新教材2023_2024学年高中数学第7章随机变量及其分布测评新人教A版选择性必修第三册

这是一份新教材2023_2024学年高中数学第7章随机变量及其分布测评新人教A版选择性必修第三册，共10页。
第七章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.[2023河北石家庄期中]已知某同学投篮一次的命中率为,连续两次均投中的概率是,若该同学在投中一次后,随后一次也投中的概率是(　　)A. B. C. D.2.某人进行一项实验,若实验成功,则停止实验,若实验失败,再重新实验一次,若实验3次均失败,则放弃实验.若此人每次实验成功的概率为,则此人实验次数X的均值是(　　)A. B. C. D.3.已知随机变量ξ~N(3,22),若ξ=2η+3,则D(η)= (　　)A.0 B.1 C.2 D.44.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才算通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为              (　　)A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.3125.甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习,记两人所选课程相同的门数为X,则E(X)=              (　　)A.1 B.1.5 C.2 D.2.56.设随机变量X~N(μ,σ2),且P(X<1)=,P(X>2)=p,则P(0<X<1)的值为(　　)A.p B.1-p C.1-2p D.-p7.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧,其中a,b,c∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},在这些抛物线中,记随机变量X=“|a-b|的取值”,则X的均值为(　　)A. B. C. D.8.9粒种子分种在3个坑内,每个坑3粒,每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽,则这个坑不需要补种;若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种.假定每个坑至多补种一次,每补种1个坑需10元,用随机变量X表示补种费用,则X的均值等于(　　)A. B.C. D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知离散型随机变量X的分布列如表所示:X012Pa4a5a下列选项中正确的是(　　)A.a=0.1 B.E(X)=0.44C.E(X)=1.4 D.D(X)=1.410.某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等),记A为“男生甲被选中”,B为“男生乙和女生丙至少一个被选中”,则下列结论中正确的是(　　)A.P(A)= B.P(B)=C.P(AB)= D.P(B|A)=11.若随机变量ξ~N(0,1),Φ(x)=P(ξ≤x),其中x>0,下列等式成立的有(　　)A.Φ(-x)=1-Φ(x)B.Φ(2x)=2Φ(x)C.P(|ξ|≤x)=2Φ(x)-1D.P(|ξ|>x)=2-Φ(x)12.已知X~N(μ,σ2),f(x)=,x∈R,则 (　　)A.曲线y=f(x)与x轴围成的几何图形的面积小于1B.函数f(x)图象关于直线x=μ对称C.P(X>μ-σ)=2P(μ<X<μ+σ)+P(X≥μ+σ)D.函数F(x)=P(X>x)在R上单调递增三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知随机变量X的分布列如下表:Xa234Pb若E(X)=2,则D(X)=　　　　　. 14.某科研院校培育橘树新品种,使得橘树在淮北种植成功,经过科学统计,单个果品的质量ξ(单位:g)近似服从正态分布N(90,σ2),且P(86<ξ≤90)=0.2,在有1 000个的一批橘果中,估计单个果品质量不低于94 g的橘果个数为　　　　　. 15.设一次试验成功的概率为p,进行100重伯努利试验,则当p=　　　　　时,成功次数X的方差的值最大,其最大值为　　　　　. 16. [2023山东烟台期中]某高中为调查本校1 800名学生周末玩游戏的时长,设计了如下的调查问卷.在一个袋子中装有3个质地和大小均相同的小球,其中1个白球,2个红球,规定每名学生从袋子中有放回地随机摸两次球,每次摸出一个球,记下颜色.若“两次摸到的球颜色相同”,则回答问题一:若第一次摸到的是红球,则在问卷中画“○”,否则画“×”;若“两次摸到的球颜色不同”,则回答问题二:若玩游戏时长不超过一个小时,则在问卷中画“○”,否则画“×”.当全校学生完成问卷调查后,统计画“○”和画“×”的比例,由频率估计概率,即可估计出玩游戏时长超过一个小时的人数.若该校高一一班有45名学生,用X表示回答问题一的人数,则X的均值为　　　　　;若该校的所有调查问卷中,画“○”和画“×”的比例为7∶2,则可估计该校学生周末玩游戏时长超过一个小时的人数为　　　　　. 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)一批同型号的螺钉由编号为Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的三台机器共同生产,各台机器生产的螺钉占这批螺钉的百分率分别为35%,40%,25%,各台机器生产的螺钉次品率分别为3%,2%和1%.