2023-2024学年四川省绵阳市涪城区重点学校高二（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年四川省绵阳市涪城区重点学校高二（上）月考数学试卷（9月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

2.已知向量，，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.袋内装有个红球、个白球，从中任取个，其中是互斥而不对立的两事件是(    )

A. 至少有一个白球；全部都是红球 B. 至少有一个白球；至少有一个红球
C. 恰有一个白球；恰有一个红球 D. 恰有一个白球；全部都是红球

4.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，，，，若低于分的人数是人，则该班的学生人数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.袋中有红色、黄色、绿色球各个，每次任取个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，且，为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.已知四面体，，，，点在棱上，，为中点，则(    )

 

A.  B.
C.  D.

8.在棱长为的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.如图是年第一季度五省情况图，则下列描述正确的是(    )

 

A. 与去年同期相比年第一季度五个省的总量均实现了增长
B. 年第一季度增速由高到低排位第的是浙江省
C. 年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有个
D. 去年同期河南省的总量不超过亿元

10.对甲、乙两个大学生一周内每天的消费额进行统计，得到两组样本数据，甲：，，，，，，；乙：，，，，，，则下列判断正确的是(    )

A. 甲消费额的众数是，乙消费额的众数是
B. 甲消费额的中位数是，乙消费额的中位数是
C. 甲消费额的平均数大于乙消费额的平均数
D. 甲消费额的方差小于乙消费额的方差

11.甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为若前两局中乙队以：领先，则(    )

A. 甲队获胜的概率为 B. 乙队以：获胜的概率为
C. 乙队以：获胜的概率为 D. 乙队以：获胜的概率为

12.如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点不含端点，则下列结论正确的是(    )

A. 平面平面
B. 平面
C. 三棱锥的体积为定值
D. 直线与所成的角可能是

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”华”两个字都取到才停止．用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用，，，代表“中、华，民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取三次的结果，经随机模拟产生了以下组机数：


由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为______．

14.自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长、、及棱间交角、、合称为“晶胞参数”来表征如图是某种晶体的晶胞，其中，，，，，则该晶胞的对角线的长为______ ．

15.已知点在平面内，为平面外一点，且，则的最小值是______．

16.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，，为上两个动点，且的长为定值，则点到平面的距离______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
已知，，，，．
求实数，，的值；
求与夹角的余弦值．

18.本小题分

某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有人，按年龄分成组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有人．
根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第百分位数；
现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取人，担任本市的“中国梦”宣传使者若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率．

19.本小题分
随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走人大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷．广元某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每小时元不足小时的部分按小时计算甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过三小时．
Ⅰ求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
Ⅱ求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于的概率．

20.本小题分
如图，在三棱柱中，侧面和都是正方形，平面平面，，分别为，的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．

21.本小题分
为了纪念中国古代数学家祖冲之在圆周率上的贡献，联合国教科文组织第四十届大会上把每年的月日定为“国际数学日”年月日，某学校举行数学文化节活动，其中一项活动是数独比赛注：数独是源自世纪瑞士的一种数学游戏，又称九宫格甲、乙两位同学进入了最后决赛，进行数独王的争夺决赛规则如下：进行两轮数独比赛，每人每轮比赛在规定时间内做对得分，没做对得分，两轮结束总得分高的为数独王，得分相同则进行加赛根据以往成绩分析，已知甲每轮做对的概率为，乙每轮做对的概率为，且每轮比赛中甲、乙是否做对互不影响，各轮比赛甲、乙是否做对也互不影响．
求两轮比赛结束乙得分为分的概率；
求不进行加赛甲就获得数独王的概率．

22.本小题分

条件：图中条件：图中条件：图中三棱锥的体积为从以上三个条件中任选一个，补充在问题中的横线上，并加以解答如图所示，在中，，，过点作，垂足在线段上，沿将折起，使如图，点，分别为棱，的中点．

