四川省泸县第一中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

泸县一中2023年秋期高一第一学月考试

数学试题

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

第I卷 选择题（60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，则

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求，再求．

【详解】由已知得，所以，故选C．

【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．

2. 命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是

A. 所有不能被2整除的整数都是偶数

B. 所有能被2整除的整数都不是偶数

C. 存在一个不能被2整除的整数是偶数

D. 存在一个能被2整除的整数不是偶数

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”．故选D．

考点：命题的否定．

3. 正确表示图中阴影部分的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】通过并集，交集和补集的概念计算，对四个选项一一判断，得到答案.

【详解】A选项，如图1，表达的部分为①②③的并集，不满足要求，A错误；

BD选项，如图2，和表达的部分均为②③④部分的并集，不满足要求，BD错误；

C选项，根据计算，满足题意，C正确；

故选：C

4. “”的一个必要不充分条件为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用集合关系判定充分必要条件即可.

【详解】显然A项是充要条件，不符合题意；

由“”可推出“”，即B项是充分条件，不符合题意；

“”不能推出“”，反之“”也推不出“”，即C项为既不充分也不必要条件，不符合题意；

易知真包含于，所以“”的一个必要不充分条件为“”，

故选：D．

5. 已知集合，则（    ）

A. 或 B. 或 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可得或，当时，代入两集合检验是否满足，再由求出的值，代入两集合检验是否满足，还要注意集中元素的互异性

【详解】因为，所以或.

①若，则，满足；

②若，则或.

当时，，满足；

当时，，集合不满足元素的互异性，舍去.

综上，或，

故选：.

6. 设，，，且，则下列不等式成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用不等式的性质可判断A、D，举反例可判断B、C，进而可得正确选项.

【详解】对于A：当时，由可得，故选项A不正确；

对于B：取，满足，但，故选项B不正确；

对于C：取，满足，但，故选项C不正确；

对于D：由可得，故选项D正确；

故选：D.

7. 不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】将原不等式转化为整式型即一元二次不等式求解即可.

【详解】由，

，整理得，

上式等价于，解得，

不等式的解集为.

故选：D.

8. 若正数满足，则的最小值是（    ）

A. 2 B.  C. 4 D.

【答案】C

【解析】

【分析】由得，代入后利用基本不等式即可求解.

【详解】因为正数满足，所以，则，

所以，

当且仅当，即时，等号成立.

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列命题不正确的是（　　）

A ，

B. ，

C. “”充要条件是“”

D. “，”是“”的充分条件

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用二次函数的性质可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；利用充分条件、必要条件的定义可判断C选项；利用充分条件的定义可判断D选项.

【详解】对于A选项，，，所以，命题“，”为假命题，A错；

对于B选项，当时，，故命题“，”为假命题，B错；

对于C选项，当时，，则无意义，即“”“”，

另一方面，当时，则有，即，即“”“”，

所以，“”的充分不必要条件是“”，C错；

对于D选项，当，时，，即“，”是“”的充分条件，D对.

故选：ABC.

10. 设，，若，则实数的值可以为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】先将集合表示出来，由可得，则根据集合中的元素讨论即可求出的值.

【详解】集合，由可得，

则分和或或，

当时，满足即可；

当时，满足，解得：；

当时，满足，解得：；

当时，显然不符合条件，

所以的值可以为，

故选：.

11. 二次函数的图象如图所示，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】由二次函数的图象与性质对选项逐一判断．

【详解】由题意得，对称轴，则，

当时，，故A错误；

当时，，则，故B正确；

当时，，则，故C正确；

设一元二次方程的两根分别为，由图象可知，整理可得，故D正确．

故选：BCD

12. 下列命题中的真命题有（    ）

A. 当x＞1时，的最小值是3

B. 的最小值是2

C. 当0＜x＜10时，的最大值是5

D. 若正数x，y为实数，若x+2y＝3xy，则2x+y的最大值为3

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A、C利用基本不等式分析判断，对于B由对勾函数的性质分析判断，

对于D根据基本不等式的变形分析判断.

【详解】对于选项A因为，则，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，故选项A正确；

对于选项B因为，

等号成立的条件是，显然不成立，所以等号不成立，不能使用基本不等式，即最小值不为2，令，则在上单调递增，所以时取得最小值，故选项B错误；

对于选项C因为，则

所以，

当且仅当，即时，等号成立，故选项C正确；

对于选项D由得，故，当且仅当时取等号，故选项D错误

故选：AC.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

13. 集合中的元素为________．

【答案】

【解析】

【分析】由集合的表示可求出.

