2023-2024学年甘肃省天水市麦积重点中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年甘肃省天水市麦积重点中学高二（上）月考数学试卷（10月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.等差数列中，，，则数列的公差为(    )

A.  B.  C.  D.

2.在等比数列中，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.在正项等比数列中，，是方程的两个根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.已知三点，，在同一直线上，则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 或

5.设为等比数列的前项和，且，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

6.数列的前项和为，若，，则等于(    )

A.  B.
C.  D.

7.已知数列满足，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.公元前世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了米，此时乌龟便领先他米；当阿基里斯跑完下一个米时，乌龟仍然前于他米．当阿基里斯跑完下一个米时，乌龟仍然前于他米，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为
(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.设等比数列的前项和为，且满足，则(    )

A. 数列的公比为 B. 数列的公比为
C.  D.

10.已知递减的等差数列的前项和为，若，则(    )

A.  B. 当时，最大
C.  D.

11.已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

12.已知等比数列的前项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是(    )

A. 数列的通项公式
B.
C. 数列的通项公式为
D. 的取值范围是

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.在数列中，，，为的前项和，若，则______．

14.直线过点，且与以，为端点线段有公共点，则直线斜率的取值范围为______．

15.在等差数列中，前项为奇数和为，其中偶数项之和为，且，则的值为______ ．

16.将数列按“第组有个数”的规则分组如下：，，，，则第组中的第一个数是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
已知数列为等差数列，且，．
求数列的通项公式；
若等比数列满足，，求数列的通项公式．

18.本小题分
设等差数列满足，．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ求的前项和及使得最大的序号的值．

19.本小题分
已知是数列的前项和，且满足．
证明为等比数列；
求数列的前项和．

20.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求数列的通项公式；
若数列的前项和为，求．

21.本小题分
问题：设公差不为零的等差数列的前项和为，且，_____．
下列三个条件：，，成等比数列；；从上述三个条件中，任选一个补充在上面的问题中，并解答．
求数列的通项公式；
若，数列的前项和为，求证：．

22.本小题分
已知数列的前项和为，，且
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ设数列满足，记的前项和为，若对任意恒成立，
求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】【分析】

本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．设数列的公差为，则由题意可得，，由此解得的值．

【解答】
解：设数列的公差为，则由，，可得，，解得，
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：设等比数列的公比为，
，，
，解得，
．
故选：．
根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．

3.【答案】 

【解析】解：由题意可得 ，故，
则，
故选  ．
由题意可得 ，故，故有则，进而可得答案．
本题考查等比数列的性质，一元二次方程根与系数的关系，得到，是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：三点，，在同一直线上，
则直线的斜率和直线的斜率相等，
即，
化简得：，
解得，
故选：．
将三点在同一直线上，转为两条直线的斜率相等，列方程解出值．
本题考查直线的斜率公式，考查三点共线的应用，属于基础题．

5.【答案】 

【解析】解：因为等比数列中，且，
所以，，
则．
故选：．
由已知结合等比数列的性质先求出公比，然后结合等比数列的求和公式可求．
本题主要考查了等比数列的性质及求和公式，属于基础题．

6.【答案】 

【解析】解：由可得： ，两式相减得：，即，，
又由可得：，，
当时，，
综上，，
故选：．
先由题设条件，，再由，进而求得．
本题主要考查由数列的递推关系式求数列的通项公式，属于中档题．

7.【答案】 

【解析】解：因为，
则，
又，则，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
则，
所以，
则．
故选：．
利用递推关系，构造数列是首项为，公差为的等差数列，由等差数列通项公式求出，即可得到答案．
本题考查了数列递推关系的应用，等差数列定义以及等差数列通项公式的运用，考查了构造法求解数列通项公式的运用，属于中档题．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了等比数列的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
由题意知乌龟每次爬行的距离构成等比数列，写出、和，由此求出乌龟爬行的总距离．
【解答】
解：由题意知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，
且，，；
乌龟爬行的总距离为
．
故选B．

9.【答案】 

【解析】解：设等比数列的公比为，，
，，解得．
因此A正确，不正确．
又，，
，
因此不正确，D正确．
故选：．
利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

10.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查等差数列的前项和，数列的函数特征，考查运算求解能力，属于拔高题．
由递减的等差数列的前项和为，，列出方程，求出，再逐一判断各选项．

【解答】
解：递减的等差数列的前项和为，，
，解得，
，故A错误；
．
当时，最大，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
则，
由为整数，可知为的正约数，则的可能取值有，，，
因此，正整数的可能取值有，，．
故选：．
由题意利用等差数列的性质可得，根据为整数，讨论即可得解．
本题考查等差数列的性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