求证：；
已知_____，试在棱上确定一点，使得，并求二面角的余弦值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点只有竖坐标为原来的相反数，其他不变，
所以点关于平面对称的点是，
故选：．
关于平面的对称点只有竖坐标为原来的相反数，其他不变即可求解．
本题考查平面内点的坐标表示，属于容易题．

2.【答案】 

【解析】解：向量，，
，
，
，
，
故选：．
通过向量的坐标运算以及向量的数量积求解判断即可．
本题考查向量的加减运算以及向量的数量积，考查计算能力．

3.【答案】 

【解析】解：袋内装有个红球、个白球，从中任取个，
对于，至少有一个白球和全部都是红球是对立事件，故A错误；
对于，至少有一个白球和至少有一个红球能同时发生，不是互斥事件，故B错误；
对于，恰有一个白球；恰有一个红球同时发生，不是互斥事件，故C错误；
对于，恰有一个白球和全部都是红球，不能同时发生，是互斥而不对立事件，故D正确．
故选：．
利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．
本题考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事件的性质等基础知识，是基础题．

4.【答案】 

【解析】解：成绩低于分有第一、二组数据，
在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为，，
每组数据的组距为
则成绩低于分的频率，
又低于分的人数是人，
则该班的学生人数是．
故选：．
由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于分的频率，结合已知中的低于分的人数是人，结合频数频率总体容量，即可得到总体容量．
本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率矩形的高组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，记“所取球的颜色全相同”为事件，
将袋中的球有放回地抽取三次，每次有种可能，则共有种可能，即个基本事件；
事件是所取球的颜色全相同包含个基本事件，
；
故选：．
根据题意，先记“所取球的颜色全相同”为事件，由分步计数原理计算可得有放回地抽取三次全部基本事件数目，事件包含的基本事件数目，根据古典概型概率公式得到结果．
本题考查古典概型的计算，注意本题中是有放回抽取，其次由分步计数原理计算得到所有的情况数目．

6.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中的线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与夹角的余弦值．

【解答】
解：由题意可以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴与平行，建立空间直角坐标系如图所示，
设，
则，，，
，，
则，，
设异面直线与夹角为，
则．
异面直线与夹角的余弦值为．
故答案选：．

7.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查空间向量的线性表示与运算问题．
根据题意，利用空间向量的线性表示与运算，用，与表示出即可．

【解答】解：连接，如图所示，

四面体中，，，，
点在棱上，且，，
又为中点，，


．
故选：．

8.【答案】 

【解析】解：如图，

以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
，，
，，
点到直线的距离为，．
故选：．
由题意画出图形，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解点到直线的距离．
本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间向量的应用，考查运算求解能力，是中档题．

9.【答案】 

【解析】解：由年第一季度五省情况图，知：
与去年同期相比，年第一季度五个省的总量均实现了增长，A正确；
年第一季度增速由高到低排位第的是浙江省，故B正确；
年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和河南，
共个，故C不正确；
由年同期河南省的总量增长后达到年的 亿元，
可得去年同期河南省的总量约为 亿元，不超过 亿元，故D正确．
故选：．
根据柱型图与折线图的性质，对选项中的结论逐一判断即可，判断过程注意增长量与增长率的区别与联系．
本题考查命题真假的判断，考查折线图、柱形图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．

10.【答案】 

【解析】解：对于，甲组数据中的众数为，乙组数据中的众数为，正确；
对于，甲消费额的中位数是，乙消费额的中位数是，正确；
对于，，，可得正确；
对于，，
，
可得甲消费额的方差大于乙消费额的方差，故D错误．
故选：．
根据众数，中位数，平均数及方差定义判断即可．
本题考查数据的众数，中位数、平均数和方差，属于基础题．

