2023-2024学年陕西省部分学校高二（上）联考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年陕西省部分学校高二（上）联考数学试卷（10月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.直线经过两点，，则的斜率为(    )

A.  B.  C.  D.

2.若，，三点共线，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

4.若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，分别为，的中点，，，则直线与直线所成角的余弦值为(    )

A.
B.
C.
D.

6.直线过点，且方向向量为，则(    )

A. 直线的点斜式方程为 B. 直线的斜截式方程为
C. 直线的截距式方程为 D. 直线的一般式方程为

7.如图，在正四棱柱中，，点，，分别在棱，，上，，，，则点到平面的距离为(    )

A.
B.
C.
D.

8.如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，若点在矩形内，且平面，则(    )

A.
B.
C.
D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知直线：与：，下列选项正确的是(    )

A. 若，则或
B. 若，则
C. 直线恒过点
D. 若直线在轴上的截距为，则直线的斜截式为

10.如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，且，则(    )

A.
B.
C.
D. 直线与平面所成的角为

11.直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是(    )

A.  B.  C.  D.

12.清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图，也可由正方体切割而成，如图在图所示的“蒺藜形多面体”中，若，则给出的说法中正确的是(    )

 

A. 该几何体的表面积为
B. 该几何体的体积为
C. 二面角的余弦值为
D. 若点，在线段，上移动，则的最小值为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.若，，且，则 ______ ．

14.在空间直角坐标系中，，，则点到直线的距离为______ ．

15.若某等腰直角三角形斜边所在直线的倾斜角为，则该三角形两条直角边所在直线的斜率之和为______ ．

16.在正四棱台中，，，，，，若平面，则 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
已知的三个顶点为，，，为的中点，所在的直线为．
求的一般式方程；
若直线经过点，且，求在轴上的截距．

18.本小题分
已知直线：，：．
若，求的值；
若，求的值．

19.本小题分

在如图所示的斜三棱柱中，．
设，，，用表示；
若，，求的长．

20.本小题分

如图，在直四棱柱中，，，，，，分别为棱，，的中点．
求的值；
证明：，，，四点共面．

21.本小题分

图，在正方体中，，，分别是，，的中点．
证明：G.
求直线与平面所成角的正弦值．

22.本小题分

如图，在四面体中，，，，，，，，分别为棱，，的中点，点在线段上．
若平面，试确定点的位置，并说明理由；
求平面与平面的夹角的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由直线经过两点，，
得的斜率为．
故选：．
直接应用斜率公式进行求解即可．
本题考查由直线上两点的坐标求直线的斜率，是基础题．

2.【答案】 

【解析】解：因为，，所以，
解得故．
故选：．
根据空间向量平行坐标关系计算求解即可．
本题考查的知识要点：向量的运算，三点共线，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．

3.【答案】 

【解析】解：令，解得，故；
令，解得，故．
故选：．
根据截距的定义计算即可．
本题考查的知识要点：直线的方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．

4.【答案】 

【解析】解：设直线的倾斜角为，其中，可得，
由，即，
得直线的倾斜角．
故选：．
设直线的倾斜角为，根据题意得到，结合正切函数的图象与性质，即可求解．
本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础题．

5.【答案】 

【解析】解：以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由于，分别为，的中点，，，
则，，，，
，，
．

故选：．
将向量表示出来，代入夹角公式即可计算求值．
本题考查利用向量的夹角公式计算异面直线所称的角，属于基础题．

6.【答案】 

【解析】解：因为直线的方向向量为，所以直线的斜率为，
因为直线过点，
所以直线的点斜式方程为，
其一般式为，故A错误，D正确；
化为斜截式：，故B错误；
化为截距式：，故C错误．
故选：．
利用方向向量求得斜率，从而求得直线的点斜式，斜截式，截距式，一般式方程．
本题考查了直线方程问题，考查转化思想，是基础题．

7.【答案】 

【解析】解：在正四棱柱中，，点，，分别在棱，，上，，，，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
，，．
设平面的法向量为，
则，令，得，
点到平面的距离为．
故选：．
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离．
本题考查正四棱柱结构特征、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

8.【答案】 

【解析】解：如图，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，令，得．
设，则，
平面，，
则，解得，．
故．
故选：．
建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，设点，求得直线的方向向量，通过平面，建立关于，的方程，确定，的值，即可求解．
本题考查线面垂直的判定与性质、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

9.【答案】 

【解析】解：选项，若，则，解得或，
经检验，均符合要求，故A正确；
选项，若，则，解得或，故B不正确；
选项，：变形得到，
由得所以恒过点，故C正确；
选项，令中得，
故，解得，
所以直线的方程为，斜截式为，故D不正确．
故选：．
选项，由直线平行得到方程，求出或；选项，由直线垂直得到方程，求出或；选项，变形得到，从而得到方程组，求出定点坐标；选项，根据轴上的截距得到方程，求出，求出直线方程的斜截式．
此题考查直线的方程，考查了直线与直线的位置关系，属于基础题．

10.【答案】 

【解析】解：，A正确；
，B错误；
，故，C正确；
连接，如下图：

即直线与平面所成的角，，，D正确．
故选：．，D正确．
故选：．
空间向量的线性运算可判断A正确；空间向量的数量积运算可判断B错误；计算向量的模可判断C正确；根据直线与平面的夹角可判断D正确．
本题考查空间向量的线性运算、数量积、模、线面角等内容，属于中档题．

