2023-2024学年安徽省淮南市凤台县九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年安徽省淮南市凤台县九年级（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列关于的函数中，是二次函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.若是一元二次方程的一个根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.下列函数中，当时，随的增大而增大的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.一元二次方程的根的情况是(    )

A. 无实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根

5.抛物线与抛物线的相同点是(    )

A. 顶点相同 B. 对称轴相同 C. 抛物线形状相同 D. 顶点都在轴上

6.利用“配方法”解一元二次方程，配方后，得(    )

A.  B.  C.  D.

7.在同一平面直角坐标系中，直线是常数且与抛物线的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

8.若等腰三角形不等边的一边长为，另两边长是关于的方程的两个根，则的值为(    )

A.  B. 或 C. 或 D.

9.抛物线是常数且的图象如图所示，下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

10.如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点若，则的面积与运动时间之间的函数关系的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.关于的一元二次方程化为一般形式是______ ．

12.若抛物线的顶点在轴上，则的值是______ ．

13.如图，下列图形是由相同的小圆组成的，观察图形的变化：
第个图形：；
第个图形：；
第个图形：；
第个图形：；

若第个图形有个小圆，则的值为______ ．

14.已知抛物线是常数且．
该抛物线的对称轴为直线 ______ ；
当时，将抛物线向左平移个单位长度，使抛物线经过原点，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.本小题分
用合适的方法解方程：．

16.本小题分
已知二次函数．
填写下列表格：

在下列平面直角坐标系中画出该二次函数的图象．

 

17.本小题分
已知抛物线．
求该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；
当为何值时，随的增大而减小，当为何值时，随的增大而增大？

18.本小题分
某西瓜地种植一种优质无籽西瓜，随着种植技术的改进，产量从的增加到年的．
求这种无籽西瓜平均每年增产的百分率；
若平均每年增产率不变，年该西瓜地的无籽西瓜产量能突破吗？

19.本小题分

如图，在正方形中，轴，点，点已知抛物线是常数且经过点与点，且顶点位于上若抛物线与轴交于点，求的长．

20.本小题分
解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，称为换元法，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，解得，，当时，则，无实数根；当时，即，则，根据上述方法，完成下列问题：
设，将方程转化为一元二次方程，得______ ；
解方程：．

21.本小题分
如图，已知抛物线是常数且，对称轴为直线．
求抛物线与轴交点的另一坐标；
若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，根据图象直接写出的取值范围为______ ；
当时，的取值范围为______ ，若点，，都在该抛物线上，用“”连接，和得______ ．

22.本小题分
如图，张爷爷用长的隔离网在一段长的院墙边围成矩形养殖园，已知矩形的边靠院墙，和与院墙垂直，设的长为．
当围成的矩形养殖园面积为时，求的长；
如图，张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道隔离网已知两道隔离网与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
 

23.本小题分
如图，抛物线是常数且经过点，该抛物线的对称轴为直线．
求该抛物线的解析式；
点是抛物线的顶点坐标，与轴交于点，抛物线与轴交于点．
若点是抛物线对称轴上一点，求的最小值；
轴上是否存在点，使得的面积为？若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，是一次函数，故A不符合题意；
B、，不是二次函数，故B不符合题意；
C、，不是二次函数，故C不符合题意；
D、，是二次函数，故D符合题意；
故选：．
根据二次函数的一般形式：形如为常数且，逐一判断即可解答．
本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：把代入一元二次方程得，
解得，
即的值为．
故选：．
把代入一元二次方程得到关于的一次方程，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

3.【答案】 

【解析】解：、，图象开口向上，对称轴为，当时，随着的增大而增大，故A符合题意；
B、，，当时，随的增大而减小，故B不符合题意；
C、，图象开口向下，对称轴为，当时，随着的增大而减小，故C不符合题意；
D、，图象开口向下，对称轴为，当时，随着的增大先增大再减小，故D不符合题意．
故选：．
根据二次函数、一次函数增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．
本题考查二次函数、一次函数的增减性单调性，熟练掌握二次函数、一次函数的性质是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：，，，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：．
据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而即可得出该方程没有实数根．
本题考查根的判别式，牢记“当时，方程两个不相等的实数根”是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点是，抛物线的开口向上，对称轴为轴，顶点为，
抛物线与抛物线的相同点是顶点都在轴上．
故选：．
根据二次函数中的作用得出形状相同、开口方向相反，再利用图象的顶点形式确定顶点坐标，对称轴．
此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题关键．