11.【答案】 

【解析】解：对于，在乙队以：领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队获胜，所以甲队获胜的概率为，故A正确；
对于，乙队以：获胜，即第三局乙获胜，概率为，故B正确；
对于，乙队以：获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜，概率为，故C错误；
对于，若乙队以：获胜，则第五局为乙队获胜，第三、四局乙队输，所以乙队以：获胜的概率为，故D错误．
故选：．
由概率的乘法公式对选项逐一判断，
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．

12.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查命题的真假的判断，空间几何体中的直线与平面的位置关系的应用，直线与直线所成角的求法，几何体的体积的判断，是较难题．
利用平面与平面垂直判断；直线与平面是位置关系判断；求出三棱锥的体积判断；求出异面直线所成角判断．

【解答】
解：对于，正方体中，，，
，、平面，
平面，平面，
平面平面，故A正确
对于，正方体中，得，
、、四点共面，所以平面，故B不正确
对于，，到平面的距离，
三棱锥的体积：
为定值，故C正确
对于，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

，，设，
，


点在线段上，则，，

，
又，即，

，
直线与所成的角为，故D不正确；
故选：．

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，随机数中只有，，，，共种情况，
则可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为，
故答案为：，
根据题意可得出满足题意的随机数，利用古典概型定义可解．
本题考查古典概型定义，属于基础题．

14.【答案】 

【解析】解：如图所示，可得，
因为，，，，，
所以，
，，，
所以


，
所以，
则该晶胞的对角线的长为．
故答案为：．
利用空间向量基本定理将用已知的向量表示出来，然后利用模的计算以及数量积的定义进行求解，即可得到答案．
本题考查了空间中距离的求解，主要考查了空间向量的应用，解题的关键是利用空间向量基本定理将用已知的向量表示出来，属于中档题．

15.【答案】 

【解析】【分析】由已知可得，再结合，将结论看成关于的函数求出最值．
本题考查空间四点共面的向量表示，导数在研究函数最值中的应用，属于中档题．
【解答】
解：由已知得，故，
故，则，
令，，
，，
显然当时，，在上递增，当时，，此时单调递减，
故．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】解：因为正方体的三条棱，，两两垂直，
所以以为原点， 分别为，，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系：

取点为的中点，为的中点，所以，
又因为，所以，所以，，，构成平面，
因为，为上两个动点，，且，，三点不共线，
所以平面即平面，
所以点到平面的距离即为点到平面的距离，
又，，，，
所以，，，
不妨设平面的法向量为，则，
即，令，则，
所以点到平面的距离为，
即点到平面的距离为．
故答案为：．
建立空间直角坐标系，把所求转换为点到平面的距离，求出平面的法向量以及向量，代入公式即可求解．
本题考查利用空间向量计算点到面的距离，属于中档题．

17.【答案】解：，设，
即，，解得．
故，
又因为，所以，即，解得．
由可知，，
所以，，
所以，
，
，
设与的夹角为，
则． 

【解析】本题考查空间向量平行和垂直的应用，考查空间向量的夹角公式，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．
由向量的平行和垂直可得关于，，的关系式，解之即可求得
由可得向量与的坐标，进而由夹角公式可得结果．

18.【答案】解：设这人的平均年龄为，则岁，
设第百分位数为，
由，
解得．
由题意得，第四组应抽取人，记为，，，甲，第五组抽取人，记为，乙，
对应的样本空间为：，，，甲，，乙，，，，甲，，乙，，，甲，，乙，，甲，乙，甲，，乙，，共个样本点，
设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，
则，甲，，乙，，甲，，乙，，甲，，乙，甲，乙，甲，，乙，，共有个样本点，
所以． 

【解析】根据平均数和第百分位数的定义求解．
由分层抽样可知第四组应抽取人，记为，，，甲，第五组抽取人，记为，乙，从中随机抽取名，列举出所有可能情况，再利用古典概型的概率公式求解即可．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．