(1)求从这批螺钉中任取一件是次品的概率;(2)现从这批螺钉中取到一件次品,求该次品来自Ⅱ号机器生产的概率.      18.(12分)在某次数学考试中,考生的成绩ξ服从一个正态分布,即ξ~N(90,100).(1)试求考试成绩ξ位于区间[70,110]上的概率;(2)若这次考试共有2 000名考生,试估计考试成绩在[80,100]的考生大约有多少人?       19.(12分)某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人,女生2人)中,任选3人参加某省举办的演讲比赛活动.(1)设所选3人中女生人数为X,求X的分布列;(2)求男生甲或女生乙被选中的概率;(3)设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,求P(B)和P(B|A).         20.(12分)[2023广东惠州模拟]某高中学校组织航天科普知识竞赛,分小组进行知识问题竞答.甲、乙两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答,答对题目多者获胜.已知这6个问题中,甲组能正确回答其中4个问题,而乙组能正确回答每个问题的概率均为.甲、乙两个小组的选题以及对每题的回答都是相互独立、互不影响的.(1)求甲小组至少答对2个问题的概率;(2)若从甲、乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛,请分析说明选择哪个小组更好?           21.(12分)某车间在两天内,每天生产10件产品,其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品.质检部每天要在生产的10件产品中随意抽取4件进行检查,若发现有次品,则当天的产品不能通过.(1)求两天全部通过检查的概率;(2)若厂内对该车间生产的产品质量采用奖惩制度,两天全不通过检查罚300元,通过1天、2天分别奖300元、900元.那么该车间在这两天内得到奖金的均值是多少元?         22.(12分)某学校举行联欢会,所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖.甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张.每个节目投票时,甲、乙、丙三名老师每人必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为,且三人投票相互没有影响.若投票结果中至少有两张“获奖”票,则决定该节目最终获一等奖;否则,该节目不能获一等奖.(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率;(2)求该节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和X的分布列及均值.          参考答案第七章测评1.D　根据题意,设A=“该同学某次投篮命中”,事件B=“随后一次也命中”.由题意得P(A)=,P(AB)=,故P(B|A)=2.B　由题意可得X=1,2,3,每次实验成功的概率为,则每次实验失败的概率为,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,则X的分布列如表所示.X123P所以E(X)=1+2+33.B　∵ξ=2η+3,∴D(ξ)=4D(η).又D(ξ)=4,∴D(η)=1.4.A　根据题意,该同学通过测试的两种情况分别为投中2次和投中3次,所以所求概率P=0.62×(1-0.6)+0.63=0.648.5.B　由已知得X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,∴E(X)=0+1+2+3=1.5.6.D　因为P(X<1)=,由正态曲线的对称性得μ=1,即正态曲线关于直线x=1对称,于是P(X<0)=P(X>2),所以P(0<X<1)=P(X<1)-P(X<0)=P(X<1)-P(X>2)=-p.7.A　由于对称轴在y轴左侧,故-<0,即ab>0,样本点总数为3×3+3×3=18.由题知X的可能取值为0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=故E(X)=0+1+28.A　根据题意,每个坑需要补种的概率是相等的,都是3=,所以此问题相当于独立重复试验,做了三次,每次发生的概率都是,所以需要补种的坑的均值为3,所以补种费用X的均值为109.AC　由离散型随机变量的性质知a+4a+5a=1,∴a=0.1.∴P(X=0)=0.1,P(X=1)=0.4,P(X=2)=0.5.∴E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.5=1.4,D(X)=(0-1.4)2×0.1+(1-1.4)2×0.4+(2-1.4)2×0.5=0.196+0.064+0.18=0.44.10.ACD　由题意,得P(A)=,P(B)=1-,P(AB)=,由条件概率公式可得P(B|A)=11.AC　∵随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1),∴正态曲线关于ξ=0对称.