2023-2024学年黑龙江省哈尔滨重点中学高一（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨重点中学高一（上）第一次月考

数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1.设集合，，则图中的阴影部分表示的集合为(    )

A.  B.  

C.  D.

2.命题“，”的否定为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3.哈尔滨市实行“阶梯水价”，具体收费标准如表所示：

若小李同学年用水量为，则应交水费为(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

4.设集合，集合且，则有(    )

A. 有个元素 B. 有个元素 C. 有个子集 D. 有个子集

5.下列选项中表示同一函数的是(    )

A. 与
B. 与
C. 与
D. 与

6.已知，，，则下列命题为真命题的是(    )

A. 若，则 B. 若且，则
C. 若，则 D. 若，则

7.下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有个．(    )
若，是偶数，则是偶数
若，则方程有实根
若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形
若，则

A.  B.  C.  D.

8.已知，，且，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.下列命题中，错误的是(    )

A. “”是“”的必要不充分条件
B. ，
C. 命题“，”的否定为假命题
D. “三角形为等腰三角形”是“三角形为正三角形”的必要不充分条件

10.下列命题为真命题的是(    )

A. 若，则解集为
B. 若，则解集为
C. 若，则解集为
D. 若，则解集为

11.若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

12.已知集合，中都至少有两个元素，并且满足下列条件：
集合，中的元素都为正数；
，，都有；
，，都有；
则下列说法正确的是(    )

A. 若有个元素，则有个元素 B. 若有个元素，则有个元素
C. 若有个元素，则有个元素 D. 存在满足条件且有个元素的集合

二、非选择题（共90分）

13.函数的定义域为______ ．

14.已知函数的定义域为，则函数的定义域为______ ．

15.设集合，集合，若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是______．

16.设，，则当          时，取得最小值．

17.已知，试比较与的大小；
证明：．

18.已知函数．
若不等式的解集为，求不等式的解集．
若，解集为，求的取值范围．

19.设，．
若，求，的值．
若，求，的值．

20.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量千辆小时与汽车的平均速度千米小时之间的函数关系为：．
在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？保留分数形式
若要求在该时段内车流量超过千辆小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？

21.讨论关于的不等式的解集．

22.已知二次函数．
若，，对，恒成立，求实数的取值范围．
若，的解集为，的解集为，且，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由图可知，阴影部分的元素为属于且属于的元素构成，
所以用集合表示为．
故选：．
根据图形得到阴影部分表示的集合为与的交集，即为集合与中不等式的公共部分，即可求解结论．
本题主要考查图表达集合的关系和运算，比较基础．

2.【答案】 

【解析】解：，”的否定为，．
故选：．
根据全称量词命题的否定判断各选项．
本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．

3.【答案】 

【解析】解：由题意可知，应交水费为元．
故选：．
直接利用“阶梯水价”的收费标准求解即可．
本题主要考查了函数的实际应用，属于基础题．

4.【答案】 

【解析】解：因为，且，
所以，
所以，，
所以 有个子集，
故选C．
由题意得，再求出，，即可得出结果．
本题主要考查集合的运算，属于基础题．

5.【答案】 

【解析】解：项，中，中，，不是同一函数；
项，中，则，中，，或，
取值范围不同，不是同一函数；
项，，对应关系不同，不是同一函数；
项，，是同一函数．
故选：．
根据取值范围，对应关系，值域判断函数是否为同一函数．
本题考查同一函数的判断，属于基础题．

6.【答案】 

【解析】解：对于，若成立，则，所以，可得，故A正确；
对于，由得，结合，可知，所以，故B正确；
对于，由，得，所以，
结合，两边同时乘以，得，故C正确；
对于，因为，，，
可得，即，故D不正确．
故选：．
根据题意，利用不等式的基本性质逐一分析，即可得到本题的答案．
本题主要考查了利用不等式的基本性质比较实数的大小等知识，属于基础题．

7.【答案】 

【解析】解：对于，是偶数，不能保证，均是偶数，也有可能都是奇数，故不符合题意；
对于，若方程，则需满足，即，可推出，故符合题意；
对于，若四边形是菱形，则四边形对角线互相垂直，故符合题意；
对于，若，则，故符合题意．
故选：．
根据必要条件的概念找出符合要求的选项即可．
本题考查了必要条件的定义，属于基础题．

8.【答案】 

【解析】解：因为，，且，
则，
当且仅当且，即，时取等号．
故选：．
由已知利用乘法结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了乘法及基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．

9.【答案】 

【解析】解：对于选项，解方程可得或，
故“”是“”的充分不必要条件，错；
对于选项，当时，，错；
对于选项，对于方程，，即方程无实解，
故命题“，”为假命题，其否定为真命题，错；
对于选项，“三角形为等腰三角形”推不出“三角形为正三角形”，
但“三角形为等腰三角形”“三角形为正三角形”，
故“三角形为等腰三角形”是“三角形为正三角形”的必要不充分条件，对．
故选：．
利用充分条件、必要条件的定义可判断选项；利用特殊值法可判断选项；利用一元二次方程的判别式、存在量词命题的否定可判断选项．
本题考查了充分必要条件的定义，考查命题的真假以及不等式问题，是基础题．

10.【答案】 

【解析】解：对于，由得：，解得：，故A正确；
对于，由得：，即，解得：，故B正确；
对于，由得：，即，即，即，解得：，故C错误；
对于，由，得或，解得：或，故D错误．
故选：．
解出各选项中的不等式即可．
本题考查不等式的解法，属于基础题．

11.【答案】 

【解析】【分析】

对于选项B直接用特殊值法代入排除，其他选项用基本不等式代入求解即可判断．
此题主要考查基本不等式，属于中档题目．

【解答】
解：对于不等式，
由，
当且仅当时取等号，A正确；
对于不等式，令，时不成立，B错误；
对于不等式，
，当且仅当时取等号，C正确；
对于不等式，，当且仅当时取等号，D正确．
故选ACD．

