新教材2023_2024学年高中数学第7章随机变量及其分布培优课__离散型随机变量的均值与方差的综合应用分层作业新人教A版选择性必修第三册

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第七章培优课——离散型随机变量的均值与方差的综合应用A级 必备知识基础练1.[探究点一]已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2.若0<p1<p2<,则(　　)A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)2.[探究点三]甲、乙两台自动车床生产同种标准的零件,X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数,Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数,经过一段时间的考察,X,Y的分布列分别为X0123P0.70.10.10.1 Y012P0.50.30.2据此判定(　　)A.甲生产的零件质量比乙生产的零件质量好B.乙生产的零件质量比甲生产的零件质量好C.甲生产的零件质量与乙生产的零件质量一样D.无法判定3.[探究点二]已知随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=3,6,9,则D(X)等于(　　)A.6 B.9 C.3 D.44.[探究点二]学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会,其中某班有4名候选人,假设每名候选人都有相同的机会被选到,若X表示选到该班的候选人的人数,则E(X)=(　　)A. B. C. D.5.[探究点二]小芳用肢体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4,同学乙猜对成语的概率是0.5,且规定猜对得1分,猜不对得0分,则这两个同学各猜1次,得分之和X(单位:分)的均值为(　　)A.0.9 B.0.8 C.1.2 D.1.16.[探究点一]同时抛掷两枚质地均匀的骰子,至少有一个3点或6点出现时,就说这次试验成功,则在9次试验中,成功次数X的均值是　　　　　. 7.[探究点二]若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0<p<1),用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数,则方差D(X)的最大值为　　　　　. 8.[探究点二]为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳,各株沙柳的成活与否是相互独立的,成活率为p,设X为成活沙柳的株数,均值E(X)为3,标准差.(1)求n和p的值,并写出X的分布列;(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率.             B级 关键能力提升练9.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6,且此人是否游览哪个景点互不影响,设X表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值,则E(X)等于              (　　)A.1.48 B.0.76 C.0.24 D.110.随机变量X的分布列如下.X123Pxy若E(X)=,则D(X)等于(　　)A. B.C. D.11.若随机变量X满足P{X=m}=(m=1,2,…,N),N为正整数,则当N>100时,的值最接近(　　)A.0 B.C. D.112.已知离散型随机变量ξ的可能值为-1,0,1,且E(ξ)=0.1,D(ξ)=0.89,则对应的概率p1,p2,p3分别为　　　　　、　　　　　、　　　　　. 13.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a,b,c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为1(不计其他得分情况),则ab的最大值为　　　　　. 14. 某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示.X1234Y51484542这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率;(2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与均值.               15.[2023广东东莞月考]某购物网站组织了一次促销活动,在网页的界面上打出广告:高级口香糖,10元钱三瓶,有8种口味供您选择(其中有1种为草莓口味).小王点击进入网页一看,只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起,看不见具体口味,由购买者随机点击进行选择(各种口味的高级口香糖均超过三瓶,且各种口味的瓶数相同,每点击选择一瓶后,网页自动补充相应的口香糖).(1)小王花10元钱买三瓶,请问小王收到货的组合方式共有多少种?(2)小王花10元钱买三瓶,由小王随机点击三瓶,请列出有小王喜欢的草莓味口香糖的瓶数ξ的分布列,并计算其数学期望和方差.       C级 学科素养创新练16.一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,均值E(X)及方差D(X).     参考答案培优课——离散型随机变量的均值与方差的综合应用1.A　由题意可知ξi(i=1,2)服从两点分布,∴E(ξ1)=p1,E(ξ2)=p2,D(ξ1)=p1(1-p1),D(ξ2)=p2(1-p2),又0<p1<p2<,∴E(ξ1)<E(ξ2),把方差看作函数y=x(1-x),函数在区间0,内单调递增,故由题意可知,D(ξ1)<D(ξ2).故选A.2.A　E(X)=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,E(Y)=0×0.5+1×0.3+2×0.2=0.7.