2023-2024学年黑龙江省哈尔滨重点学校高二（上）第一次质检数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨重点学校高二（上）第一次质检数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共32.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知点，，则直线的斜率为(    )

A.  B.  C.  D.

2.已知空间向量，则下列说法正确的是(    )

A. 若，则
B. 若，则与共线
C. 若，则
D.

3.直线：与直线：平行，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示，则(    )

A.
B.
C.
D.

5.已知点，，若直线：与线段相交，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 或 D.

6.已知，，则在上的投影向量为(    )

A.  B.  C.  D.

7.在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，直线与直线所成角的余弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.如图，在三棱锥中，是边长为的正三角形，是上一点，，为的中点，为上一点且，则(    )

A.
B.
C.
D.

二、多选题（本大题共4小题，共16.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知直线：，则下列选项中不正确的有(    )

A. 直线的倾斜角为 B. 直线的斜率为
C. 直线不经过第三象限 D. 直线的一个方向向量为

10.给出下列命题，其中正确的命题是(    )

A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
B. 若直线：，：，则“”是“”的充分不必要条件
C. 若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D. 直线必过定点

11.在同一平面直角坐标系中，表示直线：与：的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达芬奇方砖拼成图的组合，这个组合再转换成图所示的几何体如图中每个正方体的棱长为，则(    )

 

A.
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 点到直线的距离是
D. 异面直线与所成角的余弦值为

三、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13.若，，，则______．

14.在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则 ______ ．

15.已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为______．

16.已知正方体的棱长为，点为的中点，过，，三点的平面截该正方体所得的截面记为，若，则线段长度的最小值为______ ．

四、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
在中，已知，，．
求边所在的直线方程；
求的面积．

18.本小题分
如图，在三棱台中，，平面，，且为中点．

证明：平面；
若，求此时直线和平面所成角的正弦值．

19.本小题分

如图，在三棱锥中，侧面是等边三角形，，．
证明：平面平面；
若，点在棱上，且二面角的大小为，求．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：点，，
直线的斜率．
故选：．
利用直线斜率公式求解．
本题考查直线的斜率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线斜率公式的灵活运用．

2.【答案】 

【解析】解：对，若，则，不能得出，故A错误；
对，若，则，
当与存在零向量时，与共线成立；
当与均不为零向量时，，
故夹角为或，则与共线，故B正确；
对，若，则，不能得出，故C错误；
对，由数量积的定义可知：，，
因为与不一定相等，故不一定成立，故D错误．
故选：．
对，举特例零向量判断即可；对，根据数量积公式判断即可．
本题考查平行向量，相等向量，向量的数量积运算等知识，属基础题．

3.【答案】 

【解析】解：直线：与直线：平行，
，求得，
故选：．
由题意利用两条直线平行的性质，计算求得结果．
本题主要考查两条直线平行的性质，属于基础题．

4.【答案】 

【解析】解：是四面体的棱的中点，，
，，
，


，
故选：．
利用空间向量基本定理，空间向量的线性运算求解即可．
本题考查空间向量基本定理，空间向量的线性运算，属于中档题．

5.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系以及斜率的计算公式，考查了数形结合方法、计算能力，属于中档题．
易知直线经过定点，由题意，结合图形可知，利用斜率的计算公式求出，的值，可得 的取值范围

【解答】
解：由已知得直线恒过定点，如图所示．
若与线段相交，则，
，，
，
故选D．

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，，，
则，，
则在上的投影向量，．
故选：．
根据题意，求出和，由投影向量的计算公式计算可得答案．
本题考查投影向量的定义，涉及空间向量数量积的计算，属于基础题．

7.【答案】 

【解析】解：，

，．
，

．
而
．
，．
异面直线夹角的取值范围为，
与夹角的余弦值为．
故选：．
由题可知，，，将这两个式子两边平方后，通过空间向量的混合运算可求得和的长，然后求出的值，再求出与夹角的余弦值．
本题考查异面直线夹角的求法，采用了空间向量，利用空间向量的数量积来解决角度问题，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

8.【答案】 

【解析】解：以为一组基底，
则，
，
，
，
，
，
，
所以．
故选：．
以为一组基底，表示求解．
本题主要考查两点之间距离的求法，考查运算求解能力，属于基础题．

9.【答案】 

【解析】解：直线：的斜率为，故B错误．
设该直线的倾斜角为，则，，
故，故A错误．
直线即，它的斜率为，在轴上的截距为，故该直线不经过第三象限，故C正确．
该直线的一个方向向量为，该向量与平行，
故直线的一个方向向量为，故D正确．
故选：．
由题意，根据直线的倾斜角和斜率的关系，直线的位置和方向向量，逐一判断各个选项是否正确，从而得出．
本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，直线的位置和方向向量，属于基础题．

