2023-2024学年陕西省西安市碑林区铁一中学八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省西安市碑林区铁一中学八年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在实数、、、中，是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，图中的字母是它们的面积其中，，则为(    )

A.
B.
C.
D.

3.若中，，，，下列不能判定为直角三角形的是(    )

A. ，， B. ：：：：
C.  D.

4.勾股定理被誉为“几何明珠”在我国古算书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载如图所示，把一个边长分别为，，的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

5.一个正数的平方根是与，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6.下列说法：实数和数轴上的点是一一对应的；实数分为正实数和负实数；立方根等于它本身的数是和；无理数都是无限小数；平方根等于本身的数是和正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是(    )

A.
B.
C.
D.

8.如图，将放在正方形网格图中图中每个小正方形的边长均为，点，，恰好在网格图中的格点上，那么中的高是(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.已知实数满足，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.如图，在中，于点，平分交于点，交于点，，，则的长等于(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.的算术平方根的平方根是______．

12.比较大小：______填“”，“”或“”

13.中，，，高，则的周长是______．

14.已知实数、在数轴上的对应点如图所示，化简： ______ ．

15.如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是______ 米

16.如图，等边，边长是点、分别是边、上的动点，且，点是边上的动点，连接、若，则线段的长为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
化简：
；
；
；
．

18.本小题分
实数与数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴上表示出来，
如图，点表示的数是______；
如图，直线垂直数轴于原点在数轴上，请用尺规作出表示的点不写作法，保留作图痕迹．

 

19.本小题分
求下列各式中的值：
；
．

20.本小题分
在如图中画出边长为、、的三角形．
该三角形的面积为______ ．

21.本小题分
已知的立方根是，是的平方根，是的整数部分，求的值．

22.本小题分

我们学校有一块四边形空地，如图所示，现计划在这块空地上种植草皮，经测量，米，米，米，米若每平方米草皮需要元，则共需要投入多少钱？

23.本小题分
今年第号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．
海港受台风影响吗？为什么？
若台风中心的移动速度为千米时，则台风影响该海港持续的时间有多长？

24.本小题分
在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
，
，
，，
，
，．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
化简：．
若，求的值．

25.本小题分
如图，长方形纸片，，，点、分别是边、上的点，将沿着翻折得到．
如图，点落在边上，若，则 ______ ， ______ ；
如图，若，点是边中点，连接、，求的面积；
如图，点是边上一动点，过点作交于点，将沿着翻折得到，连接，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
故在实数、、、中，是无理数的是．
故选：．
根据无理数的定义进行判断即可．
本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无理数是无限不循环小数．

2.【答案】 

【解析】解：，，，
又，
．
故选：．
根据勾股定理和半圆的面积公式得出，则可得出答案．
本题考查勾股定理，关键是对勾股定理进行的证明，难易程度适中．

3.【答案】 

【解析】解：，，，则，故选项A符合题意；
当：：：：时，设，，，则，故选项B不符合题意；
由整理得：，故选项C不符合题意；
由，可知，故选项D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理可以判断选项B、、是否符合题意，根据三角形内角和，可以判断选项B是否符合题意，本题得以解决．
本题考查勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解答本题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：如图延长交于，其他字母标注如图示：根据题意，，，，
在和中，
，，，
≌，
，
，
同理可证≌，
，
．
空白部分的面积长方形面积三个正方形的面积和．
故选：．
利用一线三直角证明三角形全等，可得长方形的长与宽，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，一线三垂直证明全等是突破本题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：与是正数的平方根，
．
解得．
，．
．
的值为．
故选：．
根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数可得，，解关于的方程求出的值，即可以求出的值，从而求出正数的值．
本题考查了平方根的定义，熟记平方根的定义是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：实数和数轴上的点是一一对应的，故说法正确；
实数分为正实数、负实数和零，故说法错误；
立方根等于它本身的数有，和，故说法正确；
无理数是开方开不尽的数，错误，无理数是无限不循环小数，故说法正确；
算术平方根等于本身的数是和，故说法错误；
故选：．
直接利用相关实数的性质分析得出答案．
本题主要考查了实数和实数与数轴，属于基础知识的考查，掌握相关概念或性质解答即可．

7.【答案】 

【解析】解：将长方体展开，连接、，
根据两点之间线段最短，
如图，，，
由勾股定理得：．


如图，，，
由勾股定理得，．


只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：
长方体的宽为，高为，点离点的距离是，
，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
由于，
故选：．
要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．

8.【答案】 

【解析】解：根据图形可得：
，
，
所以，
所以，
设中边上的高是，
则，
，
．
故选：．
根据所给出的图形求出、、的长以及的度数，再根据三角形的面积公式列出方程进行计算即可．
此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，关键是根据三角形的面积公式列出关于的方程．

9.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
则，
，
，
，
故选：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出的范围，根据绝对值的性质计算即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：，

