2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区重点中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区重点中学高二（上）月考数学试卷（10月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知复数为虚数单位，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.将直线沿轴正方向平移个单位，再沿轴负方向平移个单位，又回到了原来的位置，则的斜率是(    )

A.  B.  C.  D.

3.双曲线的渐近线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

4.赵爽弦图是中国古代数学的重要发现，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图已知小正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，且，则大正方形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

5.正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，则其体积为(    )

A.  B.  C.  D.

6.已知半径为的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为(    )

A.  B.
C.  D.

7.如图，在三棱锥中，，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是(    )

A.
B.
C.
D.

8.设椭圆的左、右两个焦点分别为、，右顶点为，为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知为虚数单位，复数，则下列说法正确的是(    )

A. 复数的实部为 B. 复数的虚部为
C. 复数的共轭复数为 D. 复数的模为

10.实践育人是落实立德树人根本任务的重要环节，是培养担当民族复兴大任时代新人的有效途径某研究性学习小组为了解某校名学生参加年暑期社会实践的情况，通过分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，对学生某一天社会实践的时间单位：分钟进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示已知样本中的人数为人，则以下说法正确的是(    )

A.
B.
C. 估计全校社会实践时间在分钟以上的学生约为人
D. 估计该样本数据的平均数为

11.如图，是椭圆与双曲线：在第一象限的交点，且，共焦点，，，，的离心率分别为，，则下列结论正确的是(    )

A. ， B. 若，则
C. 若，则的最小值为 D.

12.如图，正方体边长为，是上的一个动点，下列结论中正确的是(    )

A. 的最小值为
B. 的最小值为
C. 当在直线上运动时，三棱锥的体积不变
D. 以点为球心，为半径的球面与面的交线长为
 

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知点，直线：，且点在直线上，，则点的坐标是______ ．

14.函数在的最大值是______ ．

15.如图，正方体的棱长为，，分别为，的中点，是底面上一点若平面，则与平面成角的正弦值的取值范围是______ ．

16.已知长方形的边长，，，分别是线段，上的动点，，则的最小值为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
设的内角，，的对边分别为，，若．
求；
当为锐角三角形，时，求的周长的取值范围．

18.本小题分
已知：．
Ⅰ设点为上的一个动点，求的范围；
Ⅱ直线过点，且与交于、两点，若，求直线的方程．

19.本小题分
某次数学考试中只有两道题目，甲同学答对每题的概率均为，乙同学答对每题的概率均为，且每人各题答题结果互不影响已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．
求和的值；
设事件“甲同学答对了道题”，事件“乙同学答对了道题”，，，，试求甲乙两人共答对了道题的概率．

20.本小题分

如图，在正三棱柱中，为的中点．
求证：；
若，，求点到平面的距离．

21.本小题分
已知直线与抛物线：交于，两点，且．
求的值；
设为抛物线的焦点，，为抛物线上两点，，求面积的最小值．

22.本小题分
在平面直角坐标系中，设椭圆：的两个焦点分别为，，点在椭圆上，连结，并延长，分别交椭圆于点，已知的周长为，面积最大值为．
求椭圆的标准方程；
当不是椭圆的顶点时，试分析直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．

2.【答案】 

【解析】解：设直线的方程为，其中是的斜率
沿轴正方向平移个单位，再沿轴负方向平移个单位，
平移后的直线对应方程为：，即，
又平移后的直线与直线重合
对任意、恒成立，
可得：，解之得
故选：．
设直线的方程为，根据函数图象平移的规律可得平移后的直线对应：，再用比较系数法建立关于、的等式，解之即可得到的斜率．
本题给出直线按某个向量平移后，所得直线与原直线重合，求直线的斜率，考查了函数图象平移的公式和直线斜率求法等知识，属于基础题．

3.【答案】 

【解析】解：双曲线 渐近线方程为：，
所以双曲线的渐近线方程为：
故选：．
利用双曲线方程，直接求解渐近线方程即可．
本题双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题．

4.【答案】 

【解析】解：，，
设直角三角形两边之长为，，则斜边为，
正方形的面积为，，解得，
大正方形的边长，
大正方形的面积为．
故选：．
由已知可得，进而设直角三角形两边之长为，，由小正方形的面积可得，进而可求大正方形的面积．
本题考查正方形的面积的求法，考查三角恒等变换，属中档题．