19.【答案】解：Ⅰ甲、乙两人所付费用相同即同为，，元，
都付元的概率，
都付元的概率，
都付元的概率，
所付费用相同的概率为．
Ⅱ设两人费用之和、、的事件分别为、、，
，
，
，
设两人费用之和大于或等于的事件为，则，
两人费用之和大于或等于的概率：

． 

【解析】Ⅰ甲、乙两人所付费用相同即同为，，元，都付元的概率，都付元的概率，都付元的概率，由此利用互斥事件概率加法公式能求出所付费用相同的概率．
Ⅱ设两人费用之和、、的事件分别为、、，，，，设两人费用之和大于或等于的事件为，则，由此能求出两人费用之和大于或等于的概率．
本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是一般题．

20.【答案】Ⅰ证明：取中点，连接，，
在中，，分别是，的中点，
所以，．
在三棱柱中，
四边形为正方形，为中点，
所以，．
所以，．
所以四边形为平行四边形．
所以．
因为平面，平面，
所以平面．
Ⅱ解：因为平面平面，平面平面，平面，
正方形中，
所以平面平面
所以．
正方形中．
如图建立空间直角坐标系．

不妨设，则，，，
，，，．
所以，，．
设平面的法向量，则，即．
令，则，．
于是．
设直线与平面所成的角为，
所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为． 

【解析】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力．
Ⅰ取中点，连接，，证明，，说明四边形为平行四边形．推出然后证明平面．
Ⅱ建立坐标系，求出平面的法向量，设直线与平面所成的角为，利用空间向量的数量积求解即可．

21.【答案】解：甲、乙两位同学进入了最后决赛，进行数独王的争夺．
决赛规则如下：进行两轮数独比赛，每人每轮比赛在规定时间内做对得分，没做对得分，
两轮结束总得分高的为数独王，得分相同则进行加赛，
甲每轮做对的概率为，乙每轮做对的概率为，且每轮比赛中甲、乙是否做对互不影响，
各轮比赛甲、乙是否做对也互不影响．
设“甲第轮做对”，设“乙第轮做对”，
设“两轮比赛甲得分”，
设“两轮比赛乙得分”．
则两轮比赛结束乙得分为分的概率为：

．
设“不进行加赛甲就获得数独王”．
，

，
，
不进行加赛甲就获得数独王的概率为：


． 

【解析】设“甲第轮做对”，设“乙第轮做对”，设“两轮比赛甲得分”，设“两轮比赛乙得分”，利用相互独立事件概率乘法公式能求出两轮比赛结束乙得分为分的概率．
设“不进行加赛甲就获得数独王”，利用相互独立事件概率乘法公式能求出不进行加赛甲就获得数独王的概率．
本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

22.【答案】解：证明：，，，
平面．
平面，．
，分别为，的中点，，
．
方案一：选，由 ，解得 或 舍去．
设，在中， ，解得，．
以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，，
则．
设，，则，
，，
，，当即是的靠近点的一个四等分点时，．
设平面的法向量为，，，
则，令，得．
取平面的一个法向量，
，，
又二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为．
方案二：选，在题图所示的中，
设，则，
又，由平面向量基本定理知，即．
以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
，则，设，，则，
，，，，
当即是的靠近点的一个四等分点时，．
设平面的法向量为，，，
则，令，得．
取平面的一个法向量，
，，
又二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为．
方案三：选，设，则，
，，为等腰直角三角形，．
在三棱锥中，，，且，，平面，
平面，又，
，，
化简得，解得或舍去．
以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，
则，
设，，则，
，，，，
当即是的靠近点的一个四等分点时，．
设平面的法向量为，，，
则，令，得．
取平面的一个法向量，
，，
又二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为． 

【解析】推导出平面，，推导出，由此能证明．
方案一：选，由 ，解得 ，推导出以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果；
方案二：选，设，则，由平面向量基本定理求出，以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
方案三：选，设，则，推导出为等腰直角三角形，，列方程求出，以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
本题考查线面垂直的判定与性质、二面角及其余弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．