6.【答案】 

【解析】解：，
移项，得，
配方，得，
．
故选：．
先移项，再方程两边都加配方，变形后得出选项即可．
本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．

7.【答案】 

【解析】解：直线是常数且经过点，抛物线的图象经过原点，
、不合题意；
A、由一次函数图象可知，，由二次函数的图象可知，一致，故A选项符合题意；
B、由一次函数图象可知，，由二次函数的图象可知，矛盾，故B选项不合题意；
故选：．
根据一次函数与二次函数的图象的性质，求出的取值范围，再逐项判断即可．
本题主要考查一次函数与二次函数的图象和性质，解决此题的关键是熟记函数图象的性质．

8.【答案】 

【解析】解：分两种情况考虑：
当为腰长时，将代入原方程得，
解得：，
原方程为，即，
解得：，，
三角形的三边长分别为，，，符合题意；
当为底边长时，原方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
综上，的值为或．
故选：．
分为腰长及为底边长两种情况考虑；当为腰长时，将代入原方程可求出值，代入的值解方程可求出方程的另一个根为，结合三角形的三边关系可得出此种情况符合题意；当为底边长时，原方程有两个相等的实数根，利用根的判别式，即可求出的值．综上，即可得出的值．
本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分为腰长及为底边长两种情况，求出的值是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
．
抛物线的对称轴位于轴的右侧，
，即．
抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
．
故选项A错误；
抛物线的对称轴为直线，
，
，
故选项B错误；
由图象可知，当时，，
胡选项C正确；
抛物线与轴有两个交点，
故选项D错误．
故选：．
根据图象得出函数对称轴进而分别利用函数图象与坐标轴交点得出对应函数关系的大小关系．
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确利用图象求出，，的取值范围是解题关键．

10.【答案】 

【解析】当时，点、分别在、上，则，
则，即，此时抛物线开口向上．
当时，
点、分别在、上，
同理可得：，此时抛物线的开口向下，
综上，选项A符合题意，
故选：．
当时，则，即，此时抛物线开口向上；当时，同理可得的表达式，进而求解．
本题考查的是动点的函数图象，涉及到三角形面积的计算等，正确的分类求解是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程化为一般形式是．
故答案为：．
先移项，再变成一般形式即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式为：．

12.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点在轴上，
，
解得：．

故答案为：．
根据抛物线的顶点在轴上，得代入求出即可．
本题主要考查对二次函数的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得到，解此题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：根据所给图案得，
第个图形中小圆的个数为：；
第个图形中小圆的个数为：；
第个图形中小圆的个数为：；

所以第个图形中小圆的个数为：个；
则，
解得或，
显然为正整数，
所以．
故答案为：．
根据所给图案中小圆个数的变化规律即可解决问题．
本题考查图形变化的规律，能根据所给等式发现第个图形中小圆个数的表达式是解题的关键．

14.【答案】  或 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线；
故答案为：；
当时，抛物线的解析式为．
，
将抛物线向左平移个单位长度得到，
把点代入得：，
解得：或，
的值为或．
故答案为：或．
方法二：
当时，抛物线的解析式为．
当时，，解得，，
该抛物线与轴的交点为，，
将抛物线向左平移个单位长度，使抛物线经过原点，
故将抛物线向左平移个或个单位长度时经过原点．
的值为或．
故答案为：或．
利用对称轴公式即可求得；
根据平移的概率得到新抛物线的解析式，再将点代入可求出的值．
本题考查了二次函数的性质，二次函数与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法和抛物线的平移规律是解题的关键．

15.【答案】解：，
．
，
或．
，． 

【解析】利用因式分解法求解即可．
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的因式分解法的一般步骤是解决本题的关键．