12.【答案】 

【解析】解：设等比数列的公比为，，是与的等差中项，
，，即，
解得，，
，．
，可得AB正确，不正确．
，
数列的前项和为，
又，
，因此D正确．
故选：．
设等比数列的公比为，根据，是与的等差中项，可得，，即，解得，，利用等比数列的通项公式及求和公式可得，，即可判断出的正误．利用裂项求和方法可得数列的前项和为，利用数列的单调性即可判断出是否正确．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

13.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了等比数列的求和公式，解题的关键是熟练掌握基本公式，属于基础题．
由，结合等比数列的定义可知数列是为首项，以为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解．
【解答】
解：，
，
，
数列是为首项，以为公比的等比数列，
，
，
，
．
故答案为．

14.【答案】 

【解析】解：如图示：

当直线过时设直线的斜率为，
则，
当直线过时设直线的斜率为，
则，
要使直线与线段有公共点，
则直线的斜率的取值范围是，
故答案为：．
结合函数的图象，求出端点处的斜率，从而求出斜率的范围即可．
本题考查了求直线的斜率问题，考查数形结合思想，是一道基础题．

15.【答案】 

【解析】解：前项为奇数和为，其中偶数项之和为，
则奇数项的和为，
设等差数列的公差为，
奇数项的和减偶数项的和为，
又，
则，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
根据已知条件，先求出奇数项的和，再结合等差数列的性质，求出，，即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，属于属于基础题．

16.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了进行简单的合情推理，解答的关键是对题意的理解，训练了等差数列的前项和的求法，是中档题．
由分组规则可知，前组中的数的个数构成以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的求和公式得到前组的最后一个数的项数，则第组中的第一个数可求．
【解答】
解：由题意，前组数共包含个数，
则第组数中的第一个数应是原数列的第项，即．
故答案为：．

17.【答案】解：设等差数列的公差为，
因为，，
所以，，
故，；
因为等比数列满足，，
所以，． 

【解析】由已知结合等差数列的性质因为可求，，进而可求公差及通项公式；
由已知结合等比数列的通项公式可求，然后结合等比数列的通项公式可求．
求解等差数列或等比数列的通项公式，关键是求出基本量，公式的灵活应用是求解问题的关键．

18.【答案】解：由及，得
，
解得，，
数列的通项公式为
由知．
因为．
所以时，取得最大值． 

【解析】设出首项和公差，根据，，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．
由上面得到的首项和公差，写出数列的前项和，整理成关于的一元二次函数，二次项为负数求出最值．
数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．

19.【答案】证明：当时，，
，可得，
转化为：
，
即，
所以
又，
所以为首项为，公比为的等比数列；
解：由知：，
所以，
于是

．
所以． 

【解析】本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，同时考查等差数列的求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
当时，，求得首项为，由题意可得，运用等比数列的定义即可得证；
运用等比数列的通项公式可得，再由数列的求和方法：分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，化简即可得到所求和．

20.【答案】解：当时，，解得．
当时，，
所以，
即，
所以数列是以首项为，公比为的等比数列，
故．
，
则，
，
上面两式相减，可得
，
，
化简可得． 

【解析】运用数列的递推式：当时，，当时，，结合等比数列的通项公式即可得到所求通项；
求得，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．
本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

21.【答案】解：设等差数列的公差为．
选条件：，，，成等比数列，
，解得，
故数列的通项公式为．
选条件：，，
，解得，
故数列的通项公式为．
选条件：，，
，解得，
故数列的通项公式为．
证明：，

． 

【解析】选分别与组成方程组，解出首项与公差即可得解；
利用裂项相消法求出数列的前项和为，即可得证．
本题主要考查了等比数列的性质，数列的和与项的递推关系的应用，还考查了裂项求和，属于中档题．

22.【答案】解：Ⅰ由可得，
两式作差，可得：，
，
很明显，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
其通项公式为：
Ⅱ由，得，
，
，
两式作差可得：


，
则．
据此可得恒成立，即恒成立．
时不等式成立；
时，，由于时，故；
时，，而，故：；
综上可得，． 

【解析】Ⅰ首先利用递推关系式确定数列为等比数列，然后结合等比数列的通项公式可得数列的通项公式；
Ⅱ首先错位相减求得的值，然后分离参数利用恒成立的结论分类讨论即可求得实数的取值范围．
本题主要考查由递推关系式求数列的通项公式的方法，错位相减求和的方法，数列中的恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．