2023-2024学年山东省济宁十五中九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省济宁十五中九年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.把因式分解时，应提的公因式是(    )

A.  B.  C.  D.

3.下列各式：，，，，，，其中分式共有几个(    )

A.  B.  C.  D.

4.给出下列各式：，，，，，其中能用平方差公式进行因式分解的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5.下列各式：；；；，其中，完全平方式的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

6.将多项式因式分解正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.将分式中的、的值同时扩大为原来的倍，则分式的值(    )

A. 扩大为原来的倍 B. 缩小到原来的 C. 保持不变 D. 无法确定

8.若分式的值为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.若将多项式因式分解为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 或

10.已知、、是的三边长，且满足，那么据此判断的形状是(    )

A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.分解因式：          ．

12.一个长方形的长与宽分别为，，若周长为，面积为，则的值为______ ．

13.若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则______．

14.已知分式为常数满足如下表格中的信息：

则表中的值为______ ．

15.阅读材料回答问题：已知多项式有一个因式是，求的值．
解法：设为整式
上式为恒等式，
当时，，
即．
解得：．
若多项式含有因式和，则 ______ ．

三、解答题（本大题共5小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分
把下列各式因式分解．
；
；
；
．

17.本小题分
计算：
；
．

18.本小题分
．
化简代数式；
请在以下四个数中：，，，，选择一个合适的数代入，求的值．

19.本小题分
教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式：．
解：原式；
再如：求代数式的最小值．
解：；
，
原式，
即当时，原式有最小值．
学以致用：
用配方法分解因式：；其他方法不得分
用配方法求多项式的最大值？并求出此时的值．

20.本小题分
观察下列式子的因式分解做法：
；
；
．
模仿以上做法，尝试对进行因式分解： ______ ．
观察以上结果，猜想 ______ 为正整数，直接写结果，不用验证
试求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，等式的左边不是一个多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.，由左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.，不是把一个多项式化成几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．
故选：．
运用因式分解的定义进行辨别、求解．
本题考查了因式分解的意义和如何因式分解，能熟记因式分解的定义和灵活运用因式分解的方法分解因式是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，因式分解的方法有提公因式法，公式法平方差公式和完全平方公式，十字相乘法等．

2.【答案】 

【解析】解：
．
故把因式分解时，应提的公因式是：．
故选：．
直接利用公因式的定义分析得出答案．
此题主要考查了提取公因式，正确掌握公因式的定义是解题关键．

3.【答案】 

【解析】解：分式有，，，共个，
故选：．
根据分式的定义逐个判断即可．
本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义的内容是解此题的关键，注意：分式的分母中含有字母．

4.【答案】 

【解析】解：能用平方差公式分解；
，，它们变形后都是平方差的形式，能用平方差公式分解；
，，它们变形后是平方和的形式，不能用平方差公式分解．
故选：．
根据平方差公式的结构特点逐个分析得结论．
本题考查了因式分解的平方差公式，掌握平方差公式的结构特点是解决本题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：，不符合完全平方式；
，符合完全平方式；
中不能写成平方形式，不符合完全平方式；
中不能写成平方形式，不符合完全平方式．
故选：．
根据完全平方式的特点：两个数的平方和加上或减去这两个数积的倍解答即可．
此题考查了完全平方式，掌握完全平方式的特点是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：
．
故选：．
直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．

7.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
将分式中的、的值同时扩大为原来的倍，则分式的值扩大为原来的倍，
故选：．
根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了分式的值为零条件，正确掌握相关定义是解题关键．直接利用分式的值为零，则分子为零且分母不为零列式进而得出答案．
【解答】
解：分式的值为，
则且，
解得：．
故选B．

9.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，
原式，
故选：．
根据十字相乘法即可求出与的值，然后代入原式即可求出答案．
本题考查因式分解，解题的关键是根据题意求出与的值，本题属于基础题型．

10.【答案】 

【解析】解：，

，
且
，，
，
为等边三角形，
故选A．
通过给出的式子进行因式分解，得到两个平方数的和为，通过平方数的非负性，得到且，从而推出为等边三角形．
本题考查对多项式进行因式分解，通过因式分解后，平方数的非负性，得到等量关系，从而得到是等边三角形．

11.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
根据提取公因式、平方差公式，可分解因式．
本题考查了因式分解，利用了提公因式法与平方差公式进行分解，注意分解要彻底．

12.【答案】 

【解析】解：一个长方形的长与宽分别为，，周长为，面积为，
，，
则


．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，进而把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了提取公因式、完全平方公式分解因式，正确将原式变形是解题关键．

13.【答案】或 

【解析】【分析】
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值．
【解答】
解：多项式能用完全平方公式进行因式分解，
，
解得：或，
故答案为：或．

14.【答案】 

【解析】解：根据题意得到：当时，分式无意义，当时，分式的值为，
且，
，，
原分式为，
当时，．
故答案为：．
根据表格信息可得当时，分式无意义，当时，分式的值为，可得到，，再把代入，即可求解．
本题主要考查分式有意义的条件与分式的值为的条件，熟练掌握分式有意义的条件与分式的值为的条件是解题关键．

15.【答案】． 

【解析】解：设为整式，
上式为恒等式，
当或时，等号右侧都为，
，
整理得，
解，
．
故答案为：．
根据范例进行分解因式即可．
本题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解是解答本题的关键．

16.【答案】解：；




；


；


． 

【解析】利用提公因式法进行分解，即可解答；
先利用平方差公式，再利用提公因式法继续分解即可解答；
利用完全平方公式进行分解，即可解答；
先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．

17.【答案】解：



；


． 

【解析】先把分式的分子分母因式分解，再把除法统一成乘法，利用分式的乘法法则得结论．
本题考查了分式的运算，掌握分式的乘除法法则是解决本题的关键．

18.【答案】解：


；
，，
，，
当时，． 

【解析】利用分式的除法法则进行计算，即可解答；
把的值代入中的结论进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．

19.【答案】解：由题意，



．
由题意，
，
当时，多项式有最大值． 

【解析】依据题意，将多项式配方变形为，进而依据平方差公式可以进行分解；
依据题意，将多项式变形为，进而可以判断得解．
本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．

20.【答案】   

【解析】解：模仿以上做法，，
故答案为：；
观察以上结果，可得，
故答案为：；
根据上述规律，可得，
．
模仿例题中的做法求解即可；
根据例题中的规律求解即可；
运用中的公式求解即可．
本题考查了运用公式法进行因式分解，规律型，找出其中的规律是解题的关键．