次数次，不是一元一次方程，故本选项不合题意；
C.是一元一次方程，故本选项符合题意；
D.是二元一次方程，故本选项不合题意．
故选：．
根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数元，且未知数的次数是，这样的整式方程叫一元一次方程．
本题考查一元一次方程，解题的关键是正确运用一元一次方程的定义，本题属于基础题型．

5.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
时，甲无人机上升了，乙无人机上升了，故选项A错误；
甲无人机的速度为：，乙无人机的速度为：，故选项C错误；
则时，两架无人机的高度差为：，故选项B正确；
时，甲无人机距离地面的高度是，故选项D错误；
故选：．
根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后即可判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
本题考查一次函数的应用，计算出甲、乙两架无人机的速度是解答本题的关键，利用数形结合的思想解答．

6.【答案】 

【解析】解：，
、为异号，
，
、中正数的绝对值较大，
故选：．
首先根据乘法法则判断出、为异号，再根据加法法则判断出正数的绝对值较大，从而可确定答案．
此题主要考查了有理数的乘法和加法，关键是熟练掌计算法则，准确判断符号．

7.【答案】 

【解析】解：，，，表示个不同的正整数，，且，
，则或，，则，，则，，
要使取得最大值，则取最大值，即取最大值，
，，要取最小值，即，，，
，
．
故选：．
根据题意推出，，，的取值范围，即可求解．
本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据已知依次推出，，，的值．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查数字的变化规律；理解题意，能够通过所给例子，找到式子的规律是解题的关键．
分别求出，，，，，即可发现规律，这些数每四个数循环一次．
【解答】
解：，
，
，
，
，

发现规律：这些数每四个数循环一次，
，
，
故选：．

9.【答案】 

【解析】解：用房屋内的温度减去冰箱冷冻室的温度，即：．
故选A．
求房屋内的温度比冰箱冷冻室的温度高多少，即是求房屋内的温度与冰箱冷冻室的温度差，列式计算即可．
本题主要考查有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．这是需要熟记的内容．

10.【答案】 

【解析】解：三角板的两个直角都等于，所以，
，
，
．
故选B．
利用直角和角的组成即角的和差关系计算．
本题是对三角板中直角的考查，同时也考查了角的组成．

11.【答案】或 

【解析】解：如果这个点在点的右侧，表示的数为：；
如果这个点在点的左侧，表示的数为：．
故答案为： 或 ．
到点的距离等于个单位的点有个，分别位于点的右侧和左侧，分别求解即可．
本题考查了实数与数轴，体现了分类讨论的思想，掌握到点的距离等于个单位的点有个是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
根据售价进价利润，即可列出相应的方程，本题得以解决．
【解答】
解：由题意可得，
，
故答案为：．

13.【答案】或 

【解析】解：如图所示：
到点距离等于个单位的点所表示的数是：或．
故答案为：或．
直接根据题意画出数轴，进而分类讨论得出答案．
此题主要考查了数轴，正确分类讨论是解题关键．

14.【答案】 

【解析】解：设这个场地的宽为米，那么它的长为米，
根据题意可列方程：，
故答案为：．
用表示出长方形场地的长，根据等量关系：周长为米即可列出方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是认真审题，找出题目隐含的等量关系．

15.【答案】 

【解析】解：绝对值小于的整数为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
所有绝对值小于的所有整数的和为：，
故答案为：．
根据绝对值的概念得出结论即可．
本题主要考查绝对值的概念和有理数加法等知识，熟练掌握绝对值的概念和有理数加法等知识是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：第个方程为，
第个方程为，
第个方程为，

第个方程为．
故答案是：．
方程中的分式的分子变化规律为：，方程的右边的变化规律为．
本题考查了分式的定义．该题属于寻找规律的题目，对于此类题型，应观察哪部分没有发生变化，哪部分发生了变化，变化的规律是什么．

17.【答案】 

【解析】解：设甲次取张，乙次取张，则甲次取张，乙次取张，
则甲取牌张，乙取牌张
则总共取牌：，
从而要使牌最少，则可使最小，因为为正数，函数为减函数，则可使尽可能的大，
由题意得，，，
又最终两人所取牌的总张数恰好相等，
故，而，为整数，
则由整除的知识，可得可为，，，
当时，，因为，，所以这种情况舍去；
当时，，因为，，所以这种情况舍去；
当时，，此时可以符合题意，
综上可得：要保证，，，值最大，
则可使，；，；，；
当，时，最大，，
继而可确定，，
所以张．
故答案为：．
设甲次取张，乙次取张，则甲次取张，乙次取张，从而根据两人所取牌的总张数恰好相等，得出、之间的关系，再有取牌总数的表达式，讨论即可得出答案．
此题属于应用类问题，设计了数的整除、一次函数的增减性及最值的求法，综合性较强，解答本题要求我们熟练每部分知识在实际问题的应用，一定要多思考．