11.【答案】 

【解析】解：当直线的截距为时，此时直线的方程为，即，
当直线的截距不为时，设直线的方程为，
则，解得或，
当，时，可得直线的方程为，即，
若，时，可得则直线的方程为，即．
故选：．
根据题意，分直线的截距为和直线的截距不为，两种情况讨论，结合直线的截距式方程，即可求解．
本题考查了直线方程问题，考查转化思想，是基础题．

12.【答案】 

【解析】解：“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图，
也可由正方体切割而成，如图在图所示的“蒺藜形多面体”中，
因为，所以该几何体的表面积为，故A错误；
该几何体的体积为，故B正确；
设的中点为，连接，，如图，

则即二面角的平面角．，，故C正确；
建立如图所示的空间直角坐标系，

设，，
，
当且仅当，时，等号成立．
故的最小值为，故D正确．
故选：．
求出，由此能求出该几何体的表面积，判断；求出该几何体的体积，判断；设的中点为，连接，，则即二面角的平面角，利用余弦定理判断；建立空间直角坐标系，利用向量法判断．
本题考查几何体的表面积、体积公式、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

13.【答案】 

【解析】解：，，且，
，
．
故答案为：．
由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得值．
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则的应用，属于基础题．

14.【答案】 

【解析】解：设，
由，可得，则的单位向量，
则，，
所以点到直线的距离为．
故答案为：．
设，求得的单位向量，，则点到直线的距离为，计算可得所求值．
本题考查点到直线的距离的求法，注意运用向量法，考查转化思想和运算能力，属于基础题．

15.【答案】 

【解析】解：如图，

直线的倾斜角为，，
直线的倾斜角为，直线的倾斜角为．
则三角形两条直角边所在直线的斜率之和为：．
故答案为：．
由题意画出图形，求出与所在直线的倾斜角，进一步求其正切值得答案．
本题考查直线斜率的求法，考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础题．

16.【答案】 

【解析】解：连接，设，平面平面．

因为平面，所以，正方形中，，
则，同理，则，
，
，
因为，所以．
故答案为：．
用向量将与表示出来，根据共线向量的性质即可求值．
本题考查向量的线性运算，属于中档题．

17.【答案】解：，，为的中点，
则，
的方程为，
即．
设的方程为，
将代入，得，即，
所以在轴上的截距为． 

【解析】先求出点的坐标，再利用两点式可求出直线的方程，再化为一般式即可，
由题意设直线的方程为，再将点的坐标代入可求出的值，从而可求出在轴上的截距．
本题主要考查直线的一般式方程与直线的性质，属于基础题．

18.【答案】解：因为，所以，
整理得，
解得或．
当时，：，：，符合题意，
当时，：，：，与重合，不满足题意．
综上，．
因为，所以，
整理得，
解得或． 

【解析】根据直线与直线平行的充要条件，列出方程求解即可；
利用斜率存在的两条直线垂直，则它们的一般式方程中，对应一次项系数乘积的和等于零，列方程，求出实数的值．
本题考查两直线垂直和平行的性质，考查了方程思想，属基础题．

19.【答案】解：在三棱柱中，侧面为平行四边形，
又，，，
所以，
则；
依题意可得，
则
，
所以的长为． 

【解析】根据向量的运算求解；
根据向量模的公式及数量积运算求解．
本题考查了空间向量的运算，重点考查了空间向量的应用，属基础题．

20.【答案】解：以点为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．，．

．
证明：．
令，根据向量的坐标的对应关系，整理得，
解得，所以．
故C，，，四点共面． 

【解析】首先建立空间直角坐标系，进一步求出结果；
利用向量的坐标运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的共线，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．

21.【答案】解：证明：方法一：证明方法一：正方体的棱长为，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，．

，，，．
因为，所以，即G.
方法二：连接G.

在正方体中，平面，所以．
因为，所以．
因为，所以，，，四点共面，
在正方形中，，分别是边，的中点，可得≌，
所以，，所以G.
因为，，平面，所以平面．
因为平面，所以G.
因为，所以，即．
因为，，平面，
所以平面，即为平面的一个法向量．
设直线与平面所成的角为，
则．
故直线与平面所成角的正弦值为． 

【解析】方法一：建立空间直角坐标系，证明得；
方法二：连接，证明平面得；
证明为平面的一个法向量，用空间向量运算求线面角．
本题考查证明异面直线的垂直与求线面角，需要熟练应用空间向量，属于中档题．

22.【答案】解：若平面，则为的中点，理由如下：
因为，分别为，的中点，
所以，
因为平面，
所以平面，
若平面，只需即可，
因为为的中点，
所以为的中点．
过点作平面，垂足为，连接，，
设，
因为，，
所以，，，，
在中，，，
因为，
所以，
解得，
所以，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系：

则，，，，
过点作，垂足为，作，垂足为，
设，则，，
所以，，，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
所以，
当时，，
当时，，
令，则，
因为函数为开口向上，对称轴为，
所以函数在上单调递增，
所以
所以，即
所以，
所以平面与平面的夹角的取值范围为． 

【解析】由中位线定理可得，由线面平行的判定定理可得平面，若平面，只需即可，进而可得答案．
过点作平面，垂足为，连接，，设，根据题意解得的值，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量为，再由数量积公式，进而可得答案．
本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．