显然E(X)<E(Y),由均值的意义知,甲生产的零件质量比乙生产的零件质量好.3.A　E(X)=3×+6×+9×=6.D(X)=(3-6)2×+(6-6)2×+(9-6)2×=6.4.D　X的可能取值有0,1,2,且P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,X的分布列如下:X012PE(X)=0×+1×+2×.5.A　由题意得X=0,1,2,则P(X=0)=0.6×0.5=0.3,P(X=1)=0.4×0.5+0.6×0.5=0.5,P(X=2)=0.4×0.5=0.2,故E(X)=1×0.5+2×0.2=0.9.6.5　由已知,同时抛掷两枚骰子一次,至少有一个3点或6点出现时的概率为,9次试验相当于9次独立重复试验,则成功次数X服从二项分布,即X~B.故E(X)=9×=5.7.　随机变量X的所有可能的取值是0,1,并且P(X=1)=p,P(X=0)=1-p.从而E(X)=0×(1-p)+1×p=p.D(X)=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2·p=p-p2=.因为0<p<1,所以当p=时,D(X)取最大值,最大值是.8.解由题意知,X~B(n,p),P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,…,n.(1)由E(X)=np=3,D(X)=np(1-p)=,得n=6,p=.X的分布列为X0123456P(2)记“需要补种沙柳”为事件A,则P(A)=P(X≤3)=.所以需要补种沙柳的概率为.9.A　分别记“该客人游览甲景点”“该客人游览乙景点”“该客人游览丙景点”为事件A1,A2,A3,∵客人游览景点数的可能取值为0,1,2,3,∴X的可能取值为1,3.P(X=3)=P(A1A2A3)+P()=P(A1)P(A2)P(A3)+P()P()P()=2×0.4×0.5×0.6=0.24,P(X=1)=1-0.24=0.76.因此X的分布列为X13P0.760.24 E(X)=1×0.76+3×0.24=1.48.10.D　由所以D(X)=1-2×+2-2×+3-2×.11.C　由题意可知,E(X)=mP{X=m}=,显然,当N>100时,的值最接近.12.0.4　0.1　0.5　ξ的分布列为ξ-101Pp1p2p3E(ξ)=-p1+p3=0.1,D(ξ)=(-1-0.1)2p1+(0-0.1)2p2+(1-0.1)2p3=0.89.即1.21p1+0.01p2+0.81p3=0.89,即121p1+p2+81p3=89.又p1+p2+p3=1,∴解得13.　由已知可得3a+2b+0×c=1,即3a+2b=1,故ab=·3a·2b≤.当且仅当3a=2b=时,等号成立,即ab的最大值为.14.解(1)所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为3,边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种,选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8种.故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率为.(2)先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量Y的分布列.因为P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2),P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4),所以只需求出P(X=k)(k=1,2,3,4)即可.记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k=1,2,3,4),则n1=2,n2=4,n3=6,n4=3.由P(X=k)=得P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.故所求的分布列为Y51484542PE(Y)=51×+48×+45×+42×=46.15.解(1)若三瓶口味均不一样,有=56(种)组合方式;若其中两瓶口味一样,有=56(种)组合方式;若三瓶口味一样,有8种组合方式.故小王收到货的组合方式共有56+56+8=120(种).(2)ξ所有可能的取值为0,1,2,3.因为各种口味的高级口香糖均超过3瓶,且各种口味的瓶数相同,有8种不同口味,所以小王随机点击一次是草莓味口香糖的概率为,即随机变量ξ服从二项分布,即ξ~B3,.所以P(ξ=0)=×0×1-3=,P(ξ=1)=×1×1-2=,P(ξ=2)=×2×1-1=,P(ξ=3)=×3×1-0=.所以ξ的分布列为ξ0123P数学期望E(ξ)=3×,方差D(ξ)=3×.16.解(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里,有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”.则P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,P(A2)=0.003×50=0.15,P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.(2)X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=×(1-0.6)3=0.064,P(X=1)=×0.6×(1-0.6)2=0.288,P(X=2)=×0.62×(1-0.6)=0.432,P(X=3)=×0.63=0.216,则X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为X~B(3,0.6),所以均值E(X)=3×0.6=1.8,方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.