高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合巩固练习

第六章培优课——排列与组合的综合应用

A级 必备知识基础练

1.[探究点三]若将9名会员分成三组讨论问题,每组3人,共有不同的分组方法种数有(　　)

A. B.

C. D.

2.[探究点一·2023哈尔滨香坊期末]加工某种产品需要5道工序,分别为A,B,C,D,E,其中工序A,B必须相邻,工序C,D不能相邻,那么有(　　)种加工方法.

A.24 B.32 C.48 D.64

3.[探究点二·2023江苏南京月考]某高中学校在新学期增设了“传统文化”“数学文化”“综合实践”“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程.若两人所选的课程至多有一门相同,且小明必须选报“数学文化”课程,则两位同学不同的选课方案有(　　)

A.24种 B.36种 C.48种 D.52种

4.[探究点二]某校开设9门课程供学生选修,其中A,B,C三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定每位同学选修4门,共有　　　　　种不同的选修方案. 

5.[探究点四·2023安徽合肥期中]如图,一圆形信号灯分成A,B,C,D四块灯带区域,现有4种不同的颜色供灯带使用,要求在每块灯带里选择1种颜色,且相邻的2块灯带选择不同的颜色,则不同的信号种数为　　　　　. 

6.[探究点三]甲、乙、丙三位教师指导五名学生a,b,c,d,e参加全国高中数学联赛,每位教师至少指导一名学生.

(1)若每位教师至多指导两名学生,共有多少种分配方案?

(2)若教师甲只指导其中一名学生,共有多少种分配方案?

7.[探究点四]有5个男生和3个女生,从中选出5人担任5门不同学科的课代表,求分别符合下列条件的选法数:

(1)有女生但人数必须少于男生;

(2)某女生一定担任语文课代表;

(3)某男生必须包括在内,但不担任数学课代表;

(4)某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课代表,但不担任数学课代表.

B级 关键能力提升练

8.假如某大学给我市某三所高中学校共7个自主招生的推荐名额,则每所中学至少分到一个名额的方法数为              (　　)

A.30 B.21

C.10 D.15

9.某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车4辆工程车,将它们全部派往3个工地进行作业,每个工地至少派一辆工程车,共有多少种方式?下列结论正确的是              (　　)

A.

B.

C.

D.

10.“住房”“医疗”“教育”“养老”“就业”成为现今社会关注的五个焦点.小赵想利用国庆节假期调查一下社会对这些热点的关注度.若小赵准备按照顺序分别调查其中的4个热点,则“住房”作为其中的一个调查热点,但不作为第一个调查热点的不同调查顺序的种数为(　　)

A.13 B.24

C.18 D.72

11.如图是由6个正方形拼成的矩形图案,从图中的12个顶点中任取3个点作为一组.其中可以构成三角形的组数为(　　)

A.208 B.204 C.200 D.196

12.若自然数n使得n+(n+1)+(n+2)不产生十进位现象,则称n为“良数”.例如:32是“良数”,因为32+33+34不产生十进位现象;23不是“良数”,因为23+24+25产生十进位现象.那么,小于1 000 的“良数”的个数为(　　)

A.27 B.36 C.39 D.48

13.某企业有4个分厂,新培训了6名技术人员,将这6名技术人员分配到各分厂,要求每个分厂至少1人,则不同的分配方案种数为　　　　　. 

14.将甲、乙等5位同学分别保送到A,B,C三所大学就读,每所大学至少保送一人.

(1)有　　　　　种不同的保送方法; 

(2)若甲不能被保送到A大学,则有　　　　　种不同的保送方法. 

15.从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力赛,如果甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,共有多少种不同的参赛方法?

16.在高三(1)班元旦晚会上,有6个演唱节目,4个舞蹈节目.

(1)当4个舞蹈节目要排在一起时,有多少种不同的节目安排顺序?

(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,有多少种不同的节目安排顺序?

C级 学科素养创新练

17.某论坛期间,某高校有14名志愿者参加接待工作,若每天早、中、晚三班,每班4人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为(　　)

A. B.

C. D.

18.已知不定方程x1+x2+x3+x4=12,则不定方程正整数解的组数为　　　　　. 

19.有7个人分成两排就座,第一排3人,第二排4人.

(1)共有多少种不同的坐法?

(2)如果甲和乙都在第二排,共有多少种不同的坐法?

(3)如果甲和乙不能坐在每排的两端,共有多少种不同的坐法?

参考答案

培优课——排列与组合的综合应用

1.C　此题为平均分组问题,有种分法.

2.A　根据题意,分2步进行:

第1步,将A,B看成一个整体,与E全排列,有=4种排法;

第2步,排好后,有3个空位,将C,D安排在空位中,有=6种排法.

由分步乘法计数原理,有4×6=24种加工方法.故选A.