，
，，
，
，
，
由勾股定理得：，
过点作于，
平分，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
设，则，
，
中，，
，
．
故选：．
利用勾股定理可得和的长，由角平分线定理可得，证明≌，可得，设，则，根据勾股定理列方程可得结论．
本题考查了角平分线性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：的算术平方根的平方根是，
故答案为：．
利用平方根和算术平方根的定义求解即可．
此题主要考查了算术平方根、平方根的定义．解题时注意正数的平方根有个，算术平方根有个．

12.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出的差的正、负．
首先求出两个数的差是多少；然后根据求出的差的正、负，判断出、的大小关系即可．
【解答】
解：


因为，
所以，
所以，
所以，
所以．
故答案为：．

13.【答案】或 

【解析】解：此题应分两种情况说明：
当为锐角三角形时，在中，
，
在中，


的周长为：；

当为钝角三角形时，
在中，，
在中，，
．
的周长为：
当为锐角三角形时，的周长为；当为钝角三角形时，的周长为．
综上所述，的周长是或．
故填：或．
本题应分两种情况进行讨论：
当为锐角三角形时，在和中，运用勾股定理可将和的长求出，两者相加即为的长，从而可将的周长求出；
当为钝角三角形时，在和中，运用勾股定理可将和的长求出，两者相减即为的长，从而可将的周长求出．
此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．

14.【答案】 

【解析】解：由数轴可知，，，
，


，
故答案为：．
根据数轴可知，，，再化简即可．
本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，绝对值的性质，二次根式的性质是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：由题意可知，将木块展开，
相当于是个正方形的宽，
长为米；宽为米．
于是最短路径为：米．
故答案为：．
解答此题要将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答．
本题主要考查两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力．

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点分别作于点，于点，于点，连接，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
此时，重合，、重合，即，
在和中，
，，
≌，
，
，
，
故答案为：．
过点分别作于点，于点，于点，根据三角形的面积证明，可得此时，重合，、重合，即，然后证明≌，得，再根据含度角的直角三角形的性质即可解决问题．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．

17.【答案】解：原式
；
原式

；
原式

；
原式
． 

【解析】先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
利用二次根式的乘除法则运算；
先根据二次根式的除法法则运算，再分母有理化，然后合并即可；
利用完全平方公式和平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

18.【答案】 

【解析】解：如图：

，
点表示的数是是，
故答案为：；
如图所示：

点即为所求．
利用勾股定理求出斜边长度即可得答案；
可以看做点向左移动个单位长度，由可知，从点表示的点出发，构造直角边分别为和的直角三角形，斜边即为．
本题主要考查了实数与数轴上的点一一对应，用勾股定理构造长度为的线段是解题关键．

19.【答案】解：

，
解得，，；



，
解得，． 

【解析】先移项，然后根据直接开平方法可以解答此方程；
先移项，然后根据直接开立方法可以解答此方程．
本题考查立方根、平方根、解方程，解答本题的关键是明确解方程的方法．

20.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求．
的面积为．
故答案为：．
结合勾股定理画图即可．
利用割补法求三角形的面积即可．
本题考查作图复杂作图、二次根式的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

21.【答案】解：由已知得：，，，
解得：，或，，
当时，；
当时，；
综上所述，等于或． 

【解析】利用立方根的意义、平方根的意义、无理数的估算方法，求出、、的值，相加可得结论．
此题考查立方根的意义、平方根的意义、无理数的估算方法，熟练掌握定义，正确运算是解答此题的关键．

22.【答案】解：连接，
在中，，，，
米．
在中，，，，
．
是直角三角形，且．
平方米．
四边形空地的面积为平方米．
元．
答：学校共需投入元． 

【解析】利用勾股定理求出，利用勾股定理的逆定理证明即可解决问题．
本题考查勾股定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

23.【答案】解：海港受台风影响，理由：
，，，
，
是直角三角形，；
过点作于，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
海港受台风影响；
当，时，正好影响港口，
，
，
台风的速度为千米小时，
小时．
答：台风影响该海港持续的时间为小时． 

【解析】利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响；
利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．

24.【答案】解：；
，
，
，即，
，
，
则． 

【解析】分子、分母都乘以，再进一步计算即可；
将的值的分子、分母都乘以得，据此先后求出、及、的值，代入计算可得答案．
本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则、分母有理化等知识点．

25.【答案】   

【解析】解：，，
，
将沿着翻折得到，
，，
，
如图，过点作于，

四边形是矩形，
，，
，
，
，
故答案为：，；
如图，连接，交于，连接，过点作于，

点是边中点，
，
将沿着翻折得到，
，，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
的面积；
若时，则，
，
，
，
若时，如图，过点作于，

，
，
，
，
又，，
≌，
，
，
，
，
综上所述：的长为或．
由折叠的性质可求，，由勾股定理可求的长，的长；
由折叠的性质可得，，，由勾股定理和面积法可求的长，的长，由面积关系可求解；
分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．