5.【答案】 

【解析】解：如图所示，正四棱台中，是高，
连接 ，，设，垂足为，
显然，
该正四棱台的高为，
正四棱台的体积．
故选：．
根据正四棱台的性质，结合正四棱台的体积公式进行求解即可．
本题考查正四棱台的的体积的求解，属基础题．

6.【答案】 

【解析】解：设圆心坐标，
由圆心与点关于直线对称，得到直线与垂直，
结合的斜率为得直线的斜率为，
所以，化简得，
再由的中点在直线上，
得到，化简得
联解，可得，，
圆心的坐标为，
半径为的圆的标准方程为．
故选：．
设圆心坐标，由对称知识求出圆心的坐标为，由此能求出半径为的圆的标准方程．
本题考查圆的标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对称知识的合理运用．

7.【答案】 

【解析】解：设点为的中点，连接，，由于，，所以，，所以为二面角的平面角；
由于二面角的正切值是，
所以，故；
在中，，
在中，，
在中，由余弦定理；
所以，
由于，
所以、、两两垂直，将三棱锥体补成正方体，
如图所示：

正方体的棱长为，则正方体的对角线长为，
故外接球的半径，
则外接球的表面积为．
故选：．
首先利用二面角的正弦值求出二面角的余弦值，进一步判定，且、、两两垂直，由此将三棱锥补形成正方体，进一步求出正方体的外接球半径，进一步求得外接球的表面积．
本题考查的知识要点：二面角的应用，余弦定理和补形法的应用，球的半径和球的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属中档题．

8.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，三角形的解法，是中档题．
画出图形，利用已知条件，通过求解三角形推出椭圆的离心率即可．

【解答】
解：设椭圆的左、右两个焦点分别为、，右顶点为，
为椭圆上一点，且，，
可知：，，设，可得，
，
，解得，
可得．
故选B．

9.【答案】 

【解析】解：由题设的实部为，虚部为，共轭复数为，模为．
故选：．
根据复数的概念、共轭复数的概念及模的运算判断各项正误．
此题考查复数的基本概念，属于中档题．

10.【答案】 

【解析】解：某研究性学习小组为了解某校名学生参加年暑期社会实践的情况，
通过分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，
对学生某一天社会实践的时间单位：分钟进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示，

由，得，故A正确；
因为样本中的人数为人，所以，得，故B正确；
因为全校社会实践时间在分钟以上的频率为，
所以全校社会实践时间在分钟以上的学生约为，故C错误；
平均数为：，故D正确．
故选：．
对于，由频率分布直方图中各小矩形的面积之和为求解判断；对于，利用频率公式求解判断；对于，利用比例关系求解判断；对于，利用平均数公式求解判断．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数的定义，属于基础题．

11.【答案】 

【解析】解：由椭圆和双曲线的定义，，
，，故A正确；
在中，由余弦定理可得，
，
，
，
当，则，故B正确；
当，，由，即当且仅当时等号成立，故C错误；
由，则，即，故D正确．
故选：．
根据双曲线和椭圆的定义，余弦定理，离心率公式，基本不等式和焦点三角形的面积公式即可判断．
本题考查了双曲线和椭圆的定义，余弦定理，离心率公式，基本不等式和焦点三角形的面积，属于中档题．

12.【答案】 

【解析】解：对于，正方体边长为，，
到直线的距离，故A正确；
对于，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，
设，则，

，
表示距离，
表示距离，
，故B错误；
对于，，平面，
到平面的距离为定值，为定值，则为定值，故C正确；
对于，由平面，设与平面交于点，，
设以为球心，为半径的球与面交线上任一点为，
，，为以为圆心，为半径的圆上
此圆恰好为的内切圆，完全落在面内，
交线长为，故D正确．
故选：．
对于，求出，由此能求出到直线的距离；对于，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法判断；对于，由，得平面，从而到平面的距离为定值，为定值，则为定值；对于，由平面，设与平面交于点，设以为球心，为半径的球与面交线上任一点为，求出为以为圆心，为半径的圆上此圆恰好为的内切圆，完全落在面内，由此判断．
本题考查命题真假的判断，考查点到直线的距离、勾股定理、线面平行的判定与性质、球的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

13.【答案】 

【解析】解：设，
由题意可知，，解得，，
故点的坐标是．
故答案为：．
根据已知条件，结合直线垂直的性质，列出不等式组，即可求解．
本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．

14.【答案】 

【解析】解：，
因为，
所以，
又在上单调递减，
即当，即时，函数取得最大值．
故答案为：．
由辅助角公式，结合三角函数最值的求法求解即可．
本题考查了辅助角公式，重点考查了三角函数最值的求法，属中档题．