16.【答案】         

【解析】解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故答案为：，，，，；
二次函数图象如图所示：

分别根据的值求出的值即可；
描点、连线即可得到二次函数图象．
本题考查二次函数图象与性质，熟练掌握作二次函数图象是关键．

17.【答案】解：因为，
所以抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．
因为抛物线的开口向下，且对称轴是直线，
所以当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而增大． 

【解析】将二次函数的解析式改写成顶点式即可解决问题．
根据抛物线的开口方向及对称轴即可解决问题．
本题考查二次函数的图象与性质，能将二次函数解析式改写成顶点式是解题的关键．

18.【答案】解：设这种无籽西瓜平均每年增产的百分率是，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：这种无籽西瓜平均每年增产的百分率是；
根据题意得：，
，
年该西瓜地的无籽西瓜能突破． 

【解析】设这种无籽西瓜平均每年增产的百分率是，利用年该西瓜地的无籽西瓜产量年该西瓜地的无籽西瓜产量这种无籽西瓜平均每年增产的百分率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
利用年该西瓜地的无籽西瓜产量年该西瓜地的无籽西瓜产量这种无籽西瓜平均每年增产的百分率，可求出年该西瓜地的无籽西瓜产量，将其与比较后即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

19.【答案】解：四边形是正方形，点，点，
点，点，
抛物线是轴对称图形，点是抛物线的顶点且是上一点，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的坐标为，
设该抛物线的解析式为，
点在该抛物线上，
，
解得，
该抛物线的解析式为，
当时，，
即点，
． 

【解析】根据正方形的性质和点，点，可以写出点和点的坐标，然后即可写出点的坐标，再设抛物线的顶点式，根据点在抛物线上，即可求得抛物线解析式，从而可以求得点的坐标，进而得到的长．
本题考查二次函数的性质、正方形的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出抛物线的解析式．

20.【答案】 

【解析】解：，

把代入方程得：，
故答案为；
设，故原方程可化为，
因式分解，得，即或，
解得，．
当时，则，解得，，
当时，则，解得，．
综上，该方程的解为，，，．
设，换元后整理即可求得．
设，则原方程转化为关于的一元二次方程，利用因式分解法解该方程得到的值；然后再来求的值．
本题主要考查换元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解题的关键．

21.【答案】     

【解析】解：设抛物线与轴另一交点的坐标为，
抛物线与轴的一个交点为，对称轴为直线．
，
解得，
抛物线与轴另一交点的坐标为；
抛物线开口向下，顶点为，
若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为；
故答案为：；
由图象可知当时，的取值范围为，若点，，都在该抛物线上，用“”连接，和得．
故答案为：；．
利用抛物线的对称性求得即可；
根据图象即可求得的取值范围；
根据图象求得即可．
本题考查了二次函数图象与性质，抛物线与轴的交点，函数与不等式的关系，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．

22.【答案】解：隔离网的总长为，且，

根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
．
答：的长为；
养殖园的面积不能达到，理由如下：
隔离网的总长为，且，

根据题意得：，
整理得：，
，
该方程无实数根，
养殖园的面积不能达到． 

【解析】根据各边之间的关系，可得出，结合矩形养殖园面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，将符合题意的值代入中，即可求出结论；
养殖园的面积不能达到，根据各边之间的关系，可得出，结合矩形养殖园面积为，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程无实数根，进而可得出养殖园的面积不能达到．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

23.【答案】解：根据题意，得，
解得：，
故抛物线的解析式为；
由可知抛物线的解析式为．
点的坐标为．
由点、的坐标得，直线的解析式为．
当时，，故点，
由抛物线可知点，则，
点关于直线的对称点为，连接交抛物线对称轴于点，则此时，最小，
理由：为最小，

则，
的最小值为；
存在．理由如下：
由直线的解析式可知点设，
，
，
整理，得，
解得，，
点的坐标为或． 

【解析】由待定系数法即可求解；
点关于直线的对称点为，连接交抛物线对称轴于点，则此时，最小，进而求解；
由，即可求解．
本题考查了二次函数的综合题，涉及到二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质、面积的计算、点的对称性等，有一定的综合性，难度适中．