∵Φ(x)=P(ξ≤x),x>0,根据曲线的对称性可得Φ(-x)=P(ξ≥x)=1-Φ(x),故选项A正确;∵Φ(2x)=P(ξ≤2x),2Φ(x)=2P(ξ≤x),∴Φ(2x)≠2Φ(x),故选项B错误;对于C,P(|ξ|≤x)=P(-x≤ξ≤x)=1-2Φ(-x)=1-2[1-Φ(x)]=2Φ(x)-1,故选项C正确;对于D,P(|ξ|>x)=P(ξ>x或ξ<-x)=1-Φ(x)+Φ(-x)=1-Φ(x)+1-Φ(x)=2-2Φ(x),故选项D错误.12.BC　曲线y=f(x)与x轴围成的几何图形的面积等于1,所以A错误;f(x+μ)=,f(μ-x)=,所以f(x+μ)=f(μ-x),所以函数f(x)图象关于直线x=μ对称,所以B正确;因为P(μ-σ<X<μ)=P(μ<X<μ+σ),所以P(X>μ-σ)=P(μ-σ<X<μ+σ)+P(X≥μ+σ)=2P(μ<X<μ+σ)+P(X≥μ+σ),所以C正确;由正态分布曲线可知,当x越大时,P(X>x)越小,即函数F(x)=P(X>x)的值随x的增大而减小,且F(x)在R上是减函数,所以D错误.13　由题得+b+=1,解得b=则E(X)=a+2+3+4=2,解得a=0,则D(X)=(0-2)2+(2-2)2+(3-2)2+(4-2)214.300　∵单个果品的质量ξ近似服从正态分布N(90,σ2),且P(86<ξ≤90)=0.2,∴P(90≤ξ<94)=0.2,∴P(ξ≥94)==0.3,故估计单个果品质量不低于94g的橘果个数为0.3×1000=300.15　25　由题知,成功次数X~B(100,p),所以D(X)=100p(1-p)≤100×2=25,当且仅当p=1-p,即p=时,等号成立,此时成功次数的方差的值最大,最大值为25.16.25　450　依题意,每次摸到白球的概率为,摸到红球的概率为,两次摸到的球颜色相同的概率P=,于是回答问题一的人数X~B45,,所以X的均值为E(X)=45=25.用A表示“回答问题一”,B表示“回答问题二”,C表示“在问卷中画×”,则有P(A)=,P(B)=1-P(A)=,P(A)P(C|A)=P(AC)=因为P(C)=,由全概率公式P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B),得P(C|B),解得P(C|B)=,所以估计该校学生周末玩游戏时长超过一个小时的人数为1800=450.17.解设A=“螺钉是次品”,B1=“螺钉由Ⅰ号机器生产”,B2=“螺钉由Ⅱ号机器生产”,B3=“螺钉由Ⅲ号机器生产”,则P(B1)=0.35,P(B2)=0.4,P(B3)=0.25,P(A|B1)=0.03,P(A|B2)=0.02,P(A|B3)=0.01,(1)由全概率公式,得P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.03×0.35+0.02×0.4+0.01×0.25=0.021.(2)P(B2|A)=18.解因为ξ~N(90,100),所以μ=90,σ==10.(1)由于随机变量在区间[μ-2σ,μ+2σ]上取值的概率是0.9545,而该正态分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110,于是考试成绩ξ位于区间[70,110]上的概率为0.9545.(2)由μ=90,σ=10,得μ-σ=80,μ+σ=100.由于随机变量在区间[μ-σ,μ+σ]上取值的概率是0.6827,所以考试成绩ξ位于区间[80,100]上的概率是0.6827.一共有2000名学生,所以考试成绩在[80,100]的考生大约有2000×0.6827≈1365(人).19.解(1)由题知,X的所有可能取值为0,1,2,依题意得P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=∴X的分布列如表所示.X012P (2)设“甲、乙都未被选中”为事件C,则P(C)=∴所求概率为P()=1-P(C)=1-(3)P(B)=;P(B|A)=20.解(1)∵这6个问题中,甲组能正确回答其中的4个问题,∴甲组至少答对两个问题的概率P1=1-=1-(2)设甲组答对题数为X,则X所有可能取值为1,2,3,则P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,故E(X)=1+2+3=2,D(X)=(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2设乙组答对题数为Y,由题意可得,随机变量Y~B3,,故E(Y)=3=2,D(Y)=3∵E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),∴甲组与乙组的平均水平相当,但甲组比乙组的成绩更稳定,故选择甲组.21.解(1)随机抽取4件产品进行检查是随机事件.记“第一天通过检查”为事件A,则P(A)=记“第二天通过检查”为事件B,则P(B)=因为第一天、第二天检查是否通过是相互独立的,所以两天全部通过检查的概率为P(AB)=P(A)P(B)=(2)记所得奖金为ξ元,则ξ的取值为-300,300,900.P(ξ=-300)=P()=P()P()=P(ξ=300)=P(AB)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=P(ξ=900)=P(AB)=所以ξ的分布列为ξ-300300900PE(ξ)=-300+300+900=260.故该车间在这两天内得到奖金的均值是260元.22.解(1)设A=“某节目的投票结果是最终获一等奖”,则事件A包括:该节目获2张“获奖”票,或者获3张“获奖”票.因为甲、乙、丙三名老师每人必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为,且三人投票相互没有影响,所以P(A)=23=(2)由题知,投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=3=,P(X=1)=2=,P(X=2)=2,P(X=3)=3=因此X的分布列如表所示.X0123P所以X的均值为E(X)=0+1+2+3=2.