18.【答案】解：原式． 

【解析】根据有理数的乘法和除法法则进行计算，即可解答．
本题考查了有理数的乘法和除法，掌握有理数的乘法和除法法则进行计算是关键．

19.【答案】解：


． 

【解析】利用有理数的加法运算法则计算．
本题考查了有理数的加法运算，解题的关键是掌握有理数的加法法则．

20.【答案】解：

元．
答：可以少付元．

设六三班第一次购买  瓶矿泉水，依题意可分为三种情况：
第一次买的超过瓶，第二次买的不超过瓶，
依题意得：，
解得：不符合题意．
第一次买的超过瓶但不超过瓶，第二次买的不超过瓶，
依题意得：，
解得：，
瓶．
两次购买的瓶数都是超过瓶但不超过瓶，
依题意得： 元，不符合题意．
答：六三第一次购买瓶矿泉水，第二次购买瓶矿泉水． 

【解析】如果六班第一次直接买瓶水，每瓶元，据此求出一共需要多少钱，进而求出可以少付多少钱即可．
依题意可分为三种情况：第一次买的超过  瓶，第二次买的不超过  瓶；第一次买的超过  瓶但不超过  瓶，第二次买的不超过  瓶；两次购买的瓶数都是超过瓶但不超过瓶，根据：第一次购买需要的钱数第二次购买需要的钱数，列出方程，求出这个班级第一次和第二次分别购买多少瓶水即可．
此题主要考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．

21.【答案】     

【解析】解：由题意得，；
表示大于或等于的最小正整数，
若，则的取值范围是．
故答案为：，．
根据题意可得，．
故答案为：．
接材料上提供的计算方法，就是表示若是整数，就是数本身，如果是一个小数，是指比这个数较大的最小的整数，计算即可；
直接把代入【】得出方程，进而求的范围即
本题考查了一次函数的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

22.【答案】  不能   能 

【解析】解：所有人赶到机场共需：
，
，
，
这名球迷不能在规定时间内赶到机场；
故答案为：，不能；
设第二批人走了小时后与小汽车相遇，
根据题意得，
，
解得：，
第二批人坐上小汽车前共走了，
第二批人坐上小汽车后到机场用时，
则所有人赶到机场共需，
，
能在规定时间内赶到机场．
故答案为：，能．
小汽车送完所有人后一共行驶了千米，根据时间路程速度求出所需的时间，再与规定到达机场的时间进行比较即可解答；
设第二批人走了小时后与小汽车相遇，根据“第二批人走的路程小汽车行驶的路程”列出方程解出，再求出第二批人坐上小汽车后到机场所需时间，即可求出所有人赶到机场所需时间，再与规定到达机场的时间进行比较即可解答．
本题主要考查一元一次方程的应用，根据“路程速度时间”找到正确的等量关系是解题关键．

23.【答案】 

【解析】解：

千米，
答：地位于地的正东方向，距离地千米；
第次记录时冲锋舟离出发点的距离为千米，
第次记录时冲锋舟离出发点的距离为千米，
第次记录时冲锋舟离出发点的距离为千米，
第次记录时冲锋舟离出发点的距离为千米，
第次记录时冲锋舟离出发点的距离为千米，
第次记录时冲锋舟离出发点的距离为千米，
第次记录时冲锋舟离出发点的距离为千米，
第次记录时冲锋舟离出发点的距离为千米，
由此可知，救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处为千米；
故答案为：；
冲锋舟当天航行总路程为：


千米，
则升，
答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充升油．
把题目中所给数值相加，若结果为正数则地在地的东方，若结果为负数，则地在地的西方；
分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可；
先求出这一天走的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量．
本题考查的是有理数的加减混合运算，解答此题的关键是熟知用正负数表示两种具有相反意义的量，注意所走总路程一定是绝对值的和．

24.【答案】或或或 

【解析】解：如图，射线在的外部时，
，，
；
射线在的内部时，
，，
．
综上所示，的度数为：或．

由题意，，，，根据角的不同和位置的不同，有以下几种情况：
如图：．

如图：；

如图：；

如图：．

故答案为或或或．
因为射线的位置不明确，所以分射线在的外部，射线在的内部两种情况进行讨论求解；
由于角的大小不同，以及角的位置可能不同，需要分为四种情况进行讨论．
此题主要考查了角的计算以及学生的开放性思维，对图象多解问题的考虑及学生的动手操作能力．

25.【答案】解：由题意，，
把代入中，得到，
．
抛物线的对称轴，
，
矩形的对称中心为坐标原点，
，，
．
当与矩形恰好有两个公共点，
抛物线的顶点在线段上，
，
或舍弃，
．

的顶点，过点，顶点，过点．
当，最高点是抛物线的顶点时，
若，解得或舍弃，
若时，或舍弃，
又，
观察图象可知满足条件的的值为，
时，当是最高点，则，
解得，与条件矛盾，
此时是最高点时，

解得，
当时，若是最高点，则
．
解得与条件矛盾．
此时是最高点，
，
解得，
综上所述，，
． 

【解析】本题考查二次函数综合题、矩形的性质、待定系数法、不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．
求出点坐标利用待定系数法即可解决问题；
利用对称轴公式，求出的长即可解决问题；
由与矩形恰好有两个公共点，推出抛物线的顶点在线段上，利用待定系数法即可解决问题；
分三种情形讨论求解即可；