12.【答案】 

【解析】解：若有个元素，设，则根据题意，则，，．
至少有个元素，集合中至少还有一个元素，
设，，则，且，
若，则，
，，，，矛盾，
故，或．
若，则，，，
若，则，与矛盾，，同理．
此时；
若，则，，，
若，则，与矛盾，，同理．
此时；
综上，若有个元素，则有个元素，有个元素，有个元素，
故A错误，B正确，C正确；
假若有个元素，设，则，，为互不相等的正数．根据，有，，．
由于，，都是正数，且两两不相等，所以，，两两不相等．
由条件可得，都是集合的元素．
，，为互不相等的正数，都是不等于的正数．
．
，为不相等的正实数，，若，则为互不相等的正数，由两边取到数得，又，是与三个不等正数都不相等的正数，
由于它们都是集合的元素，从而集合至少有四个元素，与初始假设矛盾；，于是同理，，
由此，从而，这与集合的元素的互异性矛盾．故“有个元素”是不可能的，故D错误．
故选：．
若有个元素，设，根据集合的性质和题设进行分析推导，可以判定；假若有个元素，设，根据题设条件推导，可以得到还会有第四个元素，得到矛盾，从而判定．
本题主要考查元素与集合之间的关系，属于中档题．

13.【答案】且 

【解析】解：函数，
，
解得且．
故函数的定义域为：且．
故答案为：且．
根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了函数的定义域及其求法问题，也考查了根式和分式的应用问题，是基础题．

14.【答案】 

【解析】解：函数的定义域为，
，
解得：，
即函数的定义域是为．
故答案为：．
根据函数定义域的求法，直接解不等式，即可求函数的定义域．
本题主要考查复合函数定义域的求法，属于基础题．

15.【答案】 

【解析】解：集合或，
集合，
当，即时，，所以，且；
当，即时，，所以，不满足题意；
当，即时，，若中恰含有一个整数，则，解得；
综上知，的取值范围是．
故答案为：．
化简集合、，讨论的取值情况，写出集合，根据题意求出中恰含有一个整数列出不等式求得的取值范围．
本题考查了区间的定义，一元二次不等式的解法，分类讨论以及交集的定义和应用问题，是中档题．

16.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查利用导数求函数的最值不含参、利用导数判断已知函数的单调性，属于中档题．
由和可得，设，画出函数的图象，利用导数判断函数的单调性求出最小值，即可得到答案．

【解答】
解：因为，，
所以，
设，
画出函数的图象，如图所示，
若，则，
则，
当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，取得最小值．
同理可得，若，当时，取得最小值．
综上所述：当时，取得最小值．
故答案为：．

17.【答案】解：，
，则，，，，即，
．
证明：，
，当且仅当时取等号，
，
，
． 

【解析】根据给定条件，作出被比较的两个式子的差，判断符号即可得解．
作出所证不等式两边的差，变形并判断符号作答．
本题主要考查不等式的证明，考查转化能力，属于中档题．

18.【答案】解：由题意可知，不等式的解集为，
和是方程的两个根，
，解得，
不等式，可化为，
解得或，
即不等式的解集为；
若，则可化为，，
解集为，
，
解得，
即的取值范围为． 

【解析】由题意可知，和是方程的两个根，由韦达定理可求出，的值，进而求出不等式的解集；
若，则可化为，，再利用求解即可．
本题主要考查了“三个二次”的关系，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题．

19.【答案】解：由题意可知：，
因为，所以，是方程的两根，
即，，即，．
因为，
所以集合或集合或集合，
当集合时，且，
所以，；
当集合时，，且，是方程的两根，
所以，即，；
当集合时，，且，是方程的两根，
所以，即，． 

【解析】首先计算出集合，然后根据可得，是方程的两根，利用韦达定理即可得出所求的答案；
由题意可知集合或集合或集合，分三种情况讨论，并分别计算，的值．
本题考查集合间的基本关系，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属中档题．

20.【答案】解：依题意，，当且仅当，即时，等号成立，
千辆时，
当时，车流量最大，最大车流量约为千辆时．
由条件得，整理得，即，解得，
所以如果要求在该时段内车流量超过千辆时，则汽车的平均速度应大于且小于． 

【解析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
令，解出的取值范围，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式是解本题的关键，属于中档题．

21.【答案】解：，
，
时，由，解得：，
不等式的解集是；
时时，，
故不等式的解集是或，
时，时，，
故不等式的解集是，
时，不等式为，不等式无解，
时，，
故不等式的解集是；
综上：时，不等式的解集是或，
时，不等式的解集是；
时，不等式的解集是，
时，不等式的解集是，
时，不等式的解集是． 

【解析】通过讨论的范围，求出不等式的解集即可．
本题考查了解二次不等式问题，考查分类讨论思想，是中档题．

22.【答案】解：因为，，
所以，，
所，，
所以，
又因为对，恒成立，
即在上恒成立，
因为，所以，，
所以，
令，
则有，
因为，
所以，当，即时，等号成立，
所以，
所以，
所以的取值范围为；
因为，所以，
令，则的解集为，等价于的解集为，
所以的一个解为，
所以，
又因为，
所以恒成立，
即恒成立，
所以，解得，
又因为的解集非空，
所以，解得或，
综上所述，实数的取值范围为：． 

【解析】由题意可得在上恒成立，令，利用基本不等式求出的最大值即可得答案；
设，则的解集为，等价于的解集为，然后求出，将问题转化为恒成立问题求解．
本题考查了二次函数的性质、基本不等式的应用、转化思想，属于中档题．