15.【答案】 

【解析】解：分别取的中点，的中点，连接，，，
因为，分别为，的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为，分别为，的中点，所以，
同理可知，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为，，平面，所以平面平面，
因为是底面上一点，且平面，所以点，
在等腰中，，
设与平面所成角为，则

故答案为：
分别取的中点，的中点，连接，，，分别证明平面，平面，进而知平面平面，于是有点，设与平面所成角为，由，求出线段的取值范围，即可得解．
本题考查线面夹角的求法，熟练掌握面面平行的判定定理，线面角的定义是解题的关键，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

16.【答案】 

【解析】解：设点为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴建立坐标系，如图，
不妨设，，则，，
，其中，
因为，所以，
即，整理得，
所以，
当且仅当时，等号成立，
则的最小值为．
故答案为：．
建立坐标系，设，，得，的坐标，由，根据两角和的正切公式得到，之间的关系，进而利用基本不等式求得最小值．
本题考查坐标法解决平面向量数量积的运算，考查基本不等式求最值，属中档题．

17.【答案】解：，
由正弦定理可得，
，
，
，又，
；
为锐角三角形，且，
由正弦定理得
，，
又，，

，
为锐角三角形，
，
，，
，
，
周长的取值范围为． 

【解析】直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出的值；
利用三角函数的关系式的变换和函数的性质的应用求出三角形周长的取值范围．
本题考查的知识要点：正弦定理和三角函数关系式的变换，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．

18.【答案】解：Ⅰ设，则直线与有公共点，
所以圆心到直线的距离，
，
解得．
的范围：；
Ⅱ当直线垂直于轴时，此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为，，
这两点的距离为，满足题意；
当直线不垂直于轴时，设其方程为，
即，设圆心到此直线的距离为，则，
得，从而，得，此时直线方程为，
综上所述，所求直线方程为或． 

【解析】Ⅰ设，通过直线与有公共点，列出不等式求解即可．
Ⅱ当直线垂直于轴时，验证两点的距离为，满足题意；
当直线不垂直于轴时，设其方程为，设圆心到此直线的距离为，结合点到直线的距离转化求解，得到直线方程即可．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力．

19.【答案】设事件为“甲同学答对第一题”，为“乙同学答对第一题”，则，．
设为“甲、乙二人均答对第一题”，为“甲、乙二人中恰有一人答对第一题”，
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，
所以，．
由题意可得
即解得或
由于，所以，．
由题意得，，，
，．
设为“甲乙二人共答对道题”，则．
由于和相互独立，与互斥，
所以．
所以，甲乙二人共答对道题的概率为． 

【解析】根据题意得出关于，的方程而后求解即可；
利用相互独立事件的概率乘法公式进行计算即可．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属中档题．

20.【答案】解：证明：在正三棱柱中，可得面面，
为的中点，可得，
面面，面，
所以面，面，
所以可证得；设到平面的距离为，
取的中点，连接，，
可得，
由正三棱柱可得到面的距离为，；
，
因为，即，
即，解得，
所以点到平面的距离为． 

【解析】由正三棱柱的性质可证得面，进而可证得结论；
求出到面的距离及的面积，进而求出的体积，再求的面积，由等体积法可求得到平面的距离．
本题考查线线垂直的证法及等体积求点到面的距离公式的应用，属于中档题．

21.【答案】解：设，，
由，可得，
由，则，
所以，，
弦长，
化简得，
所以或舍，
所以．
由可得抛物线的方程为，则它的焦点，
显然直线的斜率存在，
设直线：，，，
由可得，，
所以，，
，
因为，所以，
即，
即
将，代入得，
，，
所以，且，
解得或
设点到直线的距离为，，
因为，
，
所以的面积，
而或，
当时，的面积． 

【解析】利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出；
设直线：，，，利用，找到，的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．
本题考查抛物线的方程的求法，直线与抛物线的综合应用，三角形面积的求法，属于中档题．

22.【答案】解：由题意得，解得，
所以椭圆的方程为．
设直线的方程为，，，，
由得，
，
即，
，，
，同理可得，
，
为定值． 

【解析】根据的周长为和面积最大值为，得到，求解；
设直线的方程为，，，，与椭圆方程联立，利用韦达定理求得点的坐标，同理得到点的坐标，再利用斜率公式求解．
本题主要考查圆锥曲线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．