3.B　根据题意,分2步进行:

第1步,小明必须选报“数学文化”课程,则小明的选法有=4种;

第2步,小明和小华两人所选的课程至多有一门相同,有=9种选法.

由分步乘法计数原理,有4×9=36种选法.故选B.

4.75　分两类:

第1类,从A,B,C中选1门,从另6门中选3门,共有种选法;

第2类,从6门中选4门有种选法.

故共有=75种不同的选修方案.

5.84　按照使用了多少种颜色分三类计数:

第一类,使用4种颜色,有=24种;

第二类,使用3种颜色,必有2块区域同色,有=48种;

第三类,使用2种颜色,必然是A与C同色,且B与D同色,有=12种.

所以不同的信号种数为24+48+12=84.

6.解(1)5名学生分成3组,人数分别为2,2,1,

∴分配方案有=90种.

(2)从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导,剩下4名学生分成2组,人数分别为2,2或3,1,

∴分配方案有×=70种.

7.解(1)先选后排,可以是2女3男,也可以是1女4男,先选有()种情况,后排有种情况,则符合条件的选法种数为()×=5400.

(2)除去该女生后,先选后排,则符合条件的选法数为=840.

(3)先选后排,但先安排该男生,则符合条件的选法种数为=3360.

(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有种情况,再安排该男生有种情况,选出的3人全排有种情况,则符合条件的选法数为=360.

8.D　用“隔板法”.在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板,有=15种分配方法.

9.C

10.D　可分三步:第1步,先从“医疗”“教育”“养老”“就业”这4个热点中选出3个,有种不同的选法;第2步,在调查时,“住房”安排的顺序有种可能情况;第3步,其余3个热点调查的顺序有种排法.根据分步乘法计数原理可得,不同调查顺序的种数为=72.

11.C　任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种:一是3条横线中在同一横线上的4个点,其组数为3;二是4条竖线中在同一竖线上的3个点,其组数为4;三是4条斜线上的3个点,其组数为4,所以可以构成三角形的组数为-3-8=200.

12.D　如果n是良数,则n的个位数字只能是0,1,2,非个位数字只能是0,1,2,3(首位不为0),而小于1000的数至多三位,一位数的良数有0,1,2,共3个;二位数的良数个位可取0,1,2,十位可取1,2,3,共有3×3=9个;三位数的良数个位可取0,1,2,十位可取0,1,2,3,百位可取1,2,3,共有3×4×3=36个.综上,小于1000的“良数”的个数为3+9+36=48.

13.1 560　先把6名技术人员分成4组,每组至少一人.

若4个组的人数按3,1,1,1分配,

则不同的分配方案有=20种.

若4个组的人数为2,2,1,1,

则不同的分配方案有=45种.

故所有分组方法共有20+45=65种.

再把4个组的人分给4个分厂,不同的方法有65=1560种.

14.(1)150　(2)100　(1)5名学生可分成2,2,1和3,1,1两种形式,当5名学生分成2,2,1时,共有=90种方法;

当5名学生分成3,1,1时,共有=60种方法.

根据分类加法计数原理知,共有90+60=150种保送方法.

(2)由(1)可知,共有=25种分组方法.

因为甲不能被保送到A大学,所以有同学甲的那组只有B大学和C大学两个选择,剩下的两组无限制,一共有4种方法,所以不同的保送方案共有25×4=100种.

15.解把所选取的运动员的情况分为三类:

第1类,甲、乙两人均不参赛,不同的参赛方法有=24种;

第2类,甲、乙两人有且只有1人参赛,不同的参赛方法有×()=144种;

第3类,甲、乙两人都参赛,不同的参赛方法有×(-2)=84种.

由分类加法计数原理知,所有的参赛方法共有24+144+84=252种.

16.解(1)第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来,看成1个节目,与6个演唱节目一起排,有=5040种方法;第二步再松绑,给4个舞蹈节目排序,有=24种方法.

根据分步乘法计数原理,一共有5040×24=120960种安排顺序.

(2)第一步,将6个演唱节目排成一列,共有=720种方法.

第二步,将4个舞蹈节目排在6个演唱节目产生的7个空中,共有=840种方法.

根据分步乘法计数原理,共有720×840=604800种安排顺序.

17.A　首先从14人中选出12人,共种,然后将12人平均分为3组,共种,然后这两步相乘,得.将三组排列后共种.故选A.

18.165　问题相当于将12个完全相同的小球放入4个不同的盒子,且每个盒子中至少放入1个小球,使用“隔板法”得不定方程正整数解的组数为=165.

19.解(1)7个人分成两排就座,第一排3人,第二排4人,共有=5040种.

(2)从除甲乙之外的5人中选3人排在第一排,再排第二排,故有=1440种.

(3)第一类,甲乙同一排,则只能排在第二排,故有=240种;

第二类,甲乙不在同一排,故有2×()=480种.

故共有240+480=720种.