10.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，则，则直线或，A错误；
对于，当时，直线：，：，易得，
反之，若，则有，解可得或，
故“”是“”的充分不必要条件，B正确；
对于，由空间向量基本定理，若这两个向量不共线，则空间中必定存在向量，与这两个向量一起构成空间的一个基底，
由此，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，C正确；
对于，对于直线，恒过定点，D错误．
故选：．
根据题意，由平面的法向量分析，由直线垂直的条件分析，由空间向量基本定分析，由直线的点斜式方程分析，综合可得答案．
本题考查空间向量的应用，涉及直线过定点问题，属于基础题．

11.【答案】 

【解析】解：选项：由的图象可知，，经过一、三、四象限，则需经过二、三、四象限，故A选项正确；
选项：由的图象可知，，经过一、二、三象限，则需经过一、三、四象限，故B选项错误；
选项：由的图象可知，，经过一、二、四象限，则需经过一、二、三象限，故C选项正确；
选项：由的图象可知，，经过二、三、四象限，则需经过一、二、四象限，故D选项错误；
故选：．
分情况讨论与的正负情况，分别判断各选项．
本题主要考查了一次函数的图象和性质，属于基础题．

12.【答案】 

【解析】解：，故A错误，
连接，直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等．
则就是所求的线面角，
则，，，
则，即直线与平面所成角的正弦值为，故B正确，
如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
则在向量上的投影向量长度为，
则点到直线的距离，故C正确，
，，，
即异面直线与所成角的余弦值为，故D正确．
故选：．
A.利用空间向量加法法则进行化简．
B.根据线面角的定义进行求解即可．
C.建立坐标系求出点的坐标，利用向量法进行求解．
D.求出向量坐标，利用向量法求异面直线所成的角．
本题考查空间点和直线之间的夹角，距离的计算，建立坐标系求出点的坐标，利用向量法进行求解是解决本题的关键，是中档题．

13.【答案】 

【解析】解：因为，，，
所以，
所以．
故答案为：．
利用空间向量加法以及数量积的坐标运算，求解即可．
本题考查了空间向量的坐标运算，考查了运算能力，属于基础题．

14.【答案】 

【解析】解：法一：由题意，，，
因为，，共面，
所以存在实数唯一实数对，使得，
即，
所以，解得．
法二：由，，共面得，，，四点共面，
则根据四点共面的充要条件可得，，即．
故答案为：．
法一：根据空间向量运算结合共面向量定理即可得到相关方程组，解出即可；法二：利用四点共面的结论即可．
本题考查了向量减法的几何意义，向量的数乘运算，共面向量基本定理，四点共面的充要条件，是基础题．

15.【答案】 

【解析】解：，
到平面的距离为．
故答案为：．
根据点面距公式求得正确答案．
本题主要考查点到平面的距离，属于中档题．

16.【答案】 

【解析】解：设平面与平面交于，在上，
又平面与平面交于直线，
因为平面平面，
所以，同理，所以四边形是平行四边形，
所以，
又是的中点，所以是的中点．
以点为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
连接，如图所示，则，，，，
所以，．
设平面的一个法向量为，
则，令，则又，
所以线段长度的最小值，即点到平面的距离．

故答案为：．
设平面与平面交于，在上，平面与平面交于直线，则可得四边形是平行四边形，是的中点，所以是的中点，以点为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，连接，然后利用空间向量求出点到平面的距离就是线段长度的最小值．
本题考查利用空间向量求点到面的距离，属于中档题．

17.【答案】解：，，
边所在的直线方程为，即；
设到的距离为，
则，
，
方程为：，即：，
．
． 

【解析】本题考查两点式直线方程公式，考查点到直线的距离公式的应用，考查计算能力，是基础题．
直接由两点式直线方程公式求解即可；
求出到的距离为，再求的距离，然后利用面积公式求解即可．

18.【答案】解：因为平面，平面，所以．
又因为，为中点，
所以，
又，且，平面，
所以平面；
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，
，，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则．所以，
可取，则，，
所以平面的一个法向量为，
设直线和平面所成角为，
则，，
故直线和平面所成角的正弦值为． 

【解析】根据线面垂直的性质定理，以及判断定理，即可证明；首先以点为原点，建立空间直角坐标系，并求平面的法向量，最后代入线面角的向量公式，即可求解．
本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查运算求解能力，属中档题．

19.【答案】解：证明：取的中点为，连接，，
在等边中，有，
在直角三角形中，有，
又，所以≌≌，
故，即，
又，，平面，
则平面，又平面，
所以平面平面；

不妨设，在直角三角形中，，故，
在底面内作，由可知，，，两两垂直，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
所以，
故，，
设，
则，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
故，
又是平面的一个法向量，
所以，
解得，故． 

【解析】取的中点为，连接，，证明≌≌，从而得到，结合，由线面垂直的判定定理证明平面，即可证明结论；
建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，设，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式列式，求解即可得到答案．
本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，二面角，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．