【详解】

∴该集合中的元素为．

故答案为：

14. 已知，，则的取值范围是 __．

【答案】

【解析】

【分析】由不等式的基本性质求解即可

【详解】解：，，

则，，

故由不等式的可加性可知，，

故的取值范围是．

故答案为：．

15. 正数，满足，则的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】由基本不等式可得，，解不等式即可．

【详解】正数、满足，

，当且仅当时取等号，

，解得或（舍去），

则，当且仅当时取等号，即的取值范围是.

故答案为：．

16. 若不等式对任意的恒成立，则的最大值为_____．

【答案】

【解析】

【分析】讨论、，根据不等式恒成立，结合一次函数、二次函数的性质，再讨论、情况下参数a、b之间的数量关系，最后根据目标式并应用基本不等式求最大值，注意等号成立条件.

【详解】1、当时，题设不等式恒成立，只需恒成立，

时，由一次函数的性质易知：不可能恒成立；

时，不成立；

∴不合要求.

2、当时，由题设有或在上恒成立，

当时，在上不可能恒成立，不合要求；

当时，在上、以零点为界两侧单调性相反，且零点相同，

∴，即，

∴，当且仅当，时等号成立.

综上，的最大值为.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知非空集合.

（1）当时，求；

（2）求能使成立的的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）当时，求得，结合集合交集、并集的运算，即可求解；

（2）由，得到，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解.

【小问1详解】

解：当时，集合，

由集合交集和并集的定义与运算，可得.

小问2详解】

解：由非空集合，

因为，可得，

因为，所以，解得，

所以实数的取值范围是.

18. 已知集合，，.

（1）求；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）可利用数轴求两个集合的交集；

（2）根据子集关系列出不等式组，解不等式组即得结果．

【详解】（1）

（2）因为，

所以当时，有，解得，

所以实数的取值范围是.

【点睛】本题考查了集合的交集运算，以及集合之间的包含关系，属于基础题.

19. 已知函数．

（1）若当时在上恒成立，求范围；

（2）解不等式．

【答案】（1）；（2）当时，，当时，或，当时，，当时，或，当时，，当时，，当时，．

【解析】

【详解】试题分析：（1）当时，二次函数的图象开口方向向上，若在上恒成立，列出不等式组，即可求解范围；（2）由，即，对值进行分类讨论，可得不同情况下，不等式的解集．

试题解析：（1）只需解得

（2）

当时得到

当时，化为当时得到或

当时得到当时得到或

当时，化为当时得到

当时得到当时得到．

考点：二次函数的图象与性质．

【方法点晴】本题主要考查了不等式的恒成立、二次函数的图象与性质，其中熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键，本题的解答中在上恒成立，列出不等式组，即可求解范围和把，转化为，再对值进行分类讨论解答的基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．

20. 选用恰当的证明方法，证明下列不等式.

（1）已知，求证：

（2）已知a，b，c为正数，且满足.证明：；

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用基本不等式可得，三式相加化简可得结论，

（2）利用基本不等式可得，三式相加，结合，可得结论

【小问1详解】

因为，所以，

所以，

所以，当且仅当时取等号

【小问2详解】

因为a，b，c为正数，，

所以，

所以，

因为，所以，当且仅当时取等号，

即

21. 已知为正实数，且.

（1）求的最大值；

（2）是否存在，使得的值为？并说明理由.

【答案】（1）   

（2）不存在，理由见解析

【解析】

【分析】（1）由条件等式及基本不等式求得，结合等号成立条件确定最值；

（2）由（1）及基本不等式求最小值，即可确定存在性.

【小问1详解】

为正实数，且，

又（当且仅当时取等号），

，则，且取等号，

的最大值为.

小问2详解】

，

当且仅当时等号成立，

，

不存在，使得的值为.

22. 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，万元；在年产量不小于8万件时，万元，每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．

（1）写出年利润万元关于年产量x万件的函数解析式．注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本

（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）   

（2）年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元

【解析】

【分析】（1）根据题意分和求出利润，得利润的分段函数；

（2）分别利用二次函数及均值不等式求最值，比较大小可得函数的最大值.

【小问1详解】

因为每件产品售价为5元，则x（万件）商品销售收入为5x万元，依题意得：

当时，，

当时，，

∴．

【小问2详解】

当时，，此时，当时，取得最大值9；

时，，

此时，当即时，取得最大值15；

